Cosa sono i tensori?? Perché i tensori sono il principale strumento matematico in fisica?

Parola “tensore” rimane ancora molto per molti fisici, e ancora di più per i non fisici, qualcosa di poco comprensibile, astrazione matematica. E questo nonostante il fatto, che i tensori stessi sono stati usati in fisica per oltre un secolo. Cos'è un tensore?? La risposta a questa domanda è estremamente semplice. – Questo raccolta di serie di numeri, che sono associati ad alcuni oggetto fisico, isolato dal resto del mondo reale, ogni procedura di misurazione (cioè, confrontando l'intero oggetto in una volta, o alcune delle sue proprietà individuali, con scale selezionate) separatamente e con tutte queste procedure di misurazione consentite contemporaneamente. I tensori differiscono nel numero di numeri in tali insiemi e nelle regole, che mettono in relazione i loro valori in diversi sistemi di coordinate.

Queste regole sono semplici, anche la classificazione dei tensori, ma questa semplicità richiede chiarimenti con esempi illustrativi.

Cominciamo spazio di prezzo unidimensionale, usato come esempio quando si discute il concetto relatività. Scegliamo come valide due valute (due sistemi di coordinate) rublo e dollaro, e l'oggetto fisico sarà un panino.

Primo, tensore più semplice, che appare in un tale spazio – Questo scalare 1, assegnato a tale proprietà di oggetti fisici, come quantità: 1 la sposa. Dalla scelta dell'unità di misura del prezzo (rublo, li dollaro) questa proprietà è indipendente, è un invariante e numero adimensionale. Scalare è anche chiamato tensoreohm zero classifica. Lo scalare può assumere un valore numerico arbitrario – 2, 3, 1.5 (spose). Nota, che sebbene gli scalari siano adimensionali, ma hanno qualche traccia rudimentale di dimensione – i panini sono diversi dalle salsicce, per esempio, anche se in termini di prezzo sono abbastanza compatibili. Puoi parlare del prezzo totale di panini e salsicce insieme. Cioè. la differenza tra scalari è in qualche modo al di fuori dell'ambito della matematica. Lo scalare viene determinato nello spazio ancor prima che venga introdotta qualsiasi procedura di misurazione., sorge non appena mettiamo in evidenza le singole parti nel nostro mondo. Ma anche dopo aver definito i sistemi di coordinate, non scompare.. Questo è il più semplice insieme di numeri. Componente nel set ” scalare” sempre solo. Il suo valore è lo stesso in tutti i sistemi di coordinate.. Questo fatto, ovviamente, non dipende dal numero di dimensioni dello spazio, perché. lo scalare stesso dalla procedura di misurazione, questa dimensione sta definendo, non dipende.

Tensore successivo, che possiamo subito vedere, chiamato vettore, o il tensore di primo grado. Questo non è altro che il prezzo di un oggetto fisico (rotola in questo caso). Poiché il nostro spazio è unidimensionale, viene descritta solo una proprietà di un oggetto in questo spazio, allora ci sarà anche una sola componente nel vettore. Ma! Se uno scalare ha sempre un componente, per spazi di qualsiasi numero di dimensioni, poi il vettore ha il numero di componenti strettamente uguale al numero di dimensioni. Questo è ciò che è implicito nella dichiarazione “tensore di primo grado“. Durante la misurazione, ogni scala corrisponde a quella dell'oggetto selezionato dimensionale componente – numero, indicando quante scale di questo tipo sono necessarie, riprodurre l'oggetto. Dimensione dei diversi componenti generalmente diverso e coincide con il nome della corrispondente unità di misura. Nel nostro caso particolare, sarà, per esempio, 25 rubli. Il prezzo di un rotolo in rubli, X^P=25 (rubli). E in dollari (in un altro sistema di coordinate) Questo sarà 1 dollari, X^D=1 (dollari). Nota, che i coefficienti di transizione tra i sistemi di coordinate (valute) Due. Dai rubli ai dollari, il rapporto tra dollaro e rublo in un dato mercato (è^D/è^P= 1/25 dollaro / rublo) e viceversa (è^P/è^D= 25 rubli / dollaro). Anche i coefficienti di trasformazione delle coordinate sono dimensionali, e hanno dimensioni da entrambi i sistemi di coordinate. I valori vettoriali vengono convertiti da un sistema di coordinate a un altro utilizzando la formula X^D=è^D/è^P•X^P. Formula abbastanza naturale. Per ottenere i valori di un componente vettoriale in un nuovo sistema di coordinate rispetto all'unità “dollari” devi moltiplicare il valore del vettore nel vecchio sistema di coordinate rispetto a uno “rublo” di atteggiamento nuovo unità a vecchio. Osservare, le dimensioni si trasformano anche in questo caso! Regola generale – le componenti di tale vettore vengono trasformate durante le transizioni tra sistemi di coordinate utilizzando la matrice di trasformazione delle coordinate stesse (unità in esse selezionate), matrici di derivate di nuove coordinate in funzione di vecchie. Nel nostro esempio, la matrice è ridotta a un numero, ma è chiaro, cosa succede nel caso di più unità? (spazi multidimensionali) questa sarà una tabella di numeri (dimensionale!).

