Что такое симметрии? Какое отношение к ним имеет математическое понятие группы? Что такое представления группы? Почему в физике так много внимания уделяется симметриям?

Сначала поговорим о бытовом, близком каждому представлении о симметрии. Как всегда, чтобы лучше понять о чём речь я постараюсь выявить смысл самого этого слова. Как и в случае многих других понятий, смысл у этого термина имеется отнюдь не единственный. Поэтому нужно пройтись по всем имеющимся смыслам (ну, или хотя бы, по основной их части). Буквальное значение слова “симметрия” в его, скажем так, русском варианте (хотя само это слово уже давно стало неотъемлемой частью русского языка), это со-размерность. Т.е. изначальное значение слова подразумевает наличие определённой связи, совместимости по величине, по размеру чего-то с чем-то. Хотя первое, что обычно приходит в голову, когда мы слышим это слово, это представление о чём-то красивом, совершенном. Симметричное лицо — это лицо, в котором всё уравновешено, правое соответствует левому, верх и низ не создают ощущения противоречия между собой. Симметричная геометрическая фигура не состоит из множества хаотически связанных элементов, а наоборот, представляет собой набор элементов, возможно равных, демонстрирующий некий порядок. Например, окружность. Все точки расположены на равном удалении от центра и в этом смысле идентичны, неотличимы друг от друга. Или равносторонний треугольник. Все стороны равны. Все углы равны. Можно вращать так, что когда вершины совпадают, то треугольник по сути дела не изменяется, остаётся тем же самым. Можно отразить две части треугольника, полученные делением его любой высотой, друг на друга и они совпадут, а новый треугольник будет неотличим от старого.

Так что же нам требуется, чтобы можно было сказать о предмете разговора, что в нём имеется некоторая симметрия?

Первое. Предмет разговора о симметрии, вообще говоря, должен иметь некоторую сложность, состоять из “деталей”, представлять собой совокупность иных предметов, а не быть чем-то единственным. Простое существование единственного элемента не позволяет говорить о симметрии. Его не с чем сравнивать, соразмерять. Отмечу, что здесь уместно уже использовать математическое понятие “множество”. Множество элементов.

Второе. Чтобы возникло понятие о симметрии, необходимо чтобы элементы некоего множества были вовлечены в какие-то отношения между собой, чтобы к понятию множества было добавлено понятии об операции  над элементами этого множества. Только суждение о результате некоторой операции позволяет нам сказать, имеются ли в данном множестве элементов (фигуре, объёмном теле, фразе или ещё в чём-то) признаки наличия или отсутствия симметрии, соразмерности. Из-за того, что мы говорим о соразмерности, может показаться, что такая операция обязательно должна быть как-то связана с измерением, хотя-бы в его рудиментарной форме сравнения. Сравнение действительно всегда делается, но, как правило, на самом последнем этапе, после операции, о которой здесь речь. Сравнивается то, что было до операции, с тем, что получилось после её применения. А вот сама операция, о которой в этом пункте идёт речь, не обязательно сводится к операциям измерения. В качестве примера могу предложить операцию перестановки элементов некоторого множества.

Третье. Наличие симметрии подразумевает, что применение некой операции оставляет некоторое свойство (или несколько свойств) множества (обсуждаемого предмета как целого) неизменным. Что-то является инвариантом операции. Остаётся неизменным свойством множества как целого (или тех элементов, к которым была применена операция). Пожалуй, из-за того, что первые два свойства являются для нас как бы само собой разумеющимися, имеющимися по-умолчанию, это свойство превалирует в наших представлениях о наличии или отсутствии  симметрии.

