Аффинная связность

Что такое аффинная связность?

Аффинная связность. Этот термин мало что говорит даже человеку, получившему университетское образование. Однако, я надеюсь объяснить на достаточно простых примерах, что это такое и почему имеет для физики определяющее значение.

Надеюсь, вы уже посмотрели статьи об относительности, тензорах, псевдоевклидовости и метрике, и имеете некоторое представление о том, как в каждой точке пространства-времени могут быть разными способами выбраны наборы единиц измерения. Продолжу с предположения, что это уже сделано и все точки некоторой области пространства-времени оснащены такими наборами масштабов и имеется образ этой области в виде числового континуума, описываемого системой координат. Пусть для простоты пространство двумерное и координаты точки обозначаются как xi, i=1,2. Сами масштабы, единицы измерения, в каждой точке изображаются контравариантными векторами ei1 , с компонентами 1 и 0, и ei2 , с компонентами 0 и 1. Заметьте, компоненты этих векторов в данной системе координат всюду одинаковые, в каждой точке. Помимо векторов масштабов можно в каждой же точке определить множество векторов бесконечно малого смещения из неё – dxi. Таких векторов бесконечно много, по одному для каждого пути, ведущему из точки. Но традиционно о них говорят в единственном числе – вектор бесконечно малого смещения, потому что обычно всегда подразумевается один вектор из всего множества, один какой-то путь.

Для простоты обсуждения, пусть мы рассматриваем классическое приближение. Такое, что точка в изображении представляет достаточно большой кусочек мира, в котором помещается сразу несколько предметов, да и наблюдателей с их разными наборами масштабов тоже. В некоторой “точке” (а в изображении это будет именно точка) такого пространства мы провели непрерывные во времени (пусть моя первая координата, x1, будет временем) измерения различных свойств некоторого выделенного объекта. Пусть эти свойства представлены скаляром s и вектором Pi как функции времени в данной точке. То есть как значения, известные на линии времени, проходящей через эту точку пространства. И значения Pi одинаковы для каждого момента времени. И какой-то другой наблюдатель делал то же самое, но своими масштабами, с результатами s и Pi’, известными, очевидно, на той же самой линии в пространстве-времени. Кроме того, обоюдно измерялись также и масштабы из другого набора. И оказалось, что с точки зрения второго наблюдателя оба вектора, изображающие наши масштабы, имеют компоненты не только не равные указанным выше значениям, но и вообще меняются в его времени. Также, как и его масштабы в наших измерениях. Вот вам вопрос – какие результаты измерений можно сравнивать с какими в такой ситуации, и быть уверенным, что результаты сравнения будут одинаковы для обоих наблюдателей (в обеих системах координат)? Ведь только такие результаты могут быть обсуждены всеми и приняты всеми без возражений. Ответ таков. Скаляры можно сравнивать всегда, для любых наблюдателей – они ведь от выбора единиц измерения не зависят. А векторы зависят. И если в одной точке единицы, которыми их померили были одни, а уже в соседней они изменились, то как же их сравнивать? Можно сказать, что незачем ерундой заниматься, а надо было заставить второго наблюдателя взять хорошие (а именно, совпадающие с нашими) часы и не морочить нам голову. Но тот скажет, что это мы такие разгильдяи, наши часы плохие, а не его. Кто прав? Можно договориться использовать одни и те же часы. Решит это проблему? Придёт третий, со своими часами и опять все сначала. Уговорим и его… А четвёртый, пятый и т.д. и т.п.? Ну сверите вы все часы в один момент времени. А что потом? Вы же знаете, что имеют они такое свойство меняться в процессе своего существования, по сравнению с любыми другими. Да ещё и линейки ведь тоже так же себя ведут… Как же решить эту проблему без склок и договоров, как избежать сомнений раз и навсегда? Хотелось бы надеяться, что есть в природе такие идеальные объекты, которые нигде и никогда не меняются, и есть они в каждой точке пространства-времени, так что их можно использовать как самые-самые, нужные нам “хорошие” часы и линейки. Тогда указать всем и каждому, что достаточно использовать для измерений только эти масштабы – и вопрос закрыт. А другие возможные процедуры измерений – плохие, про них и забыть можно. Представление об евклидовом (и псевдоевклидовом) пространстве именно на таком убеждении и базируется. Кстати, именно этому вопросу и посвящена первая статья А.Эйнштейна по специальной теории относительности (“К электродинамике движущихся сред”).

Только вот проблема-то. Как реально убедиться, что “хорошие” часы есть всюду и везде, да ещё и время одно и тоже показывают? Да и линейки тоже. Знаем ведь точно, что это не так. Так что от признания равноправности всех без исключения процедур измерений нам никуда не деться. И нужно научиться работать с результатами измерений, которые дают они. Что это значит? Это значит, что каждый наблюдатель обязан допускать, что его наборы масштабов могут изменяться при перемещении от точки к точке пространства-времени. Соответственно, и при сравнении результатов измерения одного объекта в разных точках нужно учитывать, что не только сам объект мог измениться, но масштаб тоже. Аффинная (линейная) связность и есть та структура, которая в явном виде описывает потенциальное изменение масштабов и позволяет без проблем работать в такой ситуации.

Масштаб у нас изображается контравариантным вектором ein. Индекс n внизу здесь обозначает номер масштаба, а не компоненты вектора. Пусть мы допускаем, что при смещении в соседнюю, бесконечно близкую точку, масштаб будет отличаться от своего значения в текущей точке в первом, линейном приближении по смещению dxj из точки на некоторую величину dein. Что означает линейное приближение? Кстати, именно с этим приближением и связано определение “аффинная”. Означает оно то, что можно записать n соотношений для каждой i-ой компоненты

dein= {Eij}ndxj .

В этой формуле по индексу j подразумевается суммирование. В нашем двумерном случае

dein= {Ei1}ndx1 +{Ei2}ndx2.

Далее мы будем следовать этому соглашению всегда – если индексы снизу и сверху в формуле повторяются, то это записана сумма по всем значениям индекса.

Символами {Eij}n обозначены коэффициенты в записанном выше разложении.

С другой стороны, масштабы в смещённой точке тоже векторы того же самого вида. И их значения можно рассматривать как результат действия некоторого преобразования на значения масштабов в исходной точке:

ein+dein=ein +{Uik}n ekn.

Это соотношение следует понимать так — изменения в масштабах нужно рассматривать как пропорциональные самим масштабам. Т.е. нужно отслеживать относительные изменения в масштабах. Ведь для измерения  изменений используются сами масштабы, существующие в данной точке, других  нет. Поэтому независимыми величинами являются относительные изменения, а не абсолютные. Соответственно, введённые выше коэффициенты  можно также записать как свёртку с векторами репера (то есть с набором масштабов).

{Eij}n= – Гijk ekn

Зачем я здесь поставил минус скажу попозже. Сейчас в оправдание – я ведь сам ввожу обозначения, ну удобно мне так, почему нет? Подставим это соотношение вместо символов {Eij}n . Получится

dein= – Гijk dxj ekn.

Обратите внимание, слева стоит не вектор! И коэффициенты Гijk не тензор! Это очень важно. А теперь я перепишу всё это ещё раз по другому.

Dein= dein + Гijk dxj ekn = 0.

Это равенство справедливо в любой системе координат, для любого выбора масштабов. И заметьте, теперь слева стоит уже вектор! Равный нулю по определению. Почему? А в моей системе координат, любой мой масштаб, который я тащу с собой, для меня по определению всегда совпадает сам с собой! Это для других он может меняться, а для меня – нет. И что же это я здесь такое сложное написал? Да ничего особенного, просто формализовал допущение об изменяемости масштабов, записал это возможное изменение отнесённым к самим масштабам и, в первом приближении, как пропорциональное смещению из моей точки. Вместо самих изменений ввёл коэффициенты Гijk, которые в моей системе координат будут функцией точки и с их помощью можно связать результаты измерений в соседних точках (в других системах координат, конечно, тоже, но там коэффициенты эти будут другими функциями). Вот поэтому математики и назвали эту структуру связностью, а Гijk коэффициентами аффинной (линейной по смещению) связности. Ещё вы можете встретиться с тем, что их называют символами Кристоффеля. Но это название обычно применяют только в частном случае Римановых пространств.

Ну вот, наконец предмет этой статьи перед вами. Обсудим теперь, что ещё можно сказать о связности, помимо уже сказанного. И почему это такая важная структура для пространства времени.

Физический смысл связности достаточно ясен из самого способа определения коэффициентов связности. Это скорости относительных изменений объектов, выбранных в данной процедуре измерений в качестве единиц при переходе от точки к точке в описываемом пространстве. Это не тензор, но более общий геометрический объект. Как преобразуются его компоненты при переходе к другим системам координат чрезвычайно важно для математики (да и для физики тоже), но здесь нам знать этого не требуется. Важно лишь понимать, что в другой системе координат коэффициенты связности будут представлять собой тоже скорости относительных изменений объектов, но других, а именно тех, которые являются единицами в новой процедуре измерений. У связности есть и другой, более привычный для физиков смысл. С точки зрения физики, связность представляет собой не что иное, как комплекс потенциалов единого физического поля. Но сейчас я не собираюсь заострять на этом внимание. Остановлюсь более подробно на том, что же даёт наличие связности для математики (и, как следствие, для физики тоже).

Пространства, в которых в каждой точке определена аффинная связность (её коэффициенты как функции точки заданы в некоторой системе координат, а значит и во всех остальных тоже), называют пространствами аффинной связности. Римановы и, соответственно, евклидовы пространства являются частными случаями пространств аффинной связности. Наличие связности делает возможным ковариантным образом (то есть, с согласованными результатами для любых допустимых координат) не только производить алгебраические операции с тензорами (с результатами измерений выделенных объектов) но и дифференцировать, и даже интегрировать их. Результатами этих операций снова являются тензоры, являющиеся математическими образами результатов измерений выделенных объектов. А значит результаты операций тоже могут быть поставлены в соответствие тем или иным измеренным объектам.

С помощью аффинной связности определяется операция ковариантного или абсолютного дифференцирования тензорных величин на таких пространствах. Для указания этой операции используется символ D, в отличие от символа обычного дифференциала d. Но имеется ещё одна операция, теснейшим образом с этим связанная, которая носит название параллельного переноса векторов и иных тензоров вдоль кривой. Чаще всего аффинная связность вводится математиками именно с помощью понятия параллельного переноса. Естественно, ничего дополнительного при этом не появляется, просто немного смещается акцент изложения. Я обращал внимание на то, что изменения в компонентах масштабов измеряются самими масштабами. Но тоже самое можно выразить как отклонение масштаба в соседней (бесконечно близкой) точке от перенесённого туда параллельно самому себе масштаба из данной точки. Слова “параллельно самому себе” эквивалентны соотношению Dein= 0. Означает это, что по определению, в данной системе координат, все векторы базиса (единицы измерения, необходимые и достаточные для описания пространства) переносятся параллельно вдоль любой координатной линии, исходящей из данной точки. То есть, при смещении из точки, векторы базиса, перенесённые туда параллельно, совпадают с существующими в новой точке. Ещё это определение можно трактовать и наоборот – параллельный перенос это такой перенос, при котором переносимый вектор совпадает с существующим в точке, куда он переносится. Компонентам перенесённого вектора присваиваются значения компонент вектора, существующего в соседней точке. Определение гарантирует такое свойство в любой системе координат только для векторов базиса. Нужно ещё пояснить, что координатной является такая линия, исходящая из точки, к которой один из векторов базиса является касательным, то есть линия именно в направлении этого вектора. А вот другие векторы, существующие в данной точке, отнюдь не обязаны переноситься параллельно вдоль такой линии в любой системе координат. Но! Есть система координат, в которой заданный вектор переносится парