Perché il sito sulla teoria del campo unificato tocca questo problema? Questo nell'attuale visione generalmente accettata del ruolo, il posto e l'organizzazione della matematica non mi vanno bene? E, finalmente, quale posto dovrebbe essere dato alla matematica, i suoi concetti, costruzioni e metodi nella nostra immagine del mondo?

Rispondendo prima alla prima domanda. Uno degli obiettivi libri “Dimensione e proprietà dello spazio-tempo”, esplicitamente formulato nell'Introduzione, era il chiarimento di quelli motivi, che ci costringono a usare certe costruzioni matematiche per descrivere il mondo reale.  Il risultato è stata la formulazione di un sistema di punti di vista, che può anche essere chiamata teoria del campo unificato. Naturalmente, nel linguaggio della matematica, alcune delle sue sezioni. Nell'insieme, è teoria degli insiemi, algebra (numeri complessi), geometria, Teoria dei gruppi e delle funzioni (come regolare, oltre che generalizzato).  Nel libro, per tutti i concetti matematici utilizzati, viene data la motivazione della necessità della loro applicazione.. Spesso queste giustificazioni sono molto brevi., perché. implicito, che il lettore possiede già il materiale, almeno, nell'ambito del percorso universitario. Qui voglio, almeno nei termini più generali, dare a un livello più accessibile queste considerazioni, che spiegano la naturalezza di tutte queste costruzioni matematiche per descrivere il mondo reale.

Seconda domanda. Nel processo di creazione di questo sistema di credenze, ho dovuto rivedere molto attentamente le definizioni, proprietà e origini di tutti questi concetti matematici. In un certo numero di casi si è scoperto, che vengono presentati in questo modo, che la loro applicazione in fisica sta diventando un po' naturale, gli accenti solitamente posti dai matematici ne oscurano il significato fisico. Questa situazione è abbastanza comprensibile. Dopotutto, la matematica si è formata molto tempo fa come scienza indipendente e autosufficiente.. Il suo sviluppo molto spesso è venuto da esigenze formali interne o semplicemente dall'amore per l'arte. La connessione tra concetti matematici e mondo reale è ormai estremamente indebolita anche in quei casi, quando sembra ovvio. E per i concetti cresciuti su questo albero lontano dalle radici, la situazione è completamente deprimente. Tuttavia, sono riuscito a ripristinare queste connessioni (o installare, poiché in molti casi non è stato possibile trovare alcuna menzione di tali connessioni in letteratura). Nella sezione del sito “Pensare ad alta voce” La maggior parte degli articoli sono dedicati specificamente a presentare il mio punto di vista sull'origine e sulle proprietà (il che significa, ad un senso fisico) una serie di concetti matematici. In questo articolo voglio descrivere, almeno brevemente, come un albero di concetti matematici cresce dalla nostra esperienza nel mondo reale, ovviamente non tutto, ma solo le radici di questo albero. Vorrei anche attirare l'attenzione su quei momenti, presentazione dei quali in libri di testo o monografie, formalmente corretto, risulta essere un chiaro ostacolo per quelli, chi vuole applicare tali concetti per descrivere il mondo reale. E se non vengono utilizzati per questo, a cosa servono??

Dove ho dovuto iniziare a costruire il mio sistema di credenze? Stranamente, bisognava cominciare dalla fine. Dalla formulazione dello scopo della fisica come scienza: “Il compito della fisica come scienza è creare il più completo e accurato possibile (adeguato) immagini del mondo reale“. E se ci pensi, non c'è niente di strano in questo. Per raggiungere l'obiettivo, ha bisogno di essere realizzato, questa tecnica è applicabile a qualsiasi area dell'attività umana. Può, ovviamente, e vai da qualche parte. Andrai anche da qualche parte. E, Forse, anche qualcosa di utile. O forse no. Questo metodo nelle attività dell'umanità è molto più diffuso.. Compreso nell'attività scientifica. Ma non è il mio metodo..

Non è sufficiente formulare un obiettivo. Sorgono domande sul significato di tutte le parole nella formulazione. Immagine. Cos'è questo? Completo e preciso. E cos'è quello? 

Immagine. La foto è buona? O un dipinto? O un film? In generale, sì. Ma solo come parte del tutto, illustrazione, e non più. L'immagine del mondo deve essere formulata in parole. Come si usa, che io o qualcun altro siamo riusciti a crearlo nella mia testa. Fino a quando non è diventato disponibile per tutti, il suo, può essere considerato, semplicemente no. Quindi, stiamo parlando sulla lingua, comune a tutti o ad alcuni (o qualsiasi altro ragionevole).

E le parole “completo e preciso” sono i requisiti per quella lingua, o, Meglio, a quella parte della lingua, che può e deve essere usato per descrivere questa immagine. perché il linguaggio in quanto tale non deve essere completo, accurato e coerente. Ma per quella parte di lui, che pretende una corrispondenza biunivoca con il mondo reale nel suo insieme o con alcune delle sue parti, questo requisito è completamente giustificato. Nessuna coerenza, completezza e accuratezza — non esiste un'immagine desiderata del mondo, nessuna teoria. Ma qui c'è un certo problema. Il fatto, che potesse andare così, che cosa noi no noi in grado di soddisfare tali esigenze nella loro interezza. Ed è così che è davvero. La completezza e l'accuratezza della descrizione del mondo reale a nostra disposizione ha dei limiti.. Quindi è necessario abbandonare l'obiettivo dichiarato? Affatto. Devi solo essere onesto — questo è il grado di completezza e accuratezza che possiamo raggiungere, e altro ancora — No, per questi motivi.

La parte della lingua di cui abbiamo bisogno, cercando di soddisfare questi requisiti (lasciare molto tempo e non formulato) l'umanità ha dato un nome speciale “scienza“. E il nome della parte più avanzata della scienza su questa strada — matematica.