Принято считать, что основой для описания симметрий с помощью по возможности точных, математических понятий служит  понятие о группе. Это верно, но не совсем. Для начала скажем, что группа — это множество элементов с  определённой в нём операцией, применение которой оставляет элементы множества в самом этом множестве. Эта часть определения группы в точности отвечает нашим представлениям о свойствах симметрии. Но в определении группы имеются ещё некоторые важные условия на элементы множества и свойства операции. Их мы уточним позже. Эти условия важны для понятия группы, но часто чрезмерны для описания симметрий. Немного более широким является другое математическое понятие — представление группы. Оно предоставляет некоторые дополнительные свойства, которые мы ожидаем найти в формальном описании интуитивного представления о разного рода симметриях. С сугубо формальной точки зрения обсуждение понятия представления группы оказывается удобнее вести на базе уже описанного понятия, группы. Вообще говоря, некоторые наши базовые интуитивные представления о симметрии нужно описывать на языке отображений, а отнюдь не групп и их представлений. Однако, то представление о симметриях, которое сформировалось в физике, самым непосредственным образом связано именно с понятием группы. Поэтому я, в основном, буду следовать этой линии и ниже попытаюсь пояснить, с чем  это связано.

Определение (математическое) группы. Непустое множество с заданной в нём бинарной  (т.е. применяющейся к двум элементам множества) операцией (а результатом операции тоже является элемент того же множества, а не какого-то другого) называется группой, если выполняются следующие условия:

1. В множестве есть нейтральный элемент, часто называемый единицей,  такой, что участие его в качестве одного из операндов (вовлечённых в операцию элементов множества) на любом месте (результат операции в общем случае может зависеть от места операнда в бинарной операции) не изменяет второго операнда. Т.е. операция, включающая этот элемент даёт в качестве результата второй вовлечённый в операцию элемент.  Название “единица” исторически связано с тем, что основные представления о свойствах групп часто извлекаются из изучения группы чисел с операцией умножения. Кстати, поэтому очень часто, саму групповую операцию называют “умножением”. Что, естественно, является не более чем жаргоном, с ограниченной определённым кругом областью применения.  Названия эти (“единица”, “умножение”) весьма условны.  Числа являются группой и по отношению к операции сложения (причём в более строгом смысле, из-за строгого выполнения ещё одного, приведённого ниже условия 2, чем по отношению к умножению). В этом случае нейтральным элементом является число нуль, а не единица.
2. Каждому элементу множества можно поставить в соответствие обратный элемент, такой, что операция с двумя этими элементами (прямым и обратным), не зависимо от их места в операции даёт результатом нейтральный элемент.   Эти два условия можно определить как одно условие существования обратной операции. (Сложение — вычитание, умножение — деление).
3. Условие ассоциативности. Операцию можно применять последовательно. Так как результат бинарной операции снова является элементом множества, то в неё  могут быть вовлечены три и более элементов из него. В этом случае результат операции не должен зависеть от того, как в этой цепочке выбираются пары (ведь операция-то  в основе своей бинарная!). Не важно, что сначала производится операция первого со вторым операндами, а потом результат становится первым операндом в операции с третьим. Или сначала второго с третьим, а потом результат становится вторым операндом в операции с первым. Но вот место всех элементов в цепочке не должно при этом меняться.

Посмотрим как это выглядит на конкретных, всем понятных примерах, и что в понятии группы может оказаться лишним для описания симметрии.

