В чём разница между теми и другими? Почему об этом стоит поговорить?

Трудно избежать разговора о системах координат и системах отсчёта, Se discutiamo di problemi di spazio temporale. E nella vita di tutti i giorni, la presentazione di una varietà di informazioni in alcune coordinate è la cosa più familiare per noi, даже если мы часто и не отдаём себе в этом отчёта. За примерами далеко ходить не надо. Год, месяц, день, час, минута, secondo — что это по вашему? Координаты. Временные координаты. А страна, город, улица, номер дома? Координаты пространственные. Хотите с кем-то встретиться? Никуда не денетесь от того, чтобы как-то описать время и место встречи, причём в форме, понятной и вам и вашему партнеру. Еще и часы сверите, если время для вас важно. Хотите письмо послать – позаботитесь о правильном, известном почте, адресе. Вы же не будете посылать письмо “на деревню, дедушке”. Хотя это ведь тоже координаты. И даже правильные.

Perché sto dicendo cose così banali? E per enfatizzare, che cosa, un lato, i sistemi di coordinate molto tempo fa sono una componente integrale delle nostre vite, d'altra parte, требуется довольно-таки аккуратное обращение с ними, чтобы не попасть впросак. Наука с координатами обращается конечно не так небрежно, как мы позволяем себе иногда в обыденной жизни, но и в научном подходе к системам координат остаются кое-какие умалчиваемые вещи, которые людей не очень дотошных иногда могут вводить в заблуждение. Да и дотошных тоже. Per ogni salvia è abbastanza semplicità. La ragione di ciò non è il malizioso di matematici o fisici, E in un semplice fatto, che cosa “coordinate non del tutto buone” во многих случаях могут быть чрезвычайно удобными, подходящими для описания того или иного явления. А их “не совсем хорошесть” molto tempo fa, sembra noto, Bene, cosa ricordare di lei? E devi ricordare qualcosa. Oh come dovrebbe. Spesso, Se ricordi qualcosa sul sistema di coordinate utilizzato, Molto può diventare più chiaro.

Начнем опять с вещей близких, которые представляются понятными каждому. Всё тот же лист бумаги. Проведём на нём прямую линию. Какие системы координат являются регулярными, обычными – consentito – Su questa linea? Qual è il sistema di coordinate sulla linea? Per determinare il sistema di coordinate, è necessario un punto, per l'inizio del riferimento, zero. E unità di dimensioni, с помощью которой мы в обе стороны от начала отсчёта приписываем координату всем остальным точкам. Как измеренное этой единицей расстояние до начальной точки (a cui è assegnata la coordinata zero). Disponibile on line e direzione, come segno di un numero, specificando la coordinata. Questo segno indica, dove è il punto relativo allo zero – sinistra o destra. Tutto sistemi di coordinate, отличающиеся лишь величиной единицы измерения, выбором начальной (нулевой) точки и выбором положительного направления (налево или направо) являются вполне регулярными, consentito системами координат. Essi позволяют описать все точки нашей прямой в одинаковой степени полно. А какая система координат была бы в этом смысле недопустимой? Нет таких? c'è. Se, contrariamente al buon senso, decidiamo di scegliere un'unità di misura con una lunghezza zero, Quindi non funzionerà per descrivere tutti i punti di una linea retta. Possiamo descrivere solo un punto, inizio del conteggio. sì, этот пример весьма далёк от здравого смысла, но я его привёл для того, чтобы заострить внимание на том, che cosa “допустимость” (регулярность) o “не допустимость” (не регулярность, или иначе, сингулярность) I sistemi di coordinate sono associati proprio all'assenza di degenerazione di questo spazio in uno spazio di un numero minore di misurazioni solo a causa della scelta di alcune proprietà della procedura di misurazione, produrre sistema di coordinate. Nell'esempio sopra, questa è la degenerazione di una linea retta in un punto a causa della selezione impropria di un'unità di misurazione. Ora mostrerò, Quel mio esempio non è così ingenuo, come potrebbe sembrare a prima vista. Lascia che abbiamo un buon sistema di coordinate sul nostro diritto (cioè. L'inizio del riferimento è selezionato, unità e direzione positiva). Considera tutti gli altri sistemi di coordinate su questa linea, che differiscono da questo solo per l'unità di misura. Se la nuova unità è la stessa per tutti i punti sulla linea, e diverso da zero, allora andrà bene anche il nuovo sistema di coordinate, ammissibile. E se il suo valore può variare da punto a punto? Кстати не такая и странная возможность. per esempio, нам хочется иметь логарифмическую шкалу на линии. Бывает? Бывает. Вот тут-то и подстерегает нас опасность. Мы должны отслеживать, чтобы нигде на линии новая единица измерения по отношению к старой не превратилась ни в нуль, ни в бесконечность. А если всё-таки в какой-то из точек такое может случиться? Puoi usare questo sistema di coordinate? Sembra essere brava in altre aree.? La scala logaritmica è! E lo usiamo spesso.. La risposta è chiara. È possibile utilizzare, но относить её к совершенно хорошим, допустимым, регулярным системам координат нельзя. Questo сингулярная система координат. Важно то, che cosa никакая точка линии сама по себе особенной не является. Особенность той или иной точки на линии искусственная, обусловленная специфическим выбором в ней единицы измерения. Поэтому именно система координат названа сингулярной. И об этом нужно помнить. Così, уже в одномерном случае мы встречаем случаи использования не только регулярных, но и сингулярных координат.