La matematica odierna ha praticamente dimenticato le sue origini e cerca di occuparsene solo con ideologico componente delle parole, che denotano i suoi concetti. ma,  in fisica, un tale uso di concetti matematici può portare a, generalmente, porta a problemi molto seri.. Fino alla completa perdita di connessione di alcune teorie alla moda con la realtà. E per la matematica stessa, questo approccio non è affatto innocuo.. Lungo la strada, cercherò di illustrare alcuni di questi punti.. Utilizzando qualsiasi linguaggio, puoi formulare affermazioni sia vere che false.. E quest'ultimo non è sempre ovvio (come il primo; se non fosse così, allora non ci sarebbe bisogno di dimostrare teoremi). Particolarmente, se parliamo solo della componente ideologica della lingua. Se un'affermazione errata della forma generale non causa particolari preoccupazioni — beh non è vero, e allora? Poi definizione errata, accettato senza prove, sulla base del quale viene ulteriormente costruita una sorta di struttura, non dovrebbe apparire nella lingua, pretendendo di essere una descrizione completa e accurata della misura reale. L'unico criterio, che posso offrire per questo, per evitare tali definizioni, Questo la necessità di fornire per ciascuna definizione un esempio della sua implementazione nel mondo reale. E una descrizione rigorosa di quelle situazioni, quando tale attuazione è possibile, e quando no. Allo stesso tempo, potrebbe benissimo succedere (ed è stato più volte), che quando alcune definizioni furono introdotte per la prima volta in matematica, era difficile trovare tali esempi, o semplicemente non provarono nemmeno a cercarli. E successivamente, le costruzioni basate su queste definizioni hanno dimostrato la loro utilità se applicate alla descrizione di determinati fenomeni del mondo reale. E qui devi capire, che proprio questo successo è la vera realizzazione, di cui ne sostengo la necessità. Ecco perchè “gratuito” in questo senso, la creatività in matematica è del tutto accettabile. Forse, che le idee che oggi sono inutili un giorno torneranno utili, e trovano la loro giustificazione in tale applicazione. Ma in fisica o in qualsiasi altra scienza, pretendendo di descrivere fenomeni reali, tutte le costruzioni matematiche devono avere esempi di implementazione chiaramente descritti. In realtà, questa possibilità rende la matematica una scienza separata, autosufficiente, e non puramente utilitaristico, secondario rispetto ad altri rami della scienza. Sviluppo interno per prospettive applicative. Se la direzione dello sviluppo piaciuto, sentito Giusto, allora questo ramo della matematica avrà successo.

La divisione del mondo in parti distinte e la designazione di queste parti con le parole è la base di tutte le lingue e di ogni tentativo di descrivere questo mondo.. Solo perché, che questa divisione è una proprietà del mondo reale stesso. Ci sono pietre e sabbia dentro, acqua e alberi, diversi animali e diversi esploratori di questo mondo. Da qui deriva il concetto matematico “molti“. Sebbene sia stato formalizzato solo nel XIX secolo. Cosa è stato fatto durante il processo di formalizzazione? Il concetto base di “elemento“, parte costitutiva di qualsiasi insieme. Questo concetto si riduce all'unica proprietà di qualsiasi elemento del genere: proprietà “esistere”, “Essere”, “essere in magazzino”. Tutto il resto — non importa. Voglio notare, cos'è un concetto matematico “esistenza” differisce significativamente dal concetto fisico di esistenza. La differenza è questa. Il concetto fisico di esistenza nella maggior parte dei casi significa esistenza nel tempo, l'esistenza ha una certa durata. Matematico “esistenza” non ha nulla a che fare con la durata, ma è connesso solo con il fatto della presenza o dell'assenza di qualcosa. La durata di questa presenza è già la seguente proprietà, in questa fase di formalizzazione, ciò che non viene preso in considerazione.

È qui che è utile fare un ritiro, dedicato al metodo di formalizzazione, creazione di definizioni, che a mio avviso dovrebbe essere utilizzato quando si costruisce e si presenta la matematica come scienza. Ci sono state e rimangono molte controversie su questo argomento., ci sono direzioni filosofiche e matematiche nella fondatezza della matematica, che sono spesso combinati sotto nomi come Logicismo, intuizionismo, costruttivismo, formalismo, direzioni assiomatiche e insiemistiche. Forse ce ne sono altri, Non voglio pretendere di essere una classifica completa. Tutti conoscono gli assiomi di Euclide da scuola. Ma questi assiomi, a loro volta sono legati a concetti intuitivi come un punto, Dritto, aereo, angolo retto e, Forse, altro. È un peccato, che è necessario iniziare con un numero notevole di concetti intuitivi. E anche peggio, quando, per esempio, il concetto di punto è definito come qualcosa, non avendo lunghezza, nessuna larghezza, nessuna altezza. Anche prima, come questi concetti stessi (lunghezza, larghezza e altezza) appaiono in geometria. Secondo me, è molto meglio iniziare con uno solo (e il più elementare) concetto intuitivo — proprietà di qualsiasi cosa “esistere” o “non esistere”. E costruire nuovi concetti, aggiungendo a questa proprietà una nuova proprietà esplicitamente descritta alla volta, definendo esplicitamente questa proprietà. O almeno, aggiungendo un numero sufficientemente piccolo di tali proprietà, se non puoi limitarti a uno. Alla fine, Tutti i matematici fanno così, dare definizioni e formulare assiomi. Solo dopo tutto, gli assiomi senza perdita di generalità sono le stesse definizioni di proprietà, come tutti gli altri. Ed è inutile separarli in una categoria separata.. È questo il percorso che seguirò quando introdurrò alcuni concetti matematici.

COSÌ, concetto al centro di tutto “elemento“, la sua unica proprietà — esistenza. Utilizzerò un'altra parola come nome di questo concetto, come sinonimo. Questa è la parola “punto“. Non è necessario cercare esempi di implementazione di questo concetto nel mondo reale.. Tavolo, calcolo, animale, albero, ecc. e così via. Questi sono tutti esempi abbastanza adatti..

