Cosa sono le simmetrie?? Cosa c'entra il concetto matematico di gruppo con loro?? Cosa sono le visualizzazioni di gruppo? Perché la fisica presta così tanta attenzione alle simmetrie?

Innanzitutto, parliamo della famiglia, vicino a ogni idea di simmetria. Come sempre, per capire meglio di cosa si tratta, cercherò di rivelare il significato di questa parola stessa. Come con molti altri concetti, il significato di questo termine non è affatto l'unico. Pertanto, è necessario passare attraverso tutti i significati (Bene, o quantomeno, per la loro parte principale). Il significato letterale della parola “simmetria” nel suo, per così dire, Versione russa (sebbene questa parola stessa sia stata a lungo parte integrante della lingua russa), Questo co-dimensione. Cioè. il significato originale della parola implica una certa connessione, compatibilità nelle dimensioni, dalle dimensioni di qualcosa con qualcosa. Anche se il primo, quello che di solito viene in mente, quando sentiamo questa parola, questa è un'idea di qualcosa di bello, Perfetto. Faccia simmetrica — questa faccia, in cui tutto è equilibrato, destra corrisponde a sinistra, sopra e sotto non creano una sensazione di contraddizione tra di loro. Una figura geometrica simmetrica non è costituita da molti elementi collegati in modo caotico, e viceversa, è una raccolta di elementi, possibilmente uguale, mostrando ordine. per esempio, cerchio. Tutti i punti si trovano a uguale distanza dal centro e in questo senso sono identici, indistinguibili l'uno dall'altro. O un triangolo equilatero. Tutti i lati sono uguali. Tutti gli angoli sono uguali. Puoi ruotare in questo modo, che quando i vertici corrispondono, allora il triangolo è sostanzialmente invariato, rimane lo stesso. È possibile capovolgere due parti di un triangolo, ottenuto dividendolo per qualsiasi altezza, l'uno sull'altro e combaceranno, e il nuovo triangolo sarà indistinguibile dal vecchio.

Quindi di cosa abbiamo bisogno, in modo che tu possa dire sull'argomento della conversazione, che ha una certa simmetria?

Il primo. L'argomento della conversazione sulla simmetria, parlando in generale, dovrebbe avere una certa complessità, consistere nel “dettagli”, essere una raccolta di altri elementi, e non essere qualcosa di unico. La semplice esistenza di un singolo elemento non permette di parlare di simmetria. Non c'è niente con cui confrontarlo, proporzione. Lo noterò, che cosa qui è già opportuno utilizzare il concetto matematico “molti”. Molti elementi.

Secondo. Perché sorga il concetto di simmetria, è necessario che gli elementi di un set siano coinvolti in qualche tipo di relazione tra loro, così che il concetto di set è stato aggiunto al concetto di operazione  sugli elementi di questo insieme. Solo il giudizio sul risultato di qualche operazione ci permette di dirlo, ci sono elementi in questo set (figura, corpo volumetrico, una frase o qualcos'altro) segni di presenza o assenza di simmetria, proporzioni. Per colpa di, di cosa parliamo di proporzionalità, potrebbe sembrare, che tale operazione deve necessariamente essere in qualche modo correlata alla misurazione, almeno nella sua forma rudimentale di confronto. Il confronto è davvero sempre fatto, ma, generalmente, nell'ultima fase, dopo l'operazione, che è qui. Rispetto quindi, cosa è successo prima dell'operazione, con quello, cosa è successo dopo averlo applicato. Ma l'operazione stessa, di cui tratta questo paragrafo, non necessariamente limitato alle operazioni di misurazione. A titolo di esempio, posso suggerire l'operazione di permutazione di elementi di qualche insieme.

Terzo. La simmetria implica, che cosa l'uso di una certa operazione lascia una certa proprietà (o più proprietà) moltitudini (l'argomento in discussione nel suo complesso) invariato. Qualcosa è invariante dell'operazione. Rimane una proprietà invariata dell'insieme nel suo insieme (o quegli elementi, a cui è stata applicata l'operazione). Forse, per colpa di, che le prime due proprietà sono abbastanza evidenti per noi, disponibile per impostazione predefinita, questa proprietà prevale nelle nostre idee sulla presenza o assenza di simmetria.