Симметричное лицо. Здесь множество состоит из двух половин лица, левой и правой. Каждая из половин включает в себя подмножество самых разных элементов — глаза, щёки, брови, половинки носа и рта, лба подбородка. Можно ещё больше детализировать описание лица, но и этого достаточно, чтобы увидеть суть идеи. А идея симметричного лица состоит в том, что каждому элементу левой половины лица соответствует в точности такой же элемент правой половины (ну и наоборот, конечно). Причём соответствие это обеспечивается операцией зеркального отражения по линиям, перпендикулярным к оси лица — прямой линии, проходящей через центр лба, кончик носа и кончик подбородка. Множество, описывающее эту симметрию в математическом смысле, состоит минимально из трёх  элементов (к половинам лица добавлена ось его симметрии, точнее, точки, или совсем маленькие участки, на ней располагающиеся) и операции зеркального отображения  элементов друг в друга. Левое в правое и наоборот, а ось при таком отображении остаётся неизменной (можно сказать также, что отображается сама в себя).  Но есть вопрос — а удовлетворяет ли описанное множество с операцией всем указанным выше условиям чтобы называться группой в математическом смысле? Нет. И вот почему. Операция отражения является фактически не бинарной, а унарной. Она применяется к единственному элементу множества. Отражение ставит любому элементу в соответствие другой элемент. Или тот же самый, если в множестве имеется нейтральный по отношению к операции элемент (совпадение результата с самим операндом и является в этом случае определением нейтральности).  Наличие нейтрального элемента тоже не обязательно в рассматриваемом случае. Ведь можно усечь описание лица до двух половин, который отражаются друг в друга. И идея симметрии всё ещё  остаётся явной при таком описании. Для описания такого типа симметрий достаточно математического понятия “отображение”.

Окружность. Этот пример заметно богаче. Он уже позволяет увидеть как появляется понятие математической группы. Та симметрия, которая появилась при обсуждении свойств лица, очевидна сразу — она возникает в тот же момент, как мы дополняем (хотя бы воображаемо) окружность любым диаметром, т.е. прямой линией, проходящей через центр окружности. Т.е. окружность симметрична относительно любого своего диаметра. Но! Если для лица линия симметрии одна единственная, то для окружности таких прямых, диаметров уже бесконечно много и имеется возможность поворачивать окружность (и любой один выбранный диаметр) вокруг центра на любой угол. И при этом с одной стороны, сохраняется симметрия левое/правое относительно такого диаметра, и, кроме того, сама окружность совпадает сама с собой (точнее, любая точка, лежащая на окружности на ней и остаётся). Появляется новая операция, точнее, бесконечно много операций, непрерывная их совокупность,  поворотов на некоторый угол. На бытовом языке мы скажем, что окружность как геометрическая фигура, более симметрична, чем лицо. Попробуем описать это новое богатство на языке математики.

Остановимся на поворотах. Повороты могут осуществляться на разный угол. Значит у этой операции имеется уточняющий параметр — угол поворота. Далее, повороты можно делать два, один за другим и результатом будет тоже поворот на некоторый угол (как мы знаем, углы складываются; это свойство является по сути дела определением как параметра поворота, так и самой операции поворота). Где два поворота, там и три и больше. И общим реультатом всегда будет поворот. А вот теперь сделаем шаг вперёд в наших построениях. Даже не вперёд, а можно сказать вверх, надстроим ещё один этаж над нашей кострукцией. Первый этаж — множество точек окружности и операции поворотов, сохраняющих эту окружность как целое. Вторым этажем будет множество операций — поворотов. Каждый поворот, соответствующий некоторому значению параметра, угла будем считать элементом нового множества, множества поворотов. И уже в этом множестве введём операцию, объединяющую два любых последовательных поворота. Назовём её “умножением”. Хотя вполне могли бы назвать и “сложением” (хотя бы на основании того, что углы поворотов у нас при этом по-определению складываются). Посмотрите внимательно на этот новый этаж. Ведь эта конструкция в точности соответствует математическому определению группы. Множество есть. Множество операций над чем-то другим? Ну и что? Операция есть. Операция над операциями? И что такого? Есть ли нейтральный элемент, “единица”? Есть. Поворот на нулевой угол (отсутствие поворота). Немного странно? Не страннее чем нуль как обозначение пустого множества. По сути это он и есть. То же лицо вид в профиль. Обратные элементы? Повороты туда и назад. Допускаем углы поворота как положительные, так и отрицательные. Ну и ассоциативность в последовательности поворотов тоже имеется. Группа поворотов оказывается идентичной группе действительных чисел с групповой операцией “сложение”. За одним существенным отличием. Не всех чисел, а чисел на интервале от 0 до 360 (если углы будем мерить в градусах), или от 0 до 2π (если мерить в долях длины радиуса, т.е. в радианах).