Prossimo concetto — “molti elementi” o “insieme di punti“. La proprietà aggiunta può essere chiamata parola “quantità” elementi distinguibili in un insieme o “cardinalità dell'insieme“. È proprio per questa singola proprietà che gli insiemi stessi si differenziano tra loro in quanto insiemi. “Quantità” questa è la seconda proprietà, distinguendo questo concetto dall'elemento concettuale di base, punto. Ogni insieme ha anche la proprietà fondamentale di esistenza o non esistenza. E nessun'altra proprietà per ora. Esempi insiemi, esistenti nel mondo reale chiunque può portarne molti. Scusa per il gioco di parole. Quindi questa è una formalizzazione di alcune proprietà del mondo reale, idee già in esso non importa, sia che descriviamo il mondo oppure no.

A questo punto diventa possibile definire un altro insieme di concetti matematici, diverso dal concetto di punto, e la moltitudine dei concetti. Questi concetti sono uniti dalle parole “operazione“, “azione“. Anche la base per la loro introduzione è puramente intuitiva., ma, naturalmente, sulla base dell'esperienza diretta, tratto dal mondo reale. Le operazioni vengono eseguite con insiemi (e anche con i loro elementi, ma ogni singolo elemento è un insieme, costituito da esso). Le operazioni sono diverse e sono determinate dal risultato finale, dopo di che, come cambiano gli insiemi dopo che vengono applicate le operazioni. per esempio, operazione sindacale (aggiunta) insiemi. O operazione di selezione uno dentro l'altro, scarico inclusioni. E un altro operazione, confiscandolo (sottrazione). Esempi di implementazione: ci sono un mucchio di pietre; aggiungi pietre o le rimuovi; o allocare altri heap nell'heap generale. Non costruirò e descriverò qui tutti i concetti matematici necessari, Mi limiterò solo ad alcuni di essi. Quella parte, che è utile per illustrare le connessioni in matematica tra i suoi rami apparentemente non correlati, tra i rami e le radici di questo enorme albero. E questa parte dei concetti è per me di vitale importanza in quanto parte del linguaggio della teoria fisica. La loro precisa formulazione faciliterà grandemente la comprensione del mio sistema di vedute sulla teoria del campo unificato. Questo è importante, perché. Spesso qualcuno può vedere significati diversi dietro le stesse parole.

Allo stesso livello è già possibile definire altri concetti molto importanti per la matematica. E anche per tutte le altre scienze, Perché la matematica, con il suo sviluppo coerente basato sulle proprietà del mondo reale, diventa universale, il linguaggio più ideale di ogni scienza; o, almeno, parte di tale linguaggio, la sua cresta. Riguarda il concetto “Schermo” e un concetto molto vicino ad esso “funzione“. Entrambi questi concetti collegano elementi di due o più insiemi arbitrari, mettere in corrispondenza con ciascuno o parte degli elementi di uno (o più) di un insieme uno o più elementi di un altro insieme. In una certa misura tutte le operazioni sugli insiemi possono essere considerate mappature o funzioni, solo con proprietà diverse, ma tradizionalmente in matematica si distingue tra operazioni e funzioni. Esempi di implementazione: hai diversi animali nella fattoria; leghi un nastro attorno al collo di ciascun animale; Alcuni, particolarmente ribelle, c'è anche una campana su questo nastro. Animali — molti; nastri — molti; campane — molti. E sono collegati tra loro.

Il concetto di funzione facilita l'introduzione di modi per distinguere gli elementi nello stesso insieme, associando a ciascuno di essi un'etichetta. Ovviamente, che le etichette stesse non saranno altro che elementi di un insieme. Oppure elementi di un insieme di insiemi. Qui sta la strada diretta al concetto un numero naturale. Questo concetto è già apparso, perché. la seconda proprietà dopo l'esistenza abbiamo introdotto la quantità, con cui il concetto di numero è strettamente correlato. Ma questo concetto non è stato ancora formalizzato adeguatamente, tutte le sue proprietà non sono descritte. E non descritto perché, qual è il concetto di numero — completo, include il concetto di operazioni con essi, e il concetto di mappatura, e concetto di ordine. Questi concetti sono tutti interconnessi. La loro connessione inizia con definizione di speciale, insieme speciale, che ha un solo elemento. Sono consentiti più di uno di questi set. Hai già esempi di implementazione. L'operazione sindacale consente di costruire sulle loro basi successiva, ordinato per quantità. La mappatura ci consente di assegnare un insieme di insiemi, implementato da questa sequenza, molte delle loro capacità (quantità) e lo sarà base dell’insieme dei numeri naturali. Esempio di implementazione: mucchi di pietre — c'è solo una pietra in una; prendi un secondo mucchio di una pietra e aggiungilo al primo; si realizza il secondo set della sequenza; eccetera. E sulla carta, quando realizziamo ogni set, disegniamo una nuova icona, unico per lui. L'insieme di questi segni è un riflesso dell'insieme degli insiemi. È possibile inserire segni per operazioni di addizione, sottrazione e uguaglianza. L'uguaglianza è un'operazione che stabilisce una corrispondenza biunivoca tra due insiemi, e, così, confermando la coincidenza dei loro poteri. Lasciamo che questi siano segni +,- e =. E i segni degli insiemi iniziali nell'insieme dei numeri naturali saranno 1,2,3,4,5. Quindi puoi usare questi segni per annotare le connessioni tra questi insiemi, formulato nella definizione. Scrivi formule: 1+1=2, 2+1=3, 5-1=4 ecc. Qui introduciamo anche nuovi concetti in matematica, e dovrebbero anche essere definiti rigorosamente e fornire esempi di attuazione. Ma tutto ciò è già diventato una verità ben nota e non può causare alcuna difficoltà alle persone, chi sa contare. Non proverò a masticare tutto nel mondo. Mi soffermerò solo sui momenti, che sono capaci di creare una falsa impressione su se stessi.

Uno di questi punti è l'espansione dell'insieme dei numeri naturali all'insieme degli interi positivi. Questo viene fatto definendo il concetto “insieme vuoto“. Certo, questo concetto viene introdotto indipendentemente dal concetto di numero naturale. Ma per me è più conveniente soffermarmi su questo adesso. Ne abbiamo già determinato uno set speciale tra tutti i possibili — molti, contenente un elemento. È un elemento costitutivo, da cui sono costruiti tutti gli altri. Tutto, tranne una cosa, uno più speciale — insieme vuoto.

L'insieme vuoto è un tale insieme, che non contiene alcun elemento. Cioè, questa definizione nega chiaramente l'essenza stessa della definizione del concetto. L'utilità di questo concetto nel formalizzare le operazioni con gli insiemi è molto grande. Ciò che resta, quando rimuoviamo elemento per elemento da un insieme finito, e, finalmente, cancella l'ultimo? Niente. Questo è tutto “Niente” e ha un nome speciale “insieme vuoto”. Aggiungerlo a un altro set significa “niente da aggiungere”. Se aggiungi un set vuoto a un set vuoto cosa ottieni?? Niente, set vuoto di nuovo. Punto importante: se prendi “più di uno” insieme vuoto, allora il risultato non sarà un insieme di questi insiemi, ma di nuovo solo un set vuoto. L'insieme vuoto è unico in natura.  L'insieme vuoto è simbolo dell'assenza di un insieme di qualsiasi altro tipo. E solo in questo senso va inteso. Ma in letteratura puoi trovare una descrizione della procedura per costruire i numeri naturali solo sulla sua base: un insieme vuoto è equivalente 0 (questo è il suo significato) e 1 (perché sembra che ce ne siano già molti), Due — diavolo, ecc.. E dal nulla ottengono qualcosa. Osservare, già all'inizio due simboli sono assegnati all'insieme vuoto. Questo è un percorso diretto verso l'assurdità ed è possibile solo dimenticando il significato speciale di questo concetto. Nell'insieme dei numeri, il simbolo è assegnato all'insieme vuoto 0. E solo 0. E come esempio di implementazione nel mondo reale, puoi considerare una scatola vuota, vietare, Tuttavia, considerare esplicitamente più caselle vuote. Una scatola è un contenitore per molti, e non solo un set. Alcune scatole vuote sono proprio questo: poche scatole, e non più insiemi vuoti e formano un insieme di scatole, e non insiemi vuoti. Nonostante tutti i suoi limiti, l'idea intuitiva del concetto di vuoto fornisce ancora un esempio del genere. Se ci fosse qualche oggetto nella scatola, separato dal resto da questa scatola, e poi l'hanno portato via da lì e non è rimasto più niente. Isolamento, otteniamo una generalizzazione dell'idea di insieme vuoto utilizzando contenitori vuoti arbitrari, e al termine della formalizzazione, con la giusta fantasia, se ne potrà fare a meno del tutto.

Insieme dei numeri naturali, con una delle sue operazioni — aggiungendo un nuovo elemento — ci permette di formalizzare un altro importante concetto matematico, idea infinito potenziale. L'idea dell'assenza di un limite nell'attuazione dell'operazione di addizione. E poi qualsiasi altra operazione. Qui due idee diverse talvolta si mescolano. Se stessa possibilità illimitata di ripetere l'operazione e il risultato di questa sequenza di azioni. In generale, dovrebbero essere distinti. Per la seconda idea, per quanto riguarda l'idea dell'insieme vuoto,  in matematica viene utilizzato un simbolo speciale — ∞. Sì, c'è anche un nome — infinito reale. Perché la matematica è moltissimo (anche se non completamente liberato dal linguaggio ordinario) utilizza caratteri speciali per i suoi concetti, poi molto spesso lo stesso simbolo viene utilizzato per indicare l'idea di una sequenza infinita di operazioni. Nella maggior parte dei casi ciò non comporta problemi, ma devi comunque stare attento, e non è fondamentale mescolare entrambe queste idee. Potrebbero apparire problemi, quando iniziano a gestire insiemi di insiemi molto liberamente, avendo essi stessi questo numero infinitamente grande di elementi. Non voglio discutere qui di problemi di questo tipo.. Ma la seconda idea ci avvicina molto ad un altro concetto, più importante per la fisica (per la matematica, ovviamente, pure) — al concetto di infinito attuale nel mondo reale, realizzato in concetti intuitivi di continuità, integrità e continuità delle connessioni, prima di tutto, causa ed effetto.

Prima di discutere l’idea di continuità, utile per concludere la trattazione del concetto di numero. Come abbiamo già detto, deriva dalle esigenze del conto, e la sua formalizzazione inizia innanzitutto con la descrizione del concetto di numero naturale, che, con l'aggiunta del concetto di zero, si espande al concetto di insieme degli interi positivi. Ma tutti lo sanno, che la questione non finisce qui e la pratica del mondo reale richiedeva l'introduzione negativo e razionale numeri. introduzione i numeri irrazionali è già strettamente connesso proprio con il concetto di continuità.

Numeri negativi può essere implementato con esempi del mondo reale in molti modi, in particolare, come simboli del dovere. Preferisco introdurli come estensione della capacità di eseguire l'operazione di sottrazione, reciproco dell'addizione, cioè. aggiungendo molti nuovi elementi. Dopo tutto, le possibilità di come aggiungere, quindi confiscare (sottrarre) Gli elementi del set hanno la stessa base intuitiva nel mondo reale. Ma per di più questa possibilità non ha restrizioni, ma per la sottrazione sembra esserci un tale limite — se il set risultante è vuoto, ciò che ordini venga rimosso da esso? Evidente disuguaglianza tra le operazioni, apparentemente avendo esattamente le stesse origini delle idee. Questa uguaglianza è facile da restituire, se usi l’idea dei contenitori come stampella, a cui si aggiungono i posti liberi, dove si potrebbe mettere qualcosa. Naturalmente tali supporti, come nel caso dell’idea di zero, insieme vuoto, non richiesto. Ma aiuta ad avere un'idea intuitiva dell'idea. Come altri esempi simili di implementazione di un numero negativo. Questo esempio di implementazione specifico è utile per questi, che cosa si concentra sulla rimozione del limite dall'operazione di sottrazione, acquisisce inoltre la capacità di essere eseguito un numero potenzialmente infinito di volte. Ciò avviene ampliando il concetto di numero. Molti numeri, che ora vengono semplicemente chiamati Totale, include i numeri naturali, numeri interi zero e negativi. Anche questo esempio ci permette di constatare il fatto, che le idee dell'operazione e quello, con cosa si fa questa operazione? (nell'operando) anche se diverso, ma indissolubilmente legati. Non è possibile definire l'uno senza l'altro. E la definizione è, come ho notato prima, elencare le proprietà e presentare almeno un esempio di implementazione nel mondo reale.

