Come mai ?

На этот вопрос можно отказаться отвечать – мир так устроен и всё. sì, мир так устроен. Но ведь мир не знает, что-такое “псевдоевклидово” пространство. Да и мы до Г.Минковского этого не знали. Большинству и сейчас слово это мало что говорит. Так что же стоит за утверждением “Пространство-Время псевдоевклидово в окрестности точки“?

Я постараюсь показать, что за этим утверждением стоит один весьма тривиальный факт, parlando in generale, являющийся не свойством (“законом”) мира как такового, а вполне понятным свойством имеющихся ограничений в возможности описывать этот мир.

Forse, указание на то, что мы – любой экспериментатор, живой ли субъект, неживой ли объект – non importante – являемся частями мира, но никак не эквивалентны ему как целому, является достаточно общим местом. Но как много следует из этого общего места! In particolare, также и то, что мы называем псевдоевклидовостью пространства-времени.

Чтобы лучше понять, что такое псевдоевклидовость , разберёмся сначала, что такое евклидовость.

Понятие о Евклидовом пространстве мы получаем ещё в школе. Для простоты будем говорить о двумерном пространстве, не представляющем проблему ни для воображения, ни для немедленной реализации. Forse, любой человек в качестве примера области в евклидовом пространстве предложит посмотреть на лист бумаги. И будет прав, но не полностью! На самом деле, лист бумаги является примером вложенной в друг друга иерархии некоторых, более общих чем евклидово, пространств – многообразия, пространства аффинной связности, Риманова пространства, аффинного (линейного) appare solo quando и только уже потом евклидова. Да и то, если только мы уже подразумеваем, что положение точки на листе описывается с помощью каким-то образом определённых координат.

В чем заковыка? Il fatto, che cosa l'insieme dei punti diventa spazio solo specificando un modo ben definito (modi!) assegnare numeri a questi punti – “indirizzo” – che glielo consentono (punti) различать друг от друга.

Как мы это делаем? Нет ничего проще! Берём прямоугольный треугольник, выбираем на листе точку, называем её началом координат (отсчёта) e tracciare due linee perpendicolari attraverso di esso – assi del sistema di coordinate. Metti da parte intervalli uguali su ciascuno degli assi dall'origine, Dire, un centimetro e fatto! Noi сделали евклидово пространство на этом листе бумаги. Из каждой точки можно опустить на обе оси перпендикуляры и приписать точке две координаты – количество единиц на каждой из осей, separare la proiezione di un punto dall'origine. Si può anche dire, che nel nostro progetto due assi mutuamente perpendicolari passano per ogni punto. Allo stesso tempo, come dimostrato Pitagora, abbiamo una distanza euclidea ben definita dal nostro punto all'origine, e con essa la distanza euclidea tra due punti qualsiasi su un foglio di carta. Voglio sottolineare – è tutto quanto sopra insieme che rende un foglio di carta un esempio di una regione nello spazio euclideo.

E se Invece obbligatorio angolo retto tra gli assi consentiamo eventuali angoli (ma sempre lo stesso in questa implementazione del sistema di coordinate)? Foglio, allineato in un righello con una pendenza. Cosa è più facile? Chi è più vecchio, posso ancora ricordare tali quaderni per la calligrafia nella scuola elementare. Può? sì, certo che puoi. Tale foglio rimane un esempio dello spazio euclideo? Non. Questo sarà già esempio affine (линейного) appare solo quando. Più generico.

Tempi più comuni, significa che abbiamo perso qualcosa. Poi, cosa è nello spazio euclideo e cos'altro non è nell'affine. Cos'è questo? Il teorema di Pitagora e la metrica euclidea, l'allegoria della presenza di cui è il teorema di Pitagora. Abbiamo perso la distanza euclidea tra i punti. Ed ecco una distanza lineare ben definita tra due punti qualsiasi, cioè. линейную метрику мы пока ещё имеем. Только расстояние вычисляется не с помощью теоремы Пифагора.