si scopre, che nel nostro spazio unidimensionale ci sono anche altri tensori di primo rango, molto simile ai prezzi vettoriali. Hanno anche lo stesso componente, quante unità di misura in un dato spazio. Pertanto, sono anche chiamati vettori. Ma esprimono una proprietà completamente diversa dell'oggetto.! Per distinguere tra questi due tipi di vettori, sono chiamati vettori controvarianti (come il vettore dei prezzi) e vettori covarianti. Questi nomi significano “contro-trasformare” e “co-trasformare”. Facile da capire, cosa è connesso con le formule per la trasformazione dei loro componenti durante le transizioni tra sistemi di coordinate. Ora introdurremo un vettore covariante per il bun, e vedrai la differenza. Quanti rotoli puoi acquistare per unità di misura (in questo caso, prezzi – per un rublo o un dollaro)? La domanda è abbastanza sensata, glielo chiediamo spesso. Esattamente questo proprietà dell'oggetto, “cadere in tale e tale quantità per unità di misura” ed esprime il vettore covariante. Per una pagnotta, sarà X_P=1/25 (1/rublo). Cioè. Su 1 con un rublo si può comprare 1/25 di una pagnotta. Nota, l'indice della valuta è in basso e la dimensione della componente del vettore covariante è inversa alla dimensione dell'unità corrispondente. In un diverso sistema di coordinate X_D=è^P/è^D•X_P. Le componenti del vettore covariante vengono moltiplicate per il rapporto vecchio unità a nuovo.Regola generale, distinguere un vettore covariante da un controvariante – i suoi componenti vengono trasformati utilizzando la matrice di trasformazione delle coordinate inverse, matrici di derivate di vecchie coordinate rispetto a nuove.

Perché abbiamo bisogno di tutti questi vettori?? Nella vita si sommano i prezzi, moltiplicare, dividere… Destra, devo entrare (descrivere) operazioni tensoriali. Ecco un esempio di moltiplicazione, che ha un altro nome speciale, convoluzione. X^P•X_P= 1. Cosa è successo a seguito di questa operazione, prodotto del prezzo di un rotolo per il prezzo unitario del rotolo stesso? Destra, scalare, numero di rotoli, vale a dire questo panino. Ed ecco un altro rapporto – Insieme a^P=X^P + e^P. Cosa dice? Prodotto X ha un certo prezzo in rubli, Prodotto e un altro. Il prezzo totale del nuovo prodotto Insieme a, composto da due prodotti insieme, denotare come Insieme a^P. Cosa puoi dire di questo? Insieme a^P=X^P + e^D somma? O su questo Insieme a^P=X^P + e_P? O su questo Insieme a_P=X^P + e^P? Stupidità, non puoi piegarlo così – rubli con dollari, o prezzo con prezzo unitario. E non puoi aggiungere due prezzi per ottenere il prezzo unitario. Aggiungere i prezzi dà sempre un prezzo. Tanto per te regola generale delle operazioni tensoriali, che potresti conoscere come requisito di covarianza delle leggi della fisica. Aggiunta, sottrazione e uguaglianza possono connettere solo tensori della stessa struttura nello stesso sistema di coordinate. E questa regola è del tutto naturale, enuncia semplicemente i requisiti di buon senso descritti sopra.

Spazio di prezzo, che ho scelto per i miei esempi, Troppo facile, poiché unidimensionale e per questo introducono tensori più complessi in esso (secondo, e così via ranghi) fallisce abbastanza facilmente (formalmente puoi, ma non hanno molto senso). Ma è molto descrittivo., comprensibile, operazioni in esso sono familiari a quasi tutti. Voglio sottolineare ancora una volta un'altra cosa importante., che ho cercato di farti capire, naturale. tensore, non importa quanto sia difficile all'inizio, secondo e terzo sguardo, non c'è sempre nient'altro, come espressione numerica di alcune proprietà misurate di alcune specifiche, oggetto fisico selezionato. Inoltre, a questo livello (per un tensore di un dato rango) esattamente altrettanti numeri, quante proprietà di un oggetto sono considerate. E ci sono così tante proprietà da considerare, quante diverse unità indipendenti hai?. Meglio ancora, esprimi questo pensiero al contrario. – per una descrizione completa di un oggetto, è necessario prendere altrettante unità di misura indipendenti, quante proprietà indipendenti ha un dato oggetto?. Nel nostro caso specifico, siamo interessati ad un immobile, prezzo. Quindi abbiamo un'unità di misura..