Numeri razionali compaiono con la definizione operazioni di divisione e, indirettamente, confronti un elemento (soggetto, o la sua idea formalizzata) con un altro. L'operazione di divisione come idea ha un numero enorme di esempi nel mondo reale. Una classe di esempi include la divisione di un certo numero di oggetti (moltitudini) ad un certo numero di sottoinsiemi, senza compromettere l'integrità degli elementi, sono molte parti. Nell'insieme dei numeri naturali, questa classe corrisponde al concetto di divisione per un intero. Voglio notare, che quando si definisce questa operazione in un insieme di numeri, le sue proprietà sono in fase di chiarimento, sono integrate da un'operazione di confronto. per esempio, Esistono molti modi per dividere un insieme di 4 elementi in due sottoinsiemi. Ma nel dividere i numeri naturali come definizione, viene scelto l'unico metodo del genere — necessario Di più, in modo che i sottoinsiemi risultanti siano equivalenti in cardinalità (numero di elementi). In numeri sembra che entrambe le metà siano uguali tra loro. Anche quando si divide in un numero qualsiasi di sottoinsiemi (parti) — le parti devono essere uguali per definizione. Questo è ciò che rende l'operazione diversa “divisione” nell'insieme dei numeri dell'operazione “divisione” in qualsiasi insieme arbitrario. È questa proprietà aggiuntiva che porta al concetto di numero razionale. È proibito, mantenendo il requisito di uguaglianza degli insiemi risultanti, dividere 3 oggetto per due. E anche uno. E se tratti gli oggetti come insiemi, allora puoi. per esempio, tutto in uno, e al secondo (altri) Niente (insieme vuoto).  Il concetto di numero razionale viene inizialmente introdotto facilmente nella divisione, anche senza la necessità di espandere l'insieme dei numeri naturali stessi. per esempio, nessun problema da condividere 6 Su 3. Prendilo 3 numeri uguali, pari 2. Il risultato rimane nello stesso set. Ma non appena lo chiediamo, in modo che per tutti i numeri il risultato della divisione rimanga nell'insieme originario, si rivela immediatamente l'impossibilità di soddisfare questo requisito. Uno o due non sono divisibili per tre, in modo che il risultato sia un numero naturale. I risultati sono numeri nuovi, non essere intero. Ottengono un nuovo nome, razionale. E quelli naturali rientrano rigorosamente nel nuovo concept. L'operazione di divisione si applica ai numeri negativi senza problemi.. Ma il problema si pone con lo zero. Se dividi zero, “Niente”, Può essere per qualsiasi altro numero — il risultato è ovvio, per definizione di insieme vuoto “Niente”, cioè zero, e funzionerà. Questo è ciò che significa dividere per zero? Questa operazione non è definita nell'insieme dei numeri razionali, è proibito. Nell'insieme dei numeri razionali non tutti gli elementi sono uguali per tutte determinate operazioni. Uno dei numeri è speciale in relazione all'operazione di divisione. Non ho detto nulla sull'operazione di moltiplicazione. Il metodo di introdurlo come simbolo di qualche speciale sottooperazione di addizione è ben noto.. C'è anche un'operazione di confronto coinvolta. — aggiungi numeri uguali. Poi, dimostrare che le operazioni di moltiplicazione e divisione sono reciprocamente inverse (definire) Appena. Lo zero non ha proprietà speciali in relazione alla moltiplicazione.. Quanti set vuoti non si sommano?, quindi ci sarà un insieme vuoto, zero. Cosa succede se non fai questa operazione? “Mai”, allora non usarlo per, quindi non otterrai nulla, cioè. zero. Intuitivamente chiaro. Nota, che nell'insieme dei numeri razionali le operazioni di moltiplicazione e divisione non sono uguali per uno dei numeri. Possiamo anche provare a eliminare questa disuguaglianza, espansione del concetto stesso di numero. Devi solo scegliere qualcosa di intuitivamente chiaro (cioè. implementato da qualche esempio del mondo reale) concetto (idea) per il risultato della divisione per zero.