È accettato considerare, che è la base per descrivere le simmetrie usando come accurate, concetti matematici è il concetto di gruppo. È giusto, ma non proprio. Per prima cosa diciamo, quale gruppo — è un insieme di elementi con un'operazione definita in esso, la cui applicazione lascia gli elementi di un insieme in questo stesso insieme. Questa parte della definizione del gruppo corrisponde esattamente alle nostre idee sulle proprietà della simmetria. Ma nella definizione di gruppo ci sono anche alcune condizioni importanti sugli elementi dell'insieme e sulle proprietà dell'operazione. Li chiariremo in seguito.. Queste condizioni sono importanti per il concetto di gruppo, ma spesso eccessivo per descrivere le simmetrie. Leggermente più ampio è un altro concetto matematico — presentazione di gruppo. Fornisce alcune proprietà aggiuntive, che ci aspettiamo di trovare nella descrizione formale del concetto intuitivo di vari tipi di simmetrie. Da un punto di vista puramente formale, è più conveniente discutere il concetto di rappresentanza di gruppo sulla base del concetto già descritto, gruppo. Parlando in generale, alcune delle nostre intuizioni di base sulla simmetria devono essere descritte in un linguaggio di mappatura, e in nessun modo i gruppi e le loro rappresentazioni. ma, poi l'idea delle simmetrie, che si è formato in fisica, è più direttamente correlato al concetto di gruppo. Quindi io, in primis, Seguirò questa linea e di seguito cercherò di spiegare, a cosa è collegato?.

Definizione (matematico) gruppo. Set non vuoto con un dato in esso binario  (cioè. applicato a due elementi del set) operazione (e anche il risultato dell'operazione è un elemento dello stesso insieme, e non qualcun altro) chiamato un gruppo, se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

1. Il set ha elemento neutro, spesso chiamato unità, come, che la sua partecipazione come uno degli operandi (elementi dell'insieme coinvolti nell'operazione) dovunque (il risultato di un'operazione nel caso generale può dipendere dalla posizione dell'operando in un'operazione binaria) non cambia il secondo operando. Cioè. operazione, includendo questo elemento si ottiene come risultato il secondo elemento coinvolto nell'operazione. Nome “unità” storicamente correlato a, che le idee di base sulle proprietà dei gruppi sono spesso derivate dallo studio di un gruppo di numeri con l'operazione di moltiplicazione. A proposito, quindi molto spesso, viene chiamata l'operazione di gruppo stessa “moltiplicazione”. che cosa, naturalmente, non è altro che gergo, con ambito di applicazione limitato. questi nomi (“unità”, “moltiplicazione”) molto condizionale. I numeri sono un gruppo e in relazione all'operazione di addizione (e in un senso più rigoroso, a causa della rigorosa implementazione di uno in più, sotto condizione 2, rispetto alla moltiplicazione). In questo caso, l'elemento neutro è il numero zero, non un'unità.
2. Ogni elemento del set può essere associato indietro elemento, come, che l'operazione con questi due elementi (diretto e inverso), indipendentemente dal loro posto nell'operazione, risulta in un elemento neutro. Queste due condizioni possono essere definite come una condizione per l'esistenza dell'operazione inversa. (Aggiunta — sottrazione, moltiplicazione — divisione).
3. Condizione di associatività. L'operazione può essere applicata in sequenza. Poiché il risultato di un'operazione binaria è di nuovo un elemento dell'insieme, allora tre o più elementi da esso possono essere coinvolti in esso. In questo caso il risultato dell'operazione non dovrebbe dipendere da, come vengono selezionate le coppie in questa catena (perché l'operazione è fondamentalmente binaria!). Non importa, che prima l'operazione del primo viene eseguita con i secondi operandi, e quindi il risultato diventa il primo operando nell'operazione con il terzo. O prima il secondo con il terzo, e quindi il risultato diventa il secondo operando nell'operazione con il primo. Ma il posto di tutti gli elementi nella catena non dovrebbe cambiare..