E adesso дозволим углам между осями меняться при переходе от точки к точке. Что произойдёт? Anche il nostro foglio ha cessato di essere un esempio di spazio affine.! Ma eccolo qui, non andare da nessuna parte! Perché ora è un esempio?? È facile da indovinare, che cosa примером некоторого ещё более общего пространства – Риманова. А расстояние между точками есть ещё или уже нету? Ещё есть, метрика ещё существует. Но это уже не прежнее линейное расстояние, для вычисления которого достаточно было знать координаты только двух любых точек. Adesso расстояние нужно вычислять интегрируя вдоль пути (cioè. накапливать по чуть-чуть, смещаясь вдоль некоторой линии, ведущей из одной точки в другую). Расстояний оказывается столько же, сколько и путей! Ma! Среди всех расстояний оказывается одно – наибольшее (или наименьшее). Путь, который даёт такое расстояние называют геодезическим.

Но оставим пока эту увлекательную дорожку. Она нас уведёт в сторону от нашей цели – pseudo-euclidea. Facile da capire, NSриставка псевдо- si intende, che Euclideo è, per così dire,. E l'abbiamo perso qui per molto tempo, ancora sul primo passo verso la libertà. Significa, abbiamo sbagliato strada, quando hanno preso gli angoli tra gli assi (ma un'illustrazione di ciò, что всякое соглашение крайне важно для конечного результата мы получили!)

COSÌ, углы между осями остаются прямыми! Sottolineo – это соглашение, non più! Но что при этом ещё важно – мы имеем практическую возможность придерживаться этого соглашения. У нас есть прямоугольные треугольники. Твёрдые, quelli buoni, совершенно неизменные прямоугольные треугольники. Правда есть? Правда неизменные? Ну ладно, оставим это тоже “на потом”.

Так что же мы ещё можем легко и сразу поменять в нашей конструкции координат для евклидова пространства? Tipo cosa – unità. Сантиметры, дюймы, локти, сажени. Да и метры и километры – тоже другие единицы, не сантиметры же.

Кто нам велел по обеим осям откладывать одинаковые единицы? Будем всегда по одной оси откладывать сантиметры, di altri pollici. Come?, armonizzeremo finalmente l'Europa con l'Inghilterra e l'America. Abbiamo il diritto? si perché no? Abbiamo! Questo è solo…. sì, siamo decisamente qualcosa perduto. E cosa? Beh, certo, di nuovo la distanza… Inoltre, ora revisionato. Не только евклидово, а и вообще, метрическое расстояние. Infatti, много ли смысла смешивать дюймы с сантиметрами в какой-нибудь формуле? Ну сложим 5 дюймов с 3 сантиметрами. И что получим? sì, non bene. Ma l'assenza di distanza in un dato spazio non chiude la possibilità di descrivere punti su un foglio di carta e quindi. Ma questo ci allontanerà ancora una volta dallo pseudo-euclideo. Significa, расстояние мы должны сохранить. А это значит, che cosa единицы по всем осям должны быть одинаковы!

Bene, единицы по обеим осям выбираем одинаковые. А что тогда освободим? Bene, per esempio, пусть оси будут кривыми, а не прямыми. Ой, опять расстояние потеряем… А если дозволим единицам (вместе, для обеих осей одновременно) меняться при переходе от точки к точке, как было дозволено углам, и что привело к Риманову пространству? Non, опять расстояние пропадёт. Так что же ещё можно освободить?! Ведь больше ничего не осталось, всё попробовали!

Non, кое-что мы упустили. E связано это действительно с выбором единиц измерения по разным осям, только посложнее, чем делали мы до сих пор.

Nota, как нам хорошо, удобно манипулировать листом бумаги. Прикладываем наш треугольник и так, и этак. Поворачиваем его как хотим, переносим. А почему это возможно? Perché, che cosa triangolo существует вне листа бумаги. Не является частью того пространства, для описания которого применяется. Накладывает ли это какой-нибудь отпечаток на результат? Накладывает, да ещё какой!

