Cos'è la connessione affine?

Connettività affine. Questo termine dice poco anche a una persona, educato all'università. ma, Spero di spiegarmi con esempi abbastanza semplici, cos'è e perché è di importanza decisiva per la fisica.

Speranza, hai già guardato gli articoli su relatività, tensori, pseudo-euclidea e metrico, e avere qualche idea, come in ogni punto dello spazio-tempo si possano scegliere in modi diversi insiemi di unità di misura. Continuo con un'ipotesi, che questo è già stato fatto e che tutti i punti di una certa regione dello spazio-tempo sono dotati di tali insiemi di scale e che esiste un'immagine di questa regione sotto forma di un continuum numerico, descritto dal sistema di coordinate. Per semplicità, supponiamo che lo spazio sia bidimensionale e che le coordinate di un punto siano x^io, io=1,2. La scala stessa, unità, v ogni punto sono rappresentati da vettori controvarianti e^io₁ , con componenti 1 e 0, e e^io₂ , con componenti 0 e 1. Osservare, le componenti di questi vettori in un dato sistema di coordinate sono identiche ovunque, in ogni punto. Oltre ai vettori di scala, è possibile determinare in ogni punto un insieme di vettori di spostamento infinitesimo da esso – dx^io. Esistono infiniti vettori di questo tipo, uno per ogni percorso, al presentatore dal punto. Ma tradizionalmente se ne parla al singolare – vettore spostamento infinitesimo, perché di solito è sempre implicito un vettore dell'intero set, Senso Unico.

Per facilità di discussione, consideriamo il classico approssimazione. Questo, che un punto nell'immagine rappresenta una parte abbastanza grande del mondo, che può contenere più oggetti contemporaneamente, e anche gli osservatori con le loro diverse scale. In qualche “punto” (e nell'immagine sarà proprio questo il punto) abbiamo trascorso un tale spazio continuo nel tempo (lascia che sia la mia prima coordinata, X¹, sarà il momento) misurare varie proprietà di un oggetto selezionato. Lasciamo che queste proprietà siano rappresentate da uno scalare S e vettore P^io in funzione del tempo in un dato punto. Cioè come valori, conosciuto sulla cronologia, passando per questo punto dello spazio. E significati P^io sono gli stessi per ogni momento nel tempo. E qualche altro osservatore ha fatto lo stesso, ma sulla sua scala, con risultati S e P^io’, famoso, ovviamente, sulla stessa linea nello spaziotempo. Oltretutto, anche le scale di un altro set sono state misurate reciprocamente. E si è scoperto, che dal punto di vista del secondo osservatore entrambi i vettori, raffigurante la nostra scala, avere componenti non solo non pari ai valori sopra indicati, ma generalmente cambia anche nel suo tempo. Anche, così come la sua scala nelle nostre misurazioni. Ecco una domanda per te – quali risultati della misurazione possono essere confrontati con cosa in una situazione del genere, e sii sicuro, che i risultati del confronto saranno gli stessi per entrambi gli osservatori (in entrambi i sistemi di coordinate)? Dopotutto, solo tali risultati possono essere discussi da tutti e accettati da tutti senza obiezioni.. La risposta è. Gli scalari possono sempre essere confrontati, per eventuali osservatori – non dipendono dalla scelta delle unità di misura. E i vettori dipendono. E se ad un certo punto ci sono unità, chi li ha misurati è stato l'unico, e già in quello successivo sono cambiati, allora come confrontarli? Si può dire, che non è necessario occuparsi di sciocchezze, ma era necessario costringere il secondo osservatore a prenderne di buoni (Pertanto, il tensore di curvatura è antisimmetrico in una delle coppie di pedici, corrispondente al nostro) ore e non ci disturba. Ma dirà, perché siamo così sciatti?, il nostro orologio è cattivo, non lui. Chi ha ragione? Puoi accettare di utilizzare gli stessi orari. Questo risolverà il problema? Arriverà il terzo, con il mio orologio e tutto da capo. Convinciamo anche lui… E il quarto, quinto, ecc.. e così via.? Bene, controlla tutti i tuoi orologi in un determinato momento. E allora?? Sai, che hanno una tale proprietà di cambiare durante la loro esistenza, rispetto a tutti gli altri. Sì, e anche i governanti si comportano allo stesso modo… Come risolvere questo problema senza litigi e contratti?, come evitare dubbi una volta per tutte? Vorrei sperare, che esistono oggetti così ideali in natura, che non cambiano mai da nessuna parte, ed esistono in ogni punto dello spazio-tempo, quindi possono essere utilizzati al meglio, abbiamo bisogno “quelli buoni” orologi e righelli. Poi fatelo notare a tutti, che è sufficiente utilizzare solo queste scale per le misurazioni – e la questione è chiusa. E altre possibili procedure di misurazione – cattivo, puoi dimenticartene. L'idea di Euclide (e pseudo-euclideo) space è proprio su questa convinzione che il. A proposito, Questo è proprio il tema a cui è dedicato il primo articolo A. Einstein secondo la relatività speciale (“Sull'elettrodinamica dei mezzi in movimento”).