Vediamo come appare nello specifico, tutti chiari esempi, e che nel concetto di gruppo può essere superfluo descrivere la simmetria.

Faccia simmetrica. Qui il set è composto da due metà del viso, sinistra e destra. Ciascuna delle metà include un sottoinsieme di elementi molto diversi. — occhi, guance, sopracciglia, metà del naso e della bocca, mento sulla fronte. È possibile perfezionare ulteriormente la descrizione del viso, ma è abbastanza, per vedere l'essenza dell'idea. E l'idea di una faccia simmetrica lo è, che ogni elemento della metà sinistra della faccia corrisponde esattamente allo stesso elemento della metà destra (bene e viceversa, ovviamente). Inoltre, questa corrispondenza è fornita dall'operazione di riflessione speculare lungo le linee, perpendicolare all'asse del viso — dritto Linee, passando per il centro della fronte, punta del naso e punta del mento. Molti, descrivere questa simmetria in senso matematico, consiste di almeno tre elementi (un asse di simmetria è stato aggiunto alle metà della faccia, più precisamente, punti, o aree molto piccole, situato su di esso) e operazioni di rispecchiamento degli elementi l'uno nell'altro. Da sinistra a destra e viceversa, e l'asse con questa visualizzazione rimane invariato (si può anche dire, ciò che viene visualizzato in sé).  Ma c'è una domanda — e l'insieme descritto con l'operazione soddisfa tutte le condizioni di cui sopra per essere chiamato un gruppo in senso matematico? Non. Ed ecco perché. L'operazione di riflessione in realtà non è binaria, ma unario. Si applica a un singolo elemento del set. La riflessione mappa qualsiasi elemento su un altro elemento. O lo stesso, se l'insieme contiene un elemento neutro rispetto all'operazione (la coincidenza del risultato con l'operando stesso è in questo caso la definizione di neutralità).  Anche la presenza di un elemento neutro non è necessaria nel caso in esame.. Dopotutto, puoi troncare la descrizione di una faccia a due metà, che si riflettono l'uno nell'altro. E l'idea di simmetria rimane ancora chiara con questa descrizione.. Per descrivere questo tipo di simmetria è sufficiente il concetto matematico “Schermo”.

Cerchio. Questo esempio è molto più ricco. Ti permette già di vedere come appare il concetto di un gruppo matematico.. Quella simmetria, che è apparso parlando delle proprietà del viso, ovvio immediatamente — appare nello stesso momento, come ci completiamo (almeno immaginario) cerchio di qualsiasi diametro, cioè. retta, passando per il centro del cerchio. Cioè. un cerchio è simmetrico rispetto a uno qualsiasi dei suoi diametri. Ma! Se c'è solo una linea di simmetria per il viso, quindi per un cerchio di tali linee, i diametri sono già infiniti ed è possibile girare il cerchio (e qualsiasi diametro selezionato) intorno al centro con qualsiasi angolazione. E allo stesso tempo da un lato, La simmetria sinistra / destra rispetto a questo diametro viene preservata, e, Oltretutto, il cerchio stesso coincide con se stesso (più precisamente, qualsiasi punto, sdraiato su un cerchio su di esso e rimane). Viene visualizzata una nuova operazione, più precisamente, infinite operazioni, la loro continua raccolta,  gira di una certa angolazione. Nel linguaggio quotidiano diremo, che un cerchio è come una figura geometrica, più simmetrico, di una faccia. Proviamo a descrivere questa nuova ricchezza nel linguaggio della matematica.

Fermiamoci alle curve. I giri possono essere eseguiti con diverse angolazioni. Ciò significa che questa operazione ha un parametro qualificante — angolo di rotazione. Ulteriore, si possono fare due turni, uno per uno e il risultato sarà anche una rotazione di un certo angolo (come sappiamo, gli angoli si sommano; questa proprietà è essenzialmente una definizione come parametro di rotazione, e l'operazione di pivot stessa). Dove sono le due svolte, ce ne sono tre e più. E il risultato complessivo sarà sempre una svolta. Ora facciamo un passo avanti nelle nostre costruzioni. Nemmeno in avanti, ma puoi dire su, costruire un altro piano sopra la nostra struttura. Piano terra — insieme di punti cerchio e operazioni di rotazione, preservando questo cerchio nel suo insieme. Il secondo piano sarà molte operazioni — giri. Ogni turno, corrispondente a un valore di parametro, l'angolo sarà considerato un elemento del nuovo set, molti colpi di scena. E già in questo set introduciamo l'operazione, combinando due turni consecutivi qualsiasi. Chiamiamolo “moltiplicazione”. Anche se avrebbero potuto chiamare “aggiunta” (se non altro sulla base, che gli angoli di svolta nel nostro caso, per definizione, si sommano). Dai un'occhiata da vicino a questo nuovo piano. Dopo tutto, questa costruzione corrisponde esattamente alla definizione matematica del gruppo. Ci sono molti. Molte operazioni su qualcos'altro? e allora? L'operazione è. Operazione sulle operazioni? E cosa c'è che non va? C'è un elemento neutro, “unità”? c'è. Rotazione dell'angolo zero (nessuna svolta). Un po 'strano? Non più strano di zero per set vuoto. In effetti, è questo.. La stessa faccia di profilo. Elementi inversi? Gira avanti e indietro. Consenti angoli di rotazione positivi, e negativo. Bene, c'è anche l'associatività nella sequenza dei turni.. Il gruppo di giri risulta essere identico al gruppo di numeri reali con l'operazione di gruppo “aggiunta”. Con una differenza significativa. Non tutti i numeri, e numeri nell'intervallo da 0 per 360 (se gli angoli sono misurati in gradi), o da 0 fino a 2π (misurata in frazioni della lunghezza del raggio, cioè. in radianti).

Vedemmo, come tentativo di descrivere un certo tipo di simmetria di una particolare figura, cerchi, ci ha portato al concetto di gruppo. Gruppi di trasformazione, in questo caso gira. E puoi ruotare altre figure? Può, ovviamente. E coincideranno tutti con se stessi allo stesso tempo? Non, ovviamente. E loro, che corrisponderà, anche se non per ogni turno, e per alcuni — per esempio, forme come un segmento di linea, triangolo equilatero, piazza, pentagono regolare e tutti gli altri regolari “piazze”.  Li chiamiamo simmetrici.. Cioè, si scopre, se la cifra non cambia dopo aver ruotato di un certo angolo (o angoli), allora ha una certa simmetria. Il gruppo di turno ci ha aiutato a vedere questa simmetria. Per diverse forme. E il gruppo è uno (beh, o campioni diversi da esso, sottogruppi). Ecco come si trasforma il nostro edificio, secondo piano (gruppo di trasformazione, giri) diventa il principale, fondazione. E in cima puoi attaccare diversi piani specifici (figure).

Quali conclusioni si possono trarre dagli esempi precedenti?

Per quanto riguarda la descrizione delle simmetrie, possiamo osservare, che sebbene il concetto di gruppo non corrisponda completamente al concetto di simmetria, ma i gruppi di trasformazione ti permettono di descrivere abbastanza completamente (e identificare la presenza) se non tutte le simmetrie senza eccezioni, poi, probabilmente, moltissimi. Almeno tutti quelli, a cui possiamo associare gli invarianti disponibili in questo gruppo (cioè. costruzioni, lasciato da tutte le trasformazioni da questo gruppo invariato). Diversi gruppi — invarianti differenti — diversi tipi di simmetrie.

Per quanto riguarda i gruppi stessi, la nostra attenzione si è concentrata sul ruolo speciale dei gruppi., elementi di cui sono trasformazioni, inoltre, trasformazioni attive. Rispettivamente, rivelano simmetrie in quegli oggetti, su cui agiscono queste trasformazioni. Tuttavia, è abbastanza chiaro, che le proprietà del gruppo stesse non sono strettamente legate alle trasformazioni di certi oggetti specifici. Le stesse proprietà, completamente o parzialmente, può avere gruppi di trasformazione, agendo su molti oggetti completamente diversi. per esempio, su forme geometriche (giri) e numeri (gruppo pieghevole). Eccetera. È qui che entra in gioco l'idea di presentare un gruppo. Gruppo, come astratto, concetto perfetto, può essere implementato da un'ampia varietà di gruppi di trasformazione. Esatto o con certo, deviazioni ben descritte. Qualsiasi implementazione di questo tipo è chiamata rappresentazione di gruppo.. Piu 'o meno lo stesso, come si può realizzare un insieme di cinque elementi con cinque pietre o cinque dita.

La rappresentazione più conveniente dei gruppi di trasformazioni per lo studio è la loro rappresentazione come matrici. La ragione di ciò, che i gruppi di matrici siano centrali nella teoria dei gruppi è sufficientemente semplice e allo stesso tempo fondamentale. Inoltre, rende inevitabile e onnicomprensivo l'uso della teoria dei gruppi in fisica., penetrando in diversi angoli della fisica. E anche matematici. E insieme ai gruppi, il concetto di simmetrie è naturalmente introdotto nella fisica. La verità deve essere detta, cosa esattamente perché, che per la fisica questi due concetti diventano quasi sinonimi, il concetto di simmetria in fisica è in qualche modo diverso da quello quotidiano, di cui abbiamo discusso sopra.   Qual è la ragione per i gruppi di trasformazione e, in particolare, gruppi di matrici così dedicati alla fisica?

Ho scritto diverse volte nei miei articoli, che qualsiasi descrizione del mondo, usando come matematica linguistica, si basa sulla procedura di misurazione. I numeri da soli sono solo simboli privi di significato. Acquisiscono i loro valori solo allora, quando questi caratteri sono associati ai risultati del conteggio o del confronto di qualcosa con qualcosa, preso come base, scala. E questa è la procedura di misurazione. Punto — la sua forma più semplice. Dopotutto, qui c'è una scala — bisogno di indicare, cosa ne pensiamo esattamente. E la procedura di misurazione non è affatto l'unica. Molti di loro. E differiscono, prima di tutto, le loro scale, le loro basi. Le procedure di misurazione stesse, usato per descrivere il mondo sono impostati, che può essere descritto, specificando le proprietà dei suoi elementi, somiglianze e differenze tra di loro. E l'ambito di alcune procedure può essere misurato da altri. E anche viceversa. E così queste dimensioni trasversali danno origine all'idea di trasformazioni e sono descritte da essa. Conversioni di numeri, risultati della misurazione, in altri numeri, anche i risultati delle misurazioni, ma ottenuto in modo diverso. Ridimensionare le trasformazioni, Trasformazioni di coordinate, conversioni di tutti i risultati di misurazione. Così, le trasformazioni sono parte integrante di qualsiasi nostra descrizione del mondo, affermando di essere. Le moltissime trasformazioni, almeno, alcune parti di esso, può anche essere descritto da un'idea. Vale a dire, idea di gruppo (diversi gruppi, per diversi sottoinsiemi di trasformazioni).

Voglio notare, che cosa queste trasformazioni sono per natura passive, descrivendo il cambiamento del punto di vista dell'oggetto selezionato, cambiando il modo in cui viene descritto. E quando si discute di simmetrie, siamo arrivati ​​a trasformazioni attive, manipolare un oggetto o parti di esso. Ma c'è una differenza? E quello, e no.

Dal punto di vista dell'applicazione della teoria dei gruppi, dal punto di vista di un'idea matematica astratta, non c'è differenza. Entrambe queste trasformazioni sono rappresentazioni, implementazioni degli stessi gruppi astratti, considerato puramente matematico, concetti ideali. Qualunque cosa, ciò che può essere descritto con l'aiuto di un punto di vista passivo può essere completamente scoperto e nel passaggio alle trasformazioni attive. E viceversa, ovviamente.