Посмотрим теперь двумерный случай. Одна точка выбрана за начало отсчёта. Ей присваиваются нулевые значения обеих координат. Выбраны две ортогональные координатные линии, две единицы измерения, два положительных направления. Вот это и есть наша регулярная система координат. Достаточно очевидно, что если мы нуждаемся в некоторых случаях в неравномерных шкалах, по одной, или по обеим координатным линиям, то среди многих получающихся таким образом координатных систем найдутся и сингулярные в некоторых точках плоскости. Сингулярность которых, как и в одномерном случае, a causa della degenerazione in unità di misurazione zero in questi punti. ma, в двумерном случае имеется ещё одна возможность вырождения двумерного пространства в пространство меньшего числа измерений за счёт “плохого” выбора процедуры измерений, порождающей систему координат. Довольно часто мы пользуемся не ортогональными системами координат, а такими, координатные линии которых сходятся в точке под некоторым произвольным углом. Такие системы координат иногда называют кривоугольными или криволинейными. Чуть позже я остановлюсь и на других, очень часто употребляемых недекартовых координатах. Ora voglio attirare la tua attenzione su un fatto ovvio. Là, dove l'angolo di convergenza delle linee coordinate si annulla, la degenerazione ha luogo di nuovo. Двумерное пространство изображается как одномерное, всего лишь одной координатой. Потому что нулевой угол между координатными линиями и означает, что линия-то в этом месте всего лишь одна. То есть в такой точке система координат будет сингулярной за счёт того, что вместо необходимых для её регулярности двух различных единиц измерения используется два экземпляра (может быть отличающихся по величине) одной и той же единицы измерения.

Сингулярными в некоторых точках могут стать и вполне обычные, “ортогональные” всюду координаты, не только за счёт “неправильного” выбора величины или направления масштабов, а просто вследствие некоторых свойств самого пространства (вполне регулярных!), не позволяющих описывать tutto это пространство единственной регулярной системой координат. Примером такого пространства в одномерном случае может служить замкнутая линия, а в двумерном – сферическая поверхность. Именно замкнутость пространства e является тем свойством, которое препятствует возможности введения единственной регулярной системы координат, накрывающей всё пространство целиком. При попытке же всё-таки обойтись единственной системой координат, все координаты или какая-то их часть приобретают ограниченную базовую область изменения, период. Могут появляться также и особые точки, в которых координаты снова вырождаются, come, per esempio, в полюсах на сфере. Сетка параллелей и меридианов прекрасно работает всюду, кроме двух точек, где параллели стягиваются в точку, имитируя исчезновение одной из двух единиц измерения, необходимых для правильного описания двумерной поверхности. Così, система координат, basato sulla descrizione della sfera mediante paralleli e meridiani (esattamente lei, che usiamo per l'orientamento sulla superficie del globo) è intrinsecamente singolare. Это свойство отнюдь не мешает использовать её вполне успешно в повседневной жизни. А вследствие того, что Земля ещё и вращается, у нас появляется очень привлекательная возможность приписать этим фиктивным особенным точкам, полюсам некий мистический смысл. И даже организовывать экспедиции, чтобы их достигнуть. perché, с точки зрения вращения Земли действительно имеются две особенные точки, через которые проходит воображаемая ось вращения. А кроме того, точки эти труднодоступны. Однако то, что полюса системы координат, базирующейся на параллелях и меридианах также помещены именно в эти точки земной поверхности, для самой системы координат факт не существенный. Полюса такой системы координат на сфере вполне могли бы быть помещены в две любые точки, находящиеся на концах одного диаметра.

Посмотрим теперь ещё на один класс сингулярных систем координат, используемый тоже весьма широко. Я хочу поговорить о Coordinate polari sul piano e coordinate polari sferiche nello spazio tridimensionale. Queste coordinate in fisica sono usate molto ampiamente. Да и обычному человеку они вполне привычны. Каждый из нас достаточно часто рассматривает себя как центральную точку системы координат, в которой всё что он видит располагается на некотором расстоянии (радиусе) от него, e, Forse, в разных направлениях, которые отмечаются поворотом на некоторый угол от какого-то выбранного направления. Такая система координат сингулярна уже потому, что одна (или две) координаты, углы, являются периодическими, поскольку при некотором повороте (периоде) направление снова совпадает с начально выбранным, от которого и отсчитывается угол поворота. Но в ней имеется и более существенная особая точка, само начало координат. В этой точке, cioè. при значении радиуса равном нулю, все направления вырождаются, их нельзя определить однозначно. Любое направление можно приписать этой точке. По простейшей причине – для однозначного выбора направления нужно иметь хотя бы две точки, а не одну. Poi, что эта особенность сугубо координатная, обязанная своим существованием только способу построения системы координат, abbastanza ovvio. Полярные системы координат весьма полезны и эффективны в тех случаях, когда главную роль играет только расстояние между объектами. Infatti, это способ описания, который выделенным naturalmente вписывает одномерное описание во внешний мир большего числа измерений. При этом внимание акцентируется на единственной существенной координате – расстоянии, радиусе.

Понимание таких вот свойств сингулярных систем координат позволяет не только избежать неверного толкования некоторых “speciale” явлений в получающемся описании мира. Ti permette anche di comprendere meglio le leggi della natura. Prendi ad esempio la legge di gravità Newton. Che dice? Che la forza attraente agisce tra corpi massicci, которая зависит только от масс тел и от расстояния. Почему же в трёхмерном пространстве она зависит только от одной величины? В полярных координатах – только от одной из трёх координат? Да по простейшей причине. В приближении Ньютона тела рассматриваются как точки. И если у вас есть только две точки, то у вас на самом деле нет никакого трёхмерного пространства. У вас только одномерное пространство, в котором выделены две точки. А если вы рассматриваете общее движение двух точек, то автоматически получаете плоскость, заметаемую соединяющей их прямой (и один из законов Кеплера в придачу). Questo è tutto. В системе двух точек есть только одна существенная координата, расстояние между этими точками. Силе просто больше не от чего зависеть. Rispettivamente, в приближении Ньютона именно полярные координаты будут особенно удобными для описания, скажем системы, состоящей из звезды и одной планеты. Несмотря на их очевидную сингулярность для трёхмерного пространства. Naturalmente, при отказе от такого простейшего приближения, при учёте влияния всего остального мира, гравитационная сила в любой данной точке будет определяться уже гораздо более сложной структурой, кривизной appare solo quando (spazio tempo) в данной точке. И полярные координаты, вполне вероятно, перестанут быть более удобными, чем, Dire, декартовы. Хотя бы уже потому, что имеют встроенную сингулярность.

© Gavryusev V.G.
I materiali pubblicati nel sito possono essere utilizzati nel rispetto delle regole di citazione.