È utile soffermarsi specificamente su quanto già menzionato sopra operazioni di confronto, che assume un ruolo speciale in fisica, come base di ogni descrizione sperimentalmente verificabile del mondo. E altre descrizioni (non consentendo la verifica sperimentale) Non mi interessa qui. Eseguiamo l'operazione di confronto abbastanza spesso. E nella vita di tutti i giorni, e nella scienza. Nella scienza, però, essa è formalizzata al limite e si riduce soltanto a rapporti di forma: qualcosa potrebbe essere di più, uguale o inferiore a qualcos'altro. Oltretutto, è possibile chiarire queste semplici relazioni in caso di mancata uguaglianza — quante volte è uno in più (meno) di altro. Infatti, quello stesso concetto di insieme che forma l’idea — il suo potere, numero di elementi (punti) in abbondanza — e appare come il risultato di questa operazione di confronto. E il concetto di numero, naturalmente, pure. Un momento, ovvio per il linguaggio quotidiano e perduto dai matematici, Vorrei sottolineare a questo proposito. Nell'insieme abbiamo il diritto di confrontare solo entità omogenee. Ad esempio, arieti con arieti, e tavoli con tavoli. Solo in questo caso il risultato avrà senso. ma, nel linguaggio quotidiano possiamo porre l'accento in modo diverso e il confronto tra entità apparentemente incomparabili può acquisire significato. per esempio, se siamo interessati solo alla proprietà di un oggetto, oggetto di essere, esistere, essere disponibile (la stessa cosa, che abbiamo identificato come il più elementare, concetto di proprietà iniziale), quindi con questa proprietà puoi confrontare qualsiasi oggetto. Diciamo, domanda — “quanti articoli ci sono nella scatola??” — abbastanza significativo per un insieme completamente arbitrario di oggetti molto diversi. Purtroppo, oggi la matematica crede, che fa affidamento solo su questo, estremamente schiarito da tutte le altre sfumature, possibile nel mondo reale, concetto e non attribuisce pertanto alcun significato alla suddetta limitazione dell'applicabilità dell'operazione di confronto. Ma tutti i numeri in matematica, quando viene utilizzato come linguaggio per descrivere il mondo reale, senza alcuna eccezione è il risultato dell'applicazione di questa particolare operazione. E quando si utilizzano tali descrizioni numeriche in relazione a vari fenomeni del mondo reale, dimenticare l'origine dei numeri stessi può diventare fatale. Nella fisica sperimentale, un numero appare come risultato di procedure di conteggio degli oggetti nel mondo o come risultato di una misurazione, cioè. confrontare un oggetto con un altro. Se lo si desidera e il conteggio degli oggetti può essere incluso nel concetto di misurazione come un caso speciale, come dovrebbe risultare chiaro da quanto detto sopra su questo argomento. La misurazione come procedura completa (quando potrà essere finito?) dà come risultato un numero razionale, e numeri interi, risultato del calcolo, sono un sottoinsieme, un caso particolare di numeri razionali.

Diamo uno sguardo più da vicino ai numeri razionali, considerato proprio come il risultato della misurazione di un oggetto mediante un altro. Per molto tempo c'è stata una credenza, che cosa il rapporto tra due oggetti omogenei qualsiasi può sempre essere espresso precisamente da un numero razionale. Cioè. creduto, che cosa esiste una tale coppia di numeri interi, che questa relazione può essere scritta usandoli. per esempio, 1:2, 2:3 eccetera. In questo senso, la procedura di misurazione in termini di determinazione di tale rapporto è sempre completa, la scelta corretta dell'unità di misura consente di completare la procedura di confronto in un numero finito di passaggi. Lasciami spiegare, cosa intendo. Lascia il denominatore del rapporto desiderato (frazioni) pari N, e il numeratore K. Scegliamo invece l'oggetto originale, con cui abbiamo confrontato l'altro (chiamiamo questo oggetto scala o unità di misura) il suo N-questa quota. Si può scrivere il rapporto tra la vecchia scala e questa intero N. Ma anche la relazione di quel soggetto, che abbiamo misurato con la vecchia scala verrà scritto anche nella nuova unità di misura intero, pari k*n. Cioè. la convinzione sopra espressa può essere riformulata come la seguente affermazione: per due oggetti simili qualsiasi (parti del mondo reale) puoi trovarne una tale quota, che il rapporto tra entrambi gli oggetti sarà espresso in numeri interi. Nota, che il concetto di numero razionale è geneticamente correlato alla combinazione di numeri interi in coppie e all'operazione del loro confronto.

Questa convinzione si è rivelata sbagliata. Per quanto ne so, scoperto per la prima volta questo Pitagora. Risultò, che cosa fallo per l'ipotenusa e uno qualsiasi dei cateti di un triangolo rettangolo, le cui gambe sono uguali tra loro,  impossibile. Oggi questa scoperta è considerata la prima crisi della matematica. Mi ha permesso di vedere, che nel mondo reale ci sono esempi di attuazione dell'idea di infinito reale, realizzato l'infinito potenziale, processo infinito, portato a compimento. Non da noi. Mondo reale, le sue parti.

Concetto, che permette di giungere alla realizzazione dell'infinito attuale è una formalizzazione, idealizzazione di un insieme di dati sperimentali, di cui ci uniamo nell'idea continuo oggetti, tutte le sue parti collegato l'uno con l'altro. Questo non significa, che tali oggetti non possono essere affatto divisi in parti. È possibile, e, Inoltre, ciò potrà proseguire per le eventuali parti risultanti da tale suddivisione. Poi, che cosa il processo di fissione può continuare potenzialmente indefinitamente e è il principale, proprietà definente dell'idea stessa di continuo. Gli esempi più semplici di implementazione della continuità sono oggetti del mondo reale come una corda, corda, filo e simili. Voglio sottolineare il secondo lato della continuità, che di solito viene ignorato. L'idea di continuità, se è estremamente formalizzato e sgomberato dalle sue manifestazioni private, può essere formalizzato anche come idea di connessione, connettività di parti del mondo reale. Questo è il senso. L'idea di continuità come proprietà di un oggetto di essere infinitamente divisibile senza perdere questa proprietà può sembrare incompatibile con una misura reale, se teniamo conto, che tutti i corpi massicci con massa a riposo sono parti nettamente separate dal resto del mondo. Sebbene qui sia del tutto possibile fare appello all'idea della linea di esistenza di tale organismo. È vero, sarà necessario comprendere il significato delle affermazioni della meccanica quantistica sull'assenza di una traiettoria ben definita per i più piccoli di questi corpi, come, come un elettrone. Ma anche lì permangono rapporti di causa ed effetto tra gli eventi. Non entrerò qui in questi dettagli, Attirerò la tua attenzione su qualcos'altro (non correlato alla presenza di massa a riposo) manifestazione di connessioni tra parti del mondo reale. Voglio dire quelli manifestazioni di tali connessioni, che si chiama campo. per esempio, campo elettromagnetico. sì, dimostrare visivamente tali connessioni come lineari, formazioni superficiali o volumetriche sono direttamente impossibili. È possibile solo con l'aiuto delle loro manifestazioni secondarie (per esempio, la segatura si allinea “forze di sicurezza” linee). Ma dimostrazioni dell'esistenza di queste connessioni tra, per esempio, due magneti, grande moltitudine. E queste connessioni sono anche l’attuazione dell’idea di continuità. La continuità come idea della coerenza universale del mondo funge anche da formalizzazione dell'idea del mondo come un tutto unico. Complessivamente, che ha una varietà di parti. Le parti sono diverse, separabili in un certo modo l'uno dall'altro, ma allo stesso tempo interconnessi.   Ciò che non è connesso con il mondo (non collegato a nessuna parte del mondo), non c'è nessuno al mondo. Il nostro mondo non può essere costituito da più pezzi sconnessi. Un insieme puramente discreto di parti non può essere considerato una descrizione soddisfacente del mondo, poiché non contiene nemmeno un accenno di connessioni tra le parti. Per descrivere il mondo abbiamo bisogno di un concetto diverso, un'idea diversa, che abbiamo chiamato continuità. Questa idea include necessariamente anche il discreto, almeno come una raccolta di parti scelte arbitrariamente. Nuovo, viene anche chiamato insieme continuo continuo. I matematici hanno sviluppato molti modi diversi per lavorare con le medie continue, naturalmente definito per insiemi discreti. Naturalmente, si basano tutti sul concetto di infinito potenziale realizzato, cioè. infinito reale. In primo luogo, un tale concetto in matematica è il concetto limite.