Fisicamente, c'è una differenza ed è fondamentale. Nel caso delle trasformazioni passive, i cambiamenti avvengono nel modo di descrivere, grosso modo nelle proprietà di un osservatore, non nell'oggetto descritto. Ma con trasformazioni attive, cambiamenti, se sono, questi sono cambiamenti nell'oggetto descritto (parti del mondo).

Per questo motivo, quando si applica il concetto di simmetria in fisica, sorgono due idee sulle possibili simmetrie.

Uno di loro, basato su trasformazioni attive, ha la stessa genesi, come la nostra idea quotidiana e, quindi è abbastanza facile da percepire. Abbiamo qualcosa. Girando, riflettere, mossa — partite (rimane invariante durante le trasformazioni) — significa simmetrico. Più invarianti ha il gruppo, più simmetrie. Lo chiamo tale simmetria simmetrie primo tipo.

 Ma quando si applicano trasformazioni passive, cambiando i punti di vista, emerge una comprensione completamente diversa delle simmetrie. Sembrerebbe, anche qui, più il gruppo di invarianti ha, più l'oggetto è simmetrico. In questo senso, tutto è corretto. Ma prestiamo attenzione a questo.:  Quando un gruppo di trasformazioni (cioè. punti di vista presi in considerazione) diventando sempre più ampio (il numero delle sue invarianti diminuisce e diminuisce) quindi le descrizioni degli oggetti, con punti di vista limitati (gruppi di trasformazioni ammissibili) che sembrava completamente diverso, incompatibile, diventano evidentemente diverse descrizioni dello stesso oggetto. Riflettere! L'oggetto è lo stesso (simmetria!), l'intera ragione per questo, che abbiamo considerato diverso un certo insieme di oggetti, sta in questo, che questo oggetto è visibile a noi (descriviamo) da diversi punti di vista. E l'unificazione di questi diversi punti di vista in un unico gruppo è difficile per un motivo o per l'altro., soggettivo o oggettivo. Questo tipo di simmetria che chiamo simmetria del secondo tipo. Per la fisica, la loro ricerca e la presenza di simmetrie del secondo tipo sono molto più importanti., del solito primo tipo. La presenza di simmetrie del primo tipo rompe le simmetrie del secondo tipo. Le simmetrie del secondo tipo si trovano solo allora, quando le simmetrie del primo si estinguono.

Esempi di.

Se consideriamo solo rotazioni ortogonali sul piano (mantenendo la lunghezza, calcolato dal teorema di Pitagora), quindi solo i cerchi dello stesso raggio con un unico centro all'origine si uniscono. Cioè. un solo cerchio. Aggiungi offset di una coordinata — tutti i cerchi con centri su questo asse di coordinate diventano immagini di uno solo. Aggiungi spostamenti in due coordinate — su un piano, tutti i cerchi dello stesso raggio sono immagini di uno. Aggiungi un ridimensionamento generale, cambiamento simultaneo nella stessa proporzione di scale in entrambe le coordinate (cioè. cambiamento di lunghezza) — in generale, qualsiasi cerchio risulta essere l'immagine di un singolo. E se risolviamo scale diverse in due coordinate, allora possiamo realizzare, qual è la differenza tra tutti i tipi di ellissi (compresi i cerchi) si verifica a causa di, o può essere compensato da un semplice cambiamento di punto di vista, procedure di misurazione.

Ecco un esempio dall'avanguardia della scienza. Molto tempo fa in fisica la comprensione di, che le particelle elementari sono rappresentazioni del gruppo di Poincaré. Facciamo una domanda, quanto è ampio questo gruppo, include tutte le trasformazioni ammissibili delle procedure di misurazione senza eccezioni?, cambiamenti accettabili del punto di vista? Chiaro, cosa no. Per lo meno, pensiamo a una transizione alla trasformazione da gruppi molto più ampi, inclusi l'uno nell'altro, fino al gruppo più generale di trasformazioni localmente non singolari, preservando solo il numero di dimensioni dello spazio-tempo. Tuttavia, una simile espansione del gruppo deve essere analizzata dal punto di vista non solo dell'ammissibilità di un concepibile, ma anche dal punto di vista delle nostre reali possibilità (espansione) realizzare. Su questo percorso puoi arrivare (capire) ragioni per combinare particelle elementari in famiglie, così come le ragioni della differenza nelle caratteristiche delle singole particelle, uniti in queste famiglie. Poi, ciò che ora viene chiamato in fisica simmetrie interne rotte.