Poi, что единицы измерения находятся вне моего листа бумаги, позволило мне избежать многих оговорок в предыдущих рассуждениях, которые должны были бы неизбежно появиться, если бы я изначально подразумевал, что единицы измерения суть внутренние объекты на этом листе. Infatti, я впечатывал в этот лист, то что хотел – какие единицы, как они меняются от точки к точке, не заботясь, существуют они там на самом деле такие или нет. Я неявно навязывал в ту область пространства, которую моделировал листом бумаги, определённую структуру, о которой даже и не упоминал. Структура эта называется объектом connessione affine, имеет смысл скорости относительных изменений единиц измерения, реализующих данную систему координат (в ней же) при смещении от точки к точке. E пространство становитсIO, per esempio, евклидовым не Appena perché, что мы не допускаем не-декартовы координаты. А потому, что в нём существуют объекты, которые можно использовать как единицы измерения, производящие декартовы координаты и в которых (в декартовых координатах) вот эта структура, аффинная связность, всюду, в каждой точке нулевая. Cosa significa, нулевая аффинная связность? Да очень просто – все эти единицы всюду одинаковы. Cioè. при полностью самосогласованном, внутреннем описании геометрии некоторого пространства, главное – есть ли такие координаты, как нам нужно, можно ли их реализовать внутренними объектами. А нам – nel nostro caso, когда на лист бумаги мы наносим единицы измерения извне, такие как хотим – можно всё.

In particolare, мы используем треугольник – cioè. сразу оба масштаба вместе, с заданным углом между ними в данной точке и подразумеваемым равенством единиц по обеим осям. Ulteriore, наш треугольник можно переносить без изменения этих соотношений в любую точку листа бумаги и поворачивать как угодно, Compreso, COSÌ, что одна ось может быть совмещена с другой (как бы два экземпляра треугольника сразу в одном месте) и единицы их при этом можно сравнить непосредственно. Возможность переносить весь репер (triangolo) без изменения означает, что связность нулевая и пространство евклидово. А возможность поворачивать даёт возможность подтвердить, то что подразумевалось – выбор одинаковых единиц, гарантирует его. А вот если такой возможности (поворачивать) у вас No? Что будет? Тут-то мы, finalmente, и нащупываем тропинку к пониманию того, откуда появляется приставка псевдо.

Представьте себе, что вы живёте внутри этого листа бумаги, вы его часть, линия в нём. E, ovviamente, вы считаете себя прямой. (По крайней мере, прямее всех остальных. А что? Имеете право, пока не доказано противоположное.) Ваше существование реализует ваше время (не чувствуете связи – время существования – самое привычное словосочетание, non è questo?). Ваше существование – это прямая на (v) листе бумаги. Есть другие прямые. И кривые тоже. Вы даже как-то с ними общаетесь. По крайней мере, иногда пересекаетесь или обмениваетесь чем-то (отправляете некую точку, quale, уткнувшись в другую линию, возвращается назад к вам). Così, вы знаете, что мир ваш двумерен, по-крайней мере. Вы – одно измерение, есть ещё что-то – значит измерений больше одного. Так вы строите образ вашего мира как двумерное пространство. Какое? Ваша unità di misura, ваш масштаб времени всегда с вами e, da solo, вы считаете его одним и тем же во все моменты своего существования. Questo реализуемый вами scala. Вот здесь уже появилась идея евклидовости. Не заметили? А как же – масштаб то ваш неизменен, один и тот же, a-prior. (По вашему определению, но вам-то что за дело, если другие имеют свои определения? Пока вы для себя стараетесь, с другими потом договоримся.) Но измерений-то два! В репере нужно иметь два одинаковых (и неизменных) scala. Вот тут вы мне должны позавидовать. Сижу я над листом бумаги со своим треугольником, и в ус не дую. А вам то что делать? Где взять второй масштаб? Нету ведь его на вашей линии и всё тут! Risposta – un придумать. Пусть будет. И не какой нибудь завалящий, un именно такой, как вам нужно – cioè. ортогональный (перпендикулярный) к вашему масштабу времени, e, ovviamente, постоянный всюду. Хозяин – барин. Что хочет, то и придумывает. Ваш родной, реализуемый масштаб постоянен. А уж придуманный хуже не должен быть. Вот и стал ваш мир (двумерный) евклидовым. Где бы вы не оказались, у вас есть два прекрасных масштаба для его описания. Один временной и один, Dire, пространственный… che cosa? Ах, вы не везде бываете? Ну ладно, умерим претензии – всё это так красиво только в ваших окрестностях, cioè. mondo (его описание двумерным пространством-временем) евклидов локально, в окрестности каждой точки вашего (Linee) esistenza.

Евклидов?! Lasciami, я со своим треугольником могу удостовериться, что мои единицы для обеих осей равны, поворачивая треугольник. А вы так можете? Non? А почему? Ах, у вас только одна реализуемая единица, масштаб времени. И как вы там внутри листа бумаги не крутитесь, она таковой единственной и останется. Ну никак нельзя совместить реализуемый масштаб с воображаемым. Тот всегда должен быть ортогональным к масштабу времени. Ведь мы его таковым вообразили. И точка. Ну не одинаковые ваши масштабы! E это необходимо признать явно. Не может в вашем математическом образе пространства-времени масштаб времени превращаться в масштаб пространства ни в каком случае. А в евклидовом пространстве может. Как же это можно изобразить математически? Вот тут и появляется псевдоевклидовость. Она и изображает неравноправие масштабов в репере. Их принципиальное отличие друг от друга.

COSÌ, имеем два принципиально разных масштаба. Значит и соответствующие координаты желательно изображать разными числами. И какой выбор у нас есть? Destra, действительные и мнимые числа – как раз то самое и обозначают названия, что нам надо. Мнимые=воображаемые. Пусть временная координата будет изображаться действительным числом (измерена реализуемым масштабом), а пространственная – мнимым числом (измерена воображаемым масштабом). Пространство-время обладает свойствами евклидовости в том смысле, что между любыми двумя точками можно определить инвариантным образом (относительно всей группы наших декартовых координат) расстояние, вычисляемое согласно теореме Пифагора: r²=t²+X²

Вот только x здесь число мнимое, а нам это никак не видно. Сделаем запись явной – пусть пространственная координата в явном виде содержит мнимую единицу : ioX . Тогда расстояние, вычисленное буквально как евклидово, оказывается фактически иным: r²=t²-X² поскольку квадрат мнимой единицы даёт минус единицу. Вот и получили мы вроде и евклидово пространство, ан нет, другое – псевдоевклидово.

Хотя использование мнимых чисел напрашивается само, но оно не обязательно, если мы сфокусируем внимание, как это очень часто делается, на сохранении инвариантной формы для вычисления квадрата расстояния с использованием знака минус вместо плюса (чтобы не путать с чисто пространственным расстоянием, его обычно называют интервалом) при преобразованиях координат. Но тогда становится не очевидной разница между пространственной и временной координатами как измеренными принципиально разными масштабами. Bene, può essere, можно ещё напомнить, что исторически в физике мнимой координатой обычно полагают время. Уж очень мы привыкли рисовать пространственные координаты на бумаге и полагать их действительными. Что как называть, для результата, в общем-то, не так важно, лишь бы интервал вычислялся правильно. ma, перевёрнутая терминология никогда не способствует лёгкому пониманию существа дела.

Bene, выяснили мы, что линии, существующие в листе бумаги и желающие его описывать изнутри, будут вынуждены локально использовать псевдоевклидово пространство как образ своих ближайших окрестностей. Ну а наш физический мир? sì, он посложнее будет, ovviamente. Нам пришлось придумать себе аж три дополнительных пространственных единицы. А в остальном мы ничем не лучше линий на бумаге и возможности наши не больше. Вот потому-то и мы тоже описываем наш мир локально псевдоевклидовым пространством.

Dire – неправда все это! Qui, смотри есть у меня хорошие треугольники, чтобы измерять пространственные промежутки! Реализованные предметами из нашего мира. Хочешь – di legno, хочешь – металлические, а хочешь – пластмассовые. sì? А вы не забыли, что чтобы узнать это самое расстояние, вам нужно посмотреть на два конца метки, изображающей единицу? E между этими событиями пройдёт промежуток времени, как вы не ловчите. А настоящая, не воображаемая единица должна вам давать пространственную координату (где бы то ни было далеко от начала отсчёта) immediatamente, в любой заданный, единственный момент времени. Так что слово “смотри” в вашем утверждении важнее прочих. И его наличие опровергает само утверждение. Не можете вы мгновенно приписать пространственные координаты ничему в этом лучшем из миров.

© Gavryusev V.G.
I materiali pubblicati nel sito possono essere utilizzati nel rispetto delle regole di citazione.