Concetto di limite, limite di sequenza, probabilmente si è formato inizialmente proprio come formalizzazione dell’idea di possibilità misurazioni alcuni segmenti di linea, il cui rapporto con l'unità di misura selezionata non può essere espresso come numero naturale. Dopotutto, in questo caso è facile da vedere, e se dividessimo l'unità di misura?, diciamo dieci unità uguali più piccole, e ripetere questa procedura un numero infinito di volte, allora possiamo sempre ottenere due sequenze infinite (due potenziali infiniti), le cui somme saranno sempre inferiori al segmento misurato, e il secondo è più grande. Inoltre, la differenza tra questi due importi è sempre, ad ogni passo sarà uguale all'unità di lunghezza del segmento selezionata per il passo. E questa unità diventerà sempre più piccola, rispetto a quello iniziale. In questa procedura consideriamo quattro segmenti: Uno, la cui lunghezza è considerata pari a uno. Secondo, che vogliamo misurare con questa unità, cioè. confronta le lunghezze di questi segmenti e assegna un certo numero al risultato risultante. E altri due segmenti di servizio, in ogni fase della procedura per confrontare diversi. Uno, avente una lunghezza inferiore a quella misurata, e allo stesso tempo espresso razionale numero. E il secondo, all’unità di misura corrente (quota attuale dell’unità iniziale) più di questo, e anche semplicemente più del segmento misurato, e avere anche lunghezza, espresso razionale numero. Questa relazione tra i quattro segmenti ci convince chiaramente, e se potessimo continuare questa procedura un numero infinito di volte?, allora il risultato sarebbe definitivo, perché è tra due, Numeri razionali arbitrariamente vicini. Questa convinzione ha una base nella nostra esperienza e non richiede altre prove.. Risultato, come un numero, è un'immagine dell'infinito reale ed è chiamato numero irrazionale. Luogo corrispondente in una linea continua (in questo caso è la fine del segmento misurato) può essere chiamato un punto, quell'essenza, di cui è composta la linea stessa. Un effetto collaterale di questa procedura è la consapevolezza che, che cosa in un segmento arbitrariamente piccolo di una linea continua c'è sempre un infinito (infinito reale) numero di tali punti. Un altro effetto collaterale è la comprensione, che con l'aiuto di tale procedura di misurazione è possibile posizionare su qualsiasi segmento di linea retta (abbinalo ai punti) parte dell'insieme dei numeri razionali. E se misuri una linea retta illimitata, non un segmento di esso, allora l'intero insieme dei numeri razionali può essere messo in corrispondenza con una parte dell'insieme dei punti su una retta. L'unione di tutti i punti di una linea illimitata corrisponderà all'unione degli insiemi dei numeri razionali e irrazionali, che si chiama insieme valido numeri. Molti punti, costituente la continuità, utilizzando la procedura di misurazione associamo un insieme di numeri reali. È importante capire, che questi concetti descrivono semplicemente alcune proprietà del mondo reale, e non derivano dalla procedura applicata. Qui due idee sono inestricabilmente intrecciate in un unico insieme., molto importante per la matematica, lo stesso per la fisica. Un'idea — questa è un'idea di un set di tipo diverso, rispetto a quei set, che nascono dall’idea più semplice di esistenza. In esso sono presenti tutte le proprietà degli insiemi precedentemente definiti. Aggiunte nuove proprietà. In base a queste proprietà si possono distinguere gli insiemi: discreto e continuo, continua. Queste proprietà non sono formulate in una parola, formalizzano un insieme di proprietà di una procedura speciale, che implementa esempi di nuovi tipi di insiemi nel mondo reale. In fisica questa procedura si chiama procedura di misurazione. Si tratta di un insieme di operazioni piuttosto complesso, che comprende il dettaglio delle operazioni di selezione, confronti, divisione e può essere considerata essa stessa come un'implementazione della complessa operazione di creazione di una mappatura di un insieme rispetto ad altri. Una di queste immagini, uno di questi set è, Infatti, la spina dorsale della matematica, e anche i fisici. Questo è l'insieme dei numeri reali.

Il lettore attento deve averlo notato, che il procedimento di misurazione nella sua versione più semplice è stato utilizzato anche da noi per formalizzare il concetto di insiemi discreti. Questa è una novità, ciò che è apparso, è stata una conseguenza del chiarimento delle proprietà di questa procedura, il suo arricchimento. Questo processo non è completato. Appaiono ulteriori possibilità per il nuovo tipo di set. per esempio, oltre alla scelta dell'unità di misura base, scala, puoi scegliere quell'elemento del continuum, a cui verrà associato un elemento dell'insieme dei numeri reali come lo zero. Scegliere inizio del conteggio su un insieme continuo. Puoi anche scegliere direzione su un insieme continuo, che verrà preso in considerazione positivo. Ci sono anche opportunità di considerare i continuum del numero di dimensioni di un oggetto più grande, di uno. E molto altro ancora, molto di più. Da qui crescono rami colossali della geometria, teoria dei gruppi, algebra e molti altri. Idee, riempiendoli, sono isolati da qualche parte, da qualche parte si intersecano finché non sono completamente combinati, diventando diversi dialetti della lingua, parlando della stessa cosa.

Non continuerò a discutere ulteriormente tutti questi importanti concetti.. Mi limiterò a fare alcune osservazioni importanti, secondo me..

La matematica moderna ha consegnato all'oblio le origini del concetto di numero, che ho menzionato sopra. In matematica lavoriamo semplicemente con i numeri.. Selezione delle scale, la loro implementazione mediante oggetti del mondo reale non interessa alla matematica. Ma invano. Molti concetti sarebbero molto più facili da capire, se i matematici non cadessero nello snobismo “mondo delle idee pure”. E per quelli, Chi usa le conquiste della matematica per descrivere certi aspetti del mondo reale, tale snobismo non è affatto accettabile. Forse, Vale la pena elencare qui brevemente questi punti, che ritengo importante studiare, e per l'ulteriore sviluppo della matematica, come parte della scienza, BENE, ovviamente, per la sua applicazione di successo per descrivere il mondo reale:

• Mondo delle idee esiste. Ma non come qualcosa di diverso dal resto del mondo reale, separarlo da esso. Questa è parte integrante dell'Universo stesso, qualsiasi parte di esso, e l'eventuale descrizione dello stesso. Solo perché, quella descrizione è isolamento, formazione del concetto, cioè. “idee”. Qualunque “Bene”, adeguato a qualsiasi proprietà del mondo (o una parte di esso) un'idea, essere completo è allo stesso tempo limitato. Nel senso, che non descrive il tutto, e parte, una singola proprietà o un insieme finito di proprietà.
• Queste idee sono molto diverse. Si combinano in lingue. Compreso, in tali opzioni linguistiche, come la scienza e le sue componenti (dialetti) matematica, fisica, biologia, ecc..
• Poi, quella scienza e, in particolare, la matematica rivendica l’adeguatezza dei loro concetti (idee) il mondo reale è giustificato solo allora, quando c'è almeno un esempio dell'implementazione di una particolare idea nel mondo reale. Ciò è particolarmente vero per Basic, idee elementari, che costituiscono la base di nuove direzioni nella stessa matematica. E non solo, ovviamente. Assolutamente chiaro, che tutte le lingue, e anche matematica, permetteteci di formularlo come vero, affermazioni che non sono vere (idee). Ma puoi anche formulare tali idee, la cui lealtà o infedeltà (la loro corrispondenza con il mondo reale, eventuali esempi disponibili in esso) Forse (e dovrebbe) accettato come assioma, come possibile opzione. Questo è ciò che dicono i teoremi di Gödel. Tutta la nostra esperienza diretta parla di questo.. Logica binaria, quando c'è solo una scelta tra due possibilità, solo una delle opzioni della logica, niente di più. Conosciamo tutti esempi di situazioni, quando è possibile scegliere tra un numero arbitrario di possibilità, fino al potenziale infinito, ed esempi di continuum rendono rilevante questo infinito. Se consideriamo l'idea elementare (assioma, definizione) come enumerazione di un insieme di proprietà, allora i teoremi di Gödel dicono solo questo, cos'è un'enumerazione potenzialmente infinita. Dal punto di vista di un'idea così nuova stessa, l'aggiunta di una nuova proprietà non può essere dimostrata, nessuno dei due è stato rifiutato sulla base del solo intero insieme precedente di proprietà descritte. L'unico criterio “fedeltà” una definizione così nuova per noi non può che essere la scoperta di almeno un esempio di implementazione di una nuova idea nel mondo reale. Un solo esempio di implementazione è già sufficiente.
• A questo proposito sarebbe utile costruire la presentazione della matematica su basi costruttive, creando nuovi concetti (idee, assiomi) o basato sull'esistente, le loro varie combinazioni, o basati su quei fenomeni del mondo reale, che non hanno ancora ricevuto tali idee. E sempre esempi dell'implementazione di ciascuna di queste idee.
• Ciò non vieta il cosiddetto “libero volo del pensiero”. Può avere molto successo. Inoltre, la nostra storia offre un gran numero di esempi di questo tipo. Ma è importante capire, che proprio allora diventa chiaro il successo di tale creatività, quando l'implementazione di tale “gratuito” idee con esempi del mondo reale. Ma per lo sviluppo di tali idee da parte delle grandi masse, almeno da parte degli scienziati, Non sto parlando di persone lontane dalla scienza, questi esempi sono vitali.
• A causa di ciò, l’unica giustificazione per la significatività e la coerenza come matematica, quindi in altri rami della scienza può esserci solo una corrispondenza delle loro idee con il mondo reale.

Alla fine voglio sottolinearlo ancora una volta, che credo all'idea dell'esistenza di un mondo di idee, particolarmente, raccolti sotto il nome “matematica”, come un mondo completamente indipendente dal mondo reale, vizioso e senza uscita, “idea sbagliata”. Non convinto, chi è stato il fondatore di questa idea, forse Platone. Ma anche adesso domina molte menti. per esempio, è una delle idee guida di R. Penrose, che è ben affermato nel suo libro “Percorso verso la realtà, o le leggi che governano l'Universo. Guida completa.”

© Gavryusev V.G.
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