E ora sul motivo per trovare i gruppi di matrici al centro della teoria dei gruppi. È trasparente — le trasformazioni passive generano localmente matrici di transizione da una coordinata all'altra (da una procedura di misurazione all'altra, da una descrizione del mondo a un'altra). Nel caso di una singola scala nella procedura di misurazione, la matrice è ridotta a un unico numero, il rapporto tra la scala delle diverse procedure. Se ci sono due scale, tali numeri diventano quattro e vengono combinati in una tabella, matrice quadrata 2x2. Quadrato perché, che il numero di scale in ciascuna procedura di misurazione dovrebbe essere necessario e sufficiente per una descrizione completa dell'oggetto misurato, il che significa lo stesso. Sono necessarie più scale per descrivere l'oggetto — più numeri nella colonna e nella riga della matrice. 3x3, 4x4, ecc.. Rispettivamente, numericamente, i gruppi di trasformazione sono gruppi di matrici. Questa è l'implementazione più importante di qualsiasi gruppo., permettendoti di studiarne direttamente le proprietà.

In matematica e fisica, Oltre ai concetti di simmetria discussi sopra, ce n'è uno in più, apparentemente formale, ma in effetti è anche un concetto molto importante di simmetria (e antisimmetria) oggetti matematici e fisici rappresentati da loro. Risale al concetto di immutabilità (o la presenza di modifiche di un determinato tipo) qualsiasi oggetto composito quando si riorganizzano le sue parti. Un semplice esempio — un oggetto è un insieme di due (o più) esattamente gli stessi oggetti. Come non scambiare questi elementi, l'oggetto stesso (intero set, nel complesso) non cambia.

Oggetti geometrici, tranne il più semplice, scalare, sono questo tipo di set, serie di risultati di misurazione. Per, per distinguerli l'uno dall'altro, ogni componente è assegnato indici. Allo stesso tempo, l'oggetto stesso è contrassegnato da una lettera, etichetta. E a questa lettera a destra, in alto e (o) in basso aggiungi un indice, che può avere un valore di numero di scala, a cui è associata la misura di questa particolare proprietà, questo componente oggetto. Esistono due tipi di misurazioni. Diretto, dire in quale relazione è una data proprietà (componente) oggetto alla scala specificata, grosso modo, quante volte la scala si adatta a questo oggetto. In questo caso, index, numero di scala, messo sopra e il componente acquisisce la dimensione della scala data. per esempio, metro, centimetro, secondo. Questo indice è chiamato controvariante.. Ci sono anche coniugati, misurazioni specifiche, parlare di, quanto di un dato componente, di questa proprietà dell'oggetto ricade sulla scala unitaria corrispondente. Dimensione, appropriatamente, 1 diviso per metro, per centimetro o secondo. Abbastanza comprensibile, che le misurazioni dirette e coniugate sono coniugate per moltiplicazione. per esempio, se parliamo di un'unica scala, allora gli oggetti più semplici avranno un componente e un prodotto di componenti coniugati dello stesso oggetto, misurato in modo diverso, ne darà uno (senza dimensione! un soggetto, non importa cosa) a qualsiasi scelta di scala. Per distinguere tra misurazioni dirette e coniugate, l'indice di questi ultimi è sempre scritto di seguito ed è chiamato covariante.

Se un oggetto geometrico ha due o più indici dello stesso tipo (controvariante o covariante, ma non misto), allora diventa possibile costruire due nuovi oggetti geometrici dai componenti di questo oggetto. Questi due oggetti sono chiamati le parti simmetriche e antisimmetriche dell'oggetto originale.. per esempio, prendi un oggetto B^io_jk. Due oggetti possono essere formati dai suoi componenti,  S^io _jk = 1/2 ( B^io_jk + B^io_kj) e UN^io_jk = 1/2 ( B^io_jk – B^io_kj),  quindi l'oggetto originale è la loro somma:   B^io_jk = S^io_jk + UN^io_jk. Tutte queste formule devono essere intese come segue, cosa succede se invece degli indici j e k mettiamo i loro valori specifici?, quindi per tutti questi valori valgono le uguaglianze scritte. per esempio, S^io₁₂ = 1/2 ( B^io₁₂ + B^io₂₁)  per qualsiasi valore i. oggettiS^io_jk eUN^io_jk hanno nomi speciali — parte simmetrica   e parte antisimmetrica oggetto B^io_jk. Questi nomi sono equivalenti ai rapportiS^io_jk=S^io _kj      eUN^io_jk= –UN^io_kj    , che sono ovviamente soddisfatte per loro grazie alla loro struttura. Le operazioni di selezione delle parti simmetriche e antisimmetriche vengono solitamente chiamate simmetrizzazione e antisimmetrizzazione. Poiché queste operazioni sono invarianti rispetto alle trasformazioni di coordinate (scelta della procedura di misurazione), cioè. le relazioni vengono mantenute in tutti i sistemi di coordinate, se sono corretti in nessuno, quindi l'uguaglianza a zero di una qualsiasi delle parti è un fatto assoluto, indipendentemente dalla scelta del sistema di coordinate. Cioè. se un oggetto è simmetrico (la parte antisimmetrica è zero), allora questo è vero per tutte le sue descrizioni. Lo stesso vale per l'antisimmetria. Infatti, queste due parti non dipendono l'una dall'altra. Simmetrizzazione (selezione di una parte simmetrica) gli oggetti geometrici possono essere disegnati solo utilizzando un numero pari di indici dello stesso tipo. Ma l'antisimmetrizzazione può essere eseguita utilizzando un numero arbitrario di tali indici (se presente,ovviamente), aggiungendo alla formula che definisce questa operazione i termini con indici permutati ciclicamente e un segno più per un numero totale pari di permutazioni e un segno meno per un numero dispari. Oltretutto, invece di un moltiplicatore 1/2 il numero di possibili permutazioni uniche dovrebbe essere usato come fattore di ponderazione, cioè. è necessario dividere la somma risultante per il fattoriale del numero di indici dello stesso tipo partecipanti all'operazione. Per esempio, ci sono tre controvarianti (o covariante) indice. Quindi la somma includerà termini con indici della forma: +ijk -ikj +kij -kji +jki -jik, Totale 6. E il fattore di ponderazione sarà 1/3!= 1/6. Questa non è una differenza accidentale tra queste due operazioni.. Un po ', l'antisimmetrizzazione è un'operazione più fondamentale, si occupa anche di una branca speciale della matematica, teoria delle forme. Ci sono fatti molto importanti nella geometria vera e propria, riguardante oggetti completamente antisimmetrici. In particolare, antisimmetrizzazione per il numero di indici, superando la dimensione dello spazio dà automaticamente zero. E con l'uguaglianza — o volume (per indici controvarianti), o la sua quantità coniugata, densità apparente.   Anche la simmetrizzazione è un'operazione molto importante., ma in un certo senso è più privato, ha una versione leggermente più specifica, significato non universale. per esempio, quando spazi metrici. Sebbene queste osservazioni siano abbastanza relative. Dopo tutto, una delle direzioni di classificazione delle strutture che sono più importanti per la geometria, connessione affine e tensore di curvatura si basa proprio sulla separazione delle loro parti simmetriche e antisimmetriche.

Queste operazioni sugli indici apparentemente formali ci permettono in realtà di descrivere alcune proprietà fondamentali degli oggetti nel mondo reale.. Utilizzando questi concetti, diventa possibile classificare, elenca queste proprietà.

© Gavryusev V.G.
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