Facciamo un esempio più complesso, ma comunque vicino alla nostra esperienza diretta. E, ovviamente, vicino al tema di questo sito. Un tale esempio può fornirci uno spazio tridimensionale.. A scuola il primo concetto di tensore (vero senza menzione, che stiamo parlando del tensore) prendiamo dall'esempio vettori di velocità. Vettore di velocità del punto (nel corso della scuola di fisica e qualsiasi solido) il corpo ha 3 Componenti, per il numero di dimensioni dello spazio. Di solito è raffigurato come una freccia., attaccato al corpo e il raggio vettore nelle figure. Bisogno di chiarire, che il concetto di raggio vettore non è esattamente equivalente al concetto di vettore, perché. il raggio vettore è associato a più di un punto, ma sempre con due. ma, il concetto di vettore in un dato punto si ottiene come risultato del passaggio al limite dal concetto di raggio vettore in quanto il secondo punto tende al prescelto. E, Oltretutto, nello spazio euclideo, entrambi i concetti sono spesso intercambiabili, almeno quando rappresentato graficamente. Puoi controllare, che la regola del parallelogramma per l'addizione vettoriale dà esattamente lo stesso risultato di esplicitamente (per componente) la loro somma scritta nell'algebra tensoriale standard. Addizione di due vettori velocità (questi sono vettori controvarianti): v^io=tu^io + w^io , i=1,2,3. Per lo spazio tridimensionale è molto più semplice fornire esempi di tensori e dei seguenti ranghi. Uno di questi tensori di secondo grado importanti per il familiare spazio euclideo è tensore metrico  G_io, avente in tutti i sistemi di coordinate ortogonali la forma diagonale: G_io= 1 per io=K i = 0 a io?K . Questo tensore viene utilizzato per calcolare il valore di qualsiasi vettore controvariante, Compreso, ovviamente, e il vettore velocità:  v² =∑G_io v^io v^K , dove la sommatoria viene eseguita su tutti i valori di entrambi gli indici, e taglia c (come v²) è uno scalare. Questa formula non annota altro che il teorema di Pitagora in relazione al vettore velocità tridimensionale.

Il mio primo esempio non me lo ha mostrato, che serie di numeri?, risultante da misurazioni, non può costituire un tensore, e rimangono comunque significativi precisamente e solo come aggregato.Il numero di componenti, comporre un oggetto geometrico significativo, è lo stesso anche in diversi sistemi di coordinate. Ma la legge della loro trasformazione durante le transizioni tra sistemi di coordinate è più complicata, del tensore. Un esempio sono le coordinate stesse. Sono sempre lo stesso numero., ma le coordinate di un osservatore possono essere funzioni non lineari delle coordinate di un altro. Il secondo permette di introdurre e discutere altri oggetti geometrici., ma ho un articolo, dedicato proprio all'oggetto più significativo del genere per la fisica — connessione affine. quindi, il, chi desidera approfondire la propria comprensione di questo problema, meglio leggere questo articolo.

Certo, i tensori sono anche oggetti geometrici, solo alcuni dei loro casi più speciali. Qui voglio chiarire per voi, cos'è esattamente l'individuazione dei tensori? di tutti questi insiemi significativi di misurazioni, oggetti geometrici. I tensori sono sempre associati a un oggetto specifico. Oggetti geometrici con legge di trasformazione, diversi dal tensore sono associati a oggetti variabili, in una procedura di misurazione (sistema di coordinate) stanno parlando dello stesso oggetto, e in un altro – su altro. Tensori e operazioni con essi forniscono un modo, senza pensarci troppo e sempre nel giusto, operare con i risultati della misurazione delle proprietà degli oggetti selezionati. Certo, se comprendiamo correttamente il significato di ogni tensore che usiamo. Ma non è più una questione di matematica., ma l'interpretazione, applicare la matematica al mondo reale.

Bene, sembra essere l'idea generale del tensore e perché il loro uso è conveniente, e, soprattutto, importante e inevitabile, sono stato chiaro.

© Gavryusev V.G.
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