L'unico problema è. Come essere davvero sicuri, che cosa “quelli buoni” ci sono orologi ovunque e ovunque, e mostrano lo stesso tempo? Sì, e anche i governanti. Lo sappiamo per certo, non è così. Non possiamo quindi sottrarci al riconoscimento dell’uguaglianza di tutte le procedure di misurazione senza eccezioni.. E devi imparare come lavorare con i risultati delle misurazioni, che danno. Cosa significa? Questo significa, che cosa ogni osservatore dovere ammettere, che le sue scale possono cambiare quando ci si sposta da un punto all'altro dello spazio-tempo. Rispettivamente, e quando si confrontano i risultati della misurazione di un oggetto in punti diversi, è necessario tenerne conto, che non solo l'oggetto stesso potrebbe cambiare, ma anche la scala. Affine (lineare) la connettività è quella struttura, che descrive esplicitamente il potenziale cambiamento di scala e consente di lavorare in una situazione del genere senza problemi.

La nostra scala è rappresentata da un vettore controvariante e^io_N. L'indice n qui in basso indica il numero della scala, non componenti vettoriali. Ammettiamolo, quello quando spostato nell'adiacente, punto infinitamente vicino, la scala differirà dal suo valore nel punto corrente nel primo, approssimazione lineare per spostamento dx^J da un punto ad un certo valore de^io_N. Cosa significa approssimazione lineare?? A proposito, è a questa approssimazione che si collega la definizione “affine”. Significa che, che possiamo scrivere n relazioni per ciascuna i-esima componente

De^io_N= {E^io_J}_Ndx^J .

In questa formula, l'indice j implica la somma. Nel nostro caso bidimensionale

De^io_N= {E^io₁}_Ndx¹ +{E^io₂}_Ndx².

D'ora in poi seguiremo sempre questa convenzione. – se gli indici sotto e sopra nella formula vengono ripetuti, allora questa è la somma di tutti i valori dell'indice.

Simboli {E^io_J}_N sono indicati i coefficienti dello sviluppo sopra scritto.

Dall'altro lato, anche le scale in un punto spostato sono vettori dello stesso tipo. E i loro valori possono essere considerati come il risultato di una trasformazione sui valori della scala al punto di partenza:

e^io_N+De^io_N=e^io_N +{U^io_K}_N e^K_N.

Questa relazione dovrebbe essere intesa come segue — le variazioni di scala devono essere considerate proporzionali alle scale stesse. Cioè. è necessario tenere traccia dei relativi cambiamenti di scala. Dopotutto, le scale stesse vengono utilizzate per misurare il cambiamento., esistente in un dato punto, nessun altro. Pertanto, le quantità indipendenti sono cambiamenti relativi, non assoluto. Rispettivamente, i coefficienti sopra introdotti possono essere scritti anche come convoluzione con vettori di riferimento (cioè con una serie di scale).

{E^io_J}_N= – D^io_jk e^K_N

Perché ho messo un segno meno qui, te lo dirò più tardi. Adesso in giustificazione – Presento io stesso le designazioni, beh mi fa comodo, perché no? Sostituiamo questo rapporto invece dei simboli {E^io_J}_N . Funzionerà

De^io_N= – D^io_jk dx^J e^K_N.

Nota, a sinistra non è un vettore! E probabilità D^io_jk non un tensore! È molto importante. E ora riscriverò tutto questo di nuovo in modo diverso.

Di^io_N= de^io_N + D^io_jk dx^J e^K_N = 0.