Мы увидели, как попытка описания определённого вида симметрии некоторой конкретной фигуры, окружности, привела нас к понятию группы. Группы преобразований, в данном случае поворотов. А другие фигуры поворачивать можно? Можно, конечно. А все они будут совпадать сами с собой при этом? Нет, конечно. А те, которые будут совпадать, пусть не для всякого поворота, а для некоторых — например, такие фигуры как отрезок прямой, равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник  и всякие остальные правильные “угольники”.  Мы их называем симметричными. Т.е., получается, если фигура не изменяется после поворота на некоторый угол (или углы), то она обладает определённой симметрией. Группа поворотов помогла нам увидеть эту симметрию. Для разных фигур. А группа одна (ну или разные из неё выборки, подгруппы). Так наша постройка переворачивается, второй этаж (группа преобразований, поворотов) становится основным, фундаментом. А сверху можно пристроить разные конкретные этажи (фигуры).

Какие выводы можно сделать на основании приведённых выше примеров?

В отношении описания симметрий мы можем заметить, что хотя понятие группы и не соответствует понятию симметрии в полном объёме, но группы преобразований позволяют довольно полно описать (и выявить наличие) если не все симметрии без исключения, то, вероятно, очень многие. По крайней мере все те, с которыми можно связать имеющиеся в данной группе инварианты (т.е. конструкции, оставляемые всеми преобразованиями из данной группы неизменными). Разные группы — разные инварианты — разные типы симметрий.

В отношении самих групп наше внимание сконцентрировалось на особой роли групп, элементами которых являются преобразования, причём активные преобразования. Соответственно, ими выявляются симметрии в тех объектах, на которые эти преобразования действуют. Однако достаточно ясно, что сами по себе групповые свойства не привязаны строго к преобразованиям тех или иных конкретных объектов. Одними и теми же свойствами, полностью или частично, могут обладать группы преобразований, действующие на множества совсем разных объектов. Например, на геометрические фигуры (повороты) и на числа (группа по сложению). И т.д. Здесь появляется идея представления группы. Группа, как абстрактное, идеальное понятие, может быть реализована  самыми разными группами преобразований. В точности или с определёнными, хорошо описанными отклонениями. Всякая такая реализация и называется представлением группы. Примерно также, как множество из пяти элементов может быть реализовано пятью камнями или пятью пальцами.

Самым удобным для изучения представлением групп преобразований является их представление матрицами.  Причиной того, что группы матриц являются центральными в теории групп достаточна проста и в то же время фундаментальна. Она же делает использование теории групп в физике неизбежным и всеобъемлющим, проникающим в самые разные уголки физики. Да и математики тоже. А вместе с группами в физику естественным образом вносится и понятие о симметриях. Правда нужно сказать, что именно потому, что для физики эти два понятия становятся почти синонимами, понятие симметрии в физике несколько отличается от того бытового понятия, которое мы обсуждали выше.   Что же за причина делает группы преобразований и, в частности, группы матриц настолько выделенными для физики?

Уже неоднократно в своих статьях я писал, что любое описание мира, использующее в качестве языка математику, опирается на процедуру измерения. Числа сами по себе лишь ничего не значащие символы. Значения свои они приобретают только тогда, когда этим символам ставятся в соответствие результаты подсчёта или сравнения чего-то с чем-то, принятым за базу, масштаб. А это и есть процедура измерения. Счёт — её простейшая форма. Ведь и здесь есть масштаб — нужно указать, что именно мы считаем. А процедра измерения отнюдь не единственна. Их много. И различаются они, в первую очередь, своими наборами масштабов, своими базисами. Сами процедуры измерения, используемые для описания мира составляют множество, которое можно описать, указав свойства его элементов, сходства и различия между ними. И масштабы одних процедур можно измерить с помощью других. И наоборот тоже. И вот эти перекрёстные измерения и порождают идею преобразований  и ею описываются. Преобразований чисел, результатов измерений, в другие числа, тоже результаты измерений, но полученные другим способом. Преобразований масштабов, преобразований координат, преобразований всех и всяческих результатов измерений. Таким образом, преобразования есть неотъемлемая часть любого нашего описания мира, претендующего на соответствие ему. Само множество преобразований, по крайней мере, некоторые части его, тоже можно описать некоторой идеей. А именно, идеей группы (разных групп, для разных подмножеств преобразований).

Хочу отметить, что эти преобразования по природе своей являются пассивными, описывающими изменение точки зрения на выделенный объект, изменение способа его описания. А при обсуждении симметрий мы пришли к активным преобразованиям, манипулирующим с объектом или его частями. Но есть ли разница? И да, и нет.

С точки зрения применения теории групп, с точки зрения абстрактной математической идеи разницы нет никакой. И те и эти преобразования являются представлениями, реализациями одних и тех же абстрактных групп, рассматриваемых как чисто математические, идеальные понятия. Всё, что может быть описано с помощью пассивной точки зрения полностью может быть обнаружено и при переходе к активным преобразованиям. И наоборот, конечно.

С точки зрения физики, разница есть и является принципиальной. В случае пассивных преобразований изменения имеют место в способе описания, грубо говоря в свойствах наблюдателя, а не в описываемом объекте. А вот при активных преобразованиях изменения, если они есть, это изменения именно описываемого объекта (части мира).

По этой причине при применении понятия симметрии в физике возникает два представления о возможных симметриях.

Одно из них, основанное на активных преобразованиях, имеет тот же генезис, как и наше бытовое представление и, поэтому достаточно легко воспринимается. Имеем что-то. Поворачиваем, отражаем, перемещаем — совпадает (остаётся инвариантным при преобразованиях) — значит симметрично. Чем больше у группы инвариантов, тем больше симметрий. Я называю такие симметрии симметриями первого рода.

 А вот при применении пассивных преобразований, изменении точек зрения, на первый план выходит совсем другое представление о симметриях. Казалось бы, и здесь тоже, чем больше у группы инвариантов, тем более симметричен объект. В этом смысле всё верно. Но давайте обратим внимание на вот что:  Когда группа преобразований (т.е. принимаемых во внимание точек зрения) становится всё шире и шире (число её инвариантов при этом уменьшается и уменьшается) то описания объектов, при ограничении точек зрения (групп допустимых преобразований) казавшиеся совершенно различными, несовместимыми, становятся очевидным образом разными описаниями одного и того же объекта. Задумайтесь! Объект-то один и тот же (симметрия!), вся причина того, что мы некий набор объектов считали разными, лежит в том, что этот объект нам виден (нами описывается) с разных точек зрения. А объединение этих разных точек зрения в единую группу затруднено теми или иными причинами, субъективными или объективными. Такого рода симметрию я называю симметрией второго рода. Для физики их поиски и наличие симметрий второго рода являются гораздо более важными, чем привычных нам первого рода. Наличие симметрий первого рода нарушает симметрии второго рода. Симметрии второго рода обнаруживаются только тогда, когда вымирают симметрии первого.

Примеры.

Если рассматривать только ортогональные повороты на плоскости (сохраняющие длину, вычисляемую по теореме Пифагора), то только окружности одного и того же радиуса с единым центром в начале координат переходят друг в друга. Т.е. всего одна единственная окружность. Добавим сдвиги по одной координате — все окружности с центрами на этой координатной оси становятся образами одной единственной. Добавим сдвиги по двум координатам — на плоскости все окружности одного и того же радиуса суть образы одной. Добавим общее масштабирование, одновременное изменение в одинаковой пропорции масштабов по обеим координатам (т.е. изменение длины) — вообще любые окружности оказываются образами одной единственной. А уж если разрешим разные масштабы по двум координатам, то сможем осознать, что разница между всяческими эллипсами (включая окружности) происходит из-за или может быть компенсирована всего лишь изменением точки зрения, процедуры измерения.

А вот пример с переднего края науки. Довольно давно в физике общим местом стало понимание того, что элементарные частицы являются преставлениями группы Пуанкаре. Зададимся вопросом, а насколько широкой является эта группа, включает ли она в себя все без исключения допустимые преобразования процедур измерений, допустимые изменения точки зрения? Ясно, что нет. По крайнем мере мыслим переход к преобразованиям из гораздо более широких групп, включённых одна в другую, вплоть до самой общей группы локально неособенных преобразований, сохраняющих лишь число измерений пространства-времени. Однако такое расширение группы необходимо проанализировать с точки зрения не только допустимости мыслимой, но и с точки зрения наших реальных возможностей его (расширение) реализовать. На этом пути можно получить (понять) причины объединения элементарных частиц в семейства, а также причины разницы в характеристиках отдельных частиц, объединённых в эти семейства. То, что сейчас в физике называют нарушенными внутренними симметриями.

А теперь о причине нахождения матричных групп в центре теории групп. Она прозрачна — пассивные преобразования локально порождают матрицы перехода от одних координат к другим (от одних процедур измерения к другим, от одного описания мира к другому). В случае единственного масштаба в процедуре измерения матрица сводится единственному числу, отношению масштабов разных процедур. При наличии двух масштабов таких чисел становится четыре и они объединяются в таблицу, квадратную матрицу 2х2. Квадратную потому, что в число масштабов в каждой процедуре измерений должно быть необходимым и достаточным для полного описания измеряемого объекта, а значит одним и тем же. Больше масштабов нужно для описания объекта — больше чисел в столбце и строке матрицы. 3х3, 4х4 и т.д. Соответственно, в числовом представлении группы преобразований являются группами матриц. Это главнейшая реализация любой группы, позволяющая изучить её свойства непосредственно.

В математике и физике, помимо обсуждавшихся выше представлений о симметрии имеется ещё одно, кажущееся довольно формальным, но на деле тоже весьма важное понятие о симметричности  (и антисимметричности) математических и изображаемых ими физических объектов. Восходит оно к понятию о неизменности (или наличии изменений заданного вида) какого-либо составного объекта при перестановке его частей. Простой пример — объект это набор из  двух (или больше) совершенно  одинаковых предметов. Как не меняй местами эти предметы, сам объект (весь набор, как целое) не изменяется.

Геометрические объекты, за исключением простейшего, скаляра, являются такого рода наборами, комплектами результатов измерений. Для того, чтобы их отличать друг от друга, каждой компоненте приписываются индексы. Сам объект при этом помечают какой-либо буквой, ярлыком. И к этой букве справа, вверху и (или) внизу добавляют индекс, который может иметь значение номера масштаба, с которым связано измерение конкретно этого свойства, этой компоненты объекта. Измерения бывают двух сортов. Прямое, говорящее в каком отношении находится данное свойство (компонента) объекта к указанному масштабу, грубо говоря, сколько раз масштаб помещается в данном объекте. В этом случае индекс, номер масштаба, ставят сверху и компонента приобретает размерность данного масштаба. Например, метр, сантиметр, секунда. Этот индекс называют контравариантным. Имеются также сопряжённые, удельные измерения, говорящие о том, сколько данной компоненты, данного свойства объекта приходится на соответствующий единичный масштаб. Размерность, соотвественно, 1 делённая на метр, на сантиметр или секунду. Вполне понятно, что прямые и сопряжённые измерения сопряжены по умножению. Например, если речь идёт о единственном масштабе, то простейшие объекты будут иметь по одной компоненте  и произведение сопряжённых компонент одного и того же объекта, измеренного по-разному, даст единицу  (безразмерную! один предмет, не важно какой) при любом выборе масштаба. Чтобы различать прямые и сопряжённые измерения, индекс последних пишется всегда внизу и называется ковариантным.

Если геометрический объект имеет два или больше индексов одного сорта (контравариантых или ковариантых, но не смешанного типа), то возникает возможность построения из компонент данного объекта двух новых геометрических объектов. Эти два объекта называют симметричной и антисимметричной частями исходного объекта. Например, возьмём объект Bⁱ_jk. Из его компонент можно сформировать два объекта,  Sⁱ _jk = 1/2 ( Bⁱ_jk + Bⁱ_kj) и  Aⁱ_jk = 1/2 ( Bⁱ_jk – Bⁱ_kj),  так что исходный  объект является их суммой:   Bⁱ_jk = Sⁱ_jk + Aⁱ_jk. Все эти формулы нужно понимать так, что если на место индексов j и  k поставить их конкретные значения, то для всех таких значений выписанные равенства будут выполняться. Например, Sⁱ₁₂ = 1/2 ( Bⁱ₁₂ + Bⁱ₂₁)  для любого значения i. Объекты Sⁱ_jk и Aⁱ_jk носят специальные названия — симметричная часть   и антисимметричная часть объекта Bⁱ_jk. Названия эти эквиваленты соотношениям  Sⁱ_jk=Sⁱ _kj      и   Aⁱ_jk= –Aⁱ_kj    , которые очевидным образом для них выполняются в силу их строения. Операции выделения симметричной и антисимметричной  частей называют обычно симметризацией и антисимметризацией. Поскольку эти операции являются инвариантными по отношению к преобразованиям координат (выбору процедуры измерения), т.е. соотношения сохраняются во всех системах координат, если они верны в какой-либо одной, то равенство нулю любой из частей является абсолютным фактом, не зависящим от выбора системы координат. Т.е. если какой-либо объект является симметричным (антисимметричная часть равна нулю), то это верно при любом его способе описания. Тоже самое касается и антисимметричности. По сути дела, эти две части друг от друга не зависят. Симметризацию (выделение симметричной части) геометрических объектов можно проводить только по чётному количеству индексов одного сорта. А вот антисимметризацию можно производить по произвольному числу таких индексов (если они имеются,конечно), добавляя в определяющую эту операцию формулу члены с циклически переставленными индексами и знаком плюс для чётного общего числа перестановок и знаком минус для нечётного. Кроме того, вместо множителя 1/2 нужно использовать в качестве весового множителя число возможных уникальных перестановок, т.е. нужно делить результирующую сумму на факториал числа участвующих в операции индексов одного типа. Наример, есть три контравариантых (или ковариантных) индекса. Тогда в сумму войдут члены с индесами вида: +ijk -ikj +kij -kji +jki  -jik, всего 6. А весовой множитель будет 1/3!=1/6. Это не случайная разница между этими двумя операциями. В некотором роде, антисимметризация является более фундаментальной операцией, она даже связана со специальным разделом математики, теорией форм. Имеются очень важные факты и в собственно геометрии, касающиеся полностью антисимметричных объектов. В частности, антисимметризация по количеству индексов, превышающему размерность пространства автоматически даёт нуль. А при равенстве — либо объём (для контравариантных индексов), либо сопряжённую ему величину, объёмную плотность.   Симметризация тоже является очень важной операцией, но она в некотором смысле более частная, имеет несколько более специальное, а не всеобщее значение. Например, в случае метрических пространств. Хотя эти замечания достаточно относительны. Ведь одно из направлений классификации важнейших для геометрии структур, аффинной связности и тензора кривизны основывается именно на разделении их симметризованных и антисимметризованных частей.

Эти кажущиеся сугубо формальными операции с индексами на самом деле позволяют описать  некоторые весьма фундаментальные свойства объектов реального мира. Пользуясь этими понятиями становится возможным классифицировать, перечислить эти свойства.

© Гаврюсев В.Г.
Опубликованные на сайте материалы можно использовать при соблюдении правил цитирования.