Questa uguaglianza è valida in qualsiasi sistema di coordinate, per qualsiasi scelta di scale. E nota, ora c'è un vettore a sinistra! Uguale a zero per definizione. Come mai? UN nel mio sistema di coordinate, qualsiasi mia scala, che porto con me, per me, per definizione, coincide sempre con se stessa! Potrebbe cambiare per altri, e per me – No. E perché ho scritto qualcosa di così complicato qui?? Niente di speciale, ha semplicemente formalizzato l’ipotesi di variabilità di scala, registrato questo possibile cambiamento relativo alle scale stesse e, prima approssimazione, proporzionale allo spostamento dal mio punto. Invece dei cambiamenti stessi, ho introdotto i coefficienti D^io_jk, che nel mio sistema di coordinate sarà una funzione del punto e con il loro aiuto potrai collegare i risultati delle misurazioni nei punti vicini (in altri sistemi di coordinate, ovviamente, pure, ma lì questi coefficienti saranno altre funzioni). Ecco perché i matematici chiamano questa struttura connettività, un D^io_jk coefficienti dell'affine (lineare nello spostamento) connettività. Puoi anche incontrarlo, che sono chiamati simboli Christoffel. Ma questo nome viene solitamente utilizzato solo nel caso speciale degli spazi riemanniani.

Bene, finalmente l'argomento di questo articolo è davanti a te. Discutiamo ora, cos'altro puoi dire sulla connettività?, oltre a quanto già detto. E perché è una struttura così importante per lo spazio-tempo.

Significato fisico della connettività è abbastanza chiaro dal metodo stesso di determinazione dei coefficienti di connettività. Questi sono i tassi dei cambiamenti relativi degli oggetti, misurazioni selezionate in questa procedura come unità quando ci si sposta da un punto all'altro nello spazio descritto. Questo non è un tensore, ma un oggetto geometrico più generale. Il modo in cui i suoi componenti si trasformano quando si passa ad altri sistemi di coordinate è estremamente importante per la matematica (e anche per la fisica), ma qui non abbiamo bisogno di saperlo. È importante solo capire, che cosa in un altro sistema di coordinate, i coefficienti di connettività rappresenteranno anche i tassi di cambiamento relativo negli oggetti, ma altri, vale a dire quelli, quali sono le unità nella nuova procedura di misurazione. La connettività ne ha un'altra, significato più familiare ai fisici. Fisicamente, la connettività non è altro che, come complesso di potenziali di un unico campo fisico. Ma non mi concentrerò su questo adesso.. Mi soffermerò su questo in modo più dettagliato, Cosa dà alla matematica la presenza della connettività? (e, Di conseguenza, anche per la fisica).

Spazi, in cui in ogni punto è definita una connessione affine (i suoi coefficienti in funzione di un punto sono specificati in un determinato sistema di coordinate, e quindi anche in tutti gli altri), sono chiamati spazi di connessione affine. Riemann e, rispettivamente, Gli spazi euclidei sono casi speciali di spazi affinemente connessi. La presenza di connettività rende possibile la covariazione (questo è, con risultati coerenti per qualsiasi coordinata valida) non solo eseguire operazioni algebriche con tensori (con i risultati della misurazione degli oggetti selezionati) ma anche differenziare, e persino integrarli. I risultati di queste operazioni sono ancora una volta tensori, che sono immagini matematiche dei risultati della misurazione di oggetti selezionati. Ciò significa che i risultati delle operazioni possono anche essere messi in accordo con determinati oggetti misurati.

Utilizzando la connessione affine è possibile definire operazione di differenziazione covariante o assoluta di quantità tensoriali in tali spazi. Il simbolo serve per indicare questa operazione D, a differenza del simbolo differenziale ordinario d. Ma c'è un'altra operazione, strettamente correlato a questo, che è chiamato trasferimento parallelo di vettori e altri tensori lungo una curva. Molto spesso, la connessione affine viene introdotta dai matematici proprio con l'aiuto del concetto di trasferimento parallelo. Naturalmente, non appare nulla di aggiuntivo, l'enfasi della presentazione cambia leggermente. Ho prestato attenzione a questo, che i cambiamenti nei componenti della bilancia sono misurati dalle bilance stesse. Ma la stessa cosa può essere espressa come deviazione di scala nel vicino (infinitamente vicino) punto della scala trasferito lì parallelamente a se stesso da un dato punto. Parole “parallelo a se stesso” sono equivalenti alla relazione Di^io_N= 0. Significa questo, che per definizione, in questo sistema di coordinate, tutti i vettori di base (unità, necessario e sufficiente per descrivere lo spazio) vengono trasferiti parallelamente lungo qualsiasi linea di coordinate, proveniente da questo punto. Questo è, quando ci si sposta da un punto, vettori di base, trasferiti lì in parallelo, coincidono con quelli esistenti nel nuovo punto. Questa definizione può essere interpretata anche al contrario – il trasferimento parallelo è un tale trasferimento, in cui il vettore trasferito coincide con quello esistente nel punto, dove va. Alle componenti del vettore trasferito vengono assegnati i valori delle componenti del vettore, esistente in un punto vicino. La definizione garantisce tale proprietà in qualsiasi sistema di coordinate solo per i vettori di base. Serve qualche ulteriore chiarimento, che tale linea è la coordinata, proveniente da un punto, a cui uno dei vettori base è tangente, cioè, la linea è esattamente nella direzione di questo vettore. Ecco gli altri vettori, esistente in un dato punto, non sono in alcun modo obbligati ad essere trasportati parallelamente lungo tale linea in nessun sistema di coordinate. Ma! Esiste un sistema di coordinate, in cui un dato vettore viene trasferito in parallelo lungo una determinata linea (cioè il suo differenziale assoluto D lungo tutta la linea è zero)! Questo è il sistema di coordinate, in cui questo vettore (se è controvariante, ovviamente) è uno dei vettori di base, una delle unità di misura. E la linea corrispondente è una linea di coordinate. Come dovrebbe essere chiaro da quanto sopra, il risultato del trasferimento parallelo di qualsiasi vettore dipende dal percorso di questo trasferimento.

Voglio sottolineare una delle proprietà più importanti della connettività. Abbiamo scritto i suoi coefficienti come risultati della misurazione dei cambiamenti nelle nostre scale utilizzando le stesse scale. Suona bene, ma come effettuare tali misurazioni? Infatti, dal punto di vista dell'esistenza delle scale stesse, esse rimangono inevitabilmente identiche a se stesse in tutti i momenti della loro esistenza! A proposito, questo è proprio ciò che scrive la relazione Di^io_N= 0. Non abbiamo chiuso un occhio davanti a questo problema.. Cosa significa questo?? Ecco cosa. sì, Veramente, non esiste un modo diretto, utilizzando le misurazioni della bilancia stessa, selezionato per creare l'immagine corrente del mondo in quest'area, imposta il tipo di connettività in questo particolare sistema di coordinate. Ma questo non è molto importante. Basta riconoscerlo e tenerne conto, che le scale selezionate, Forse, variare da punto a punto. sì, la connettività conterrà in questo senso una certa dose di incertezza. Ma questo è tutto, riguardo alle relazioni tra i valori misurati, sarà completamente determinato. Come hai capito, Questa osservazione riguarda la descrizione che utilizza la connessione delle relazioni nel mondo reale. E nel mondo della matematica pura, chi sta solo studiando, quali opportunità le offre questo strumento?, non esiste alcun problema del genere. Contiamo, che la connessione sia data, e questo è tutto! E tu sai, che cosa è divertente? si scopre, se i coefficienti di connettività nello spazio sono noti come funzioni di coordinate, allora si sa tutto di un simile spazio!

sì, ovviamente, per, per descriverlo “tutto” fu sviluppato un ricco apparato, di cui dirò qui solo poche parole. Sebbene la connettività non sia un tensore, ma genera (da componenti connesse possono essere formati utilizzando operazioni algebriche e/o derivazioni) diversi tensori molto importanti. Questi includono il tensore di torsione e tensore di curvatura, insieme ai suoi fagotti. Lascia che te lo ricordi, Cosa significa questo, che alcune proprietà di connettività possono essere ottenute come risultato della misurazione di oggetti. Successivamente inizia la classificazione degli spazi in base alle loro proprietà. – in tali condizioni si scopre che, con altri – Questo. Rispettivamente, gli spazi ricevono nomi – equiaffine, Riemanniano, affine, euclideo… Euclideo è quello che conosci meglio. Come sono caratteristici in termini di connettività?? Ed ecco cosa. In primo luogo, questi sono questi spazi, in quale ci sono speciali, serie di scale identiche in tutti i punti. Se scegli uno di questi insiemi di scale per costruire un sistema di coordinate nello spazio, allora un tale sistema coprirà l'intero spazio e i coefficienti di connessione affine in esso saranno ovunque uguali a zero! In secondo luogo, queste scale ci permettono anche di formare una metrica, inoltre lo stesso in tutti i punti dello spazio! Questo è, in tale (e solo in questo modo!) spazio e l'opportunità di avere “quelli buoni” unità.

 

© Gavryusev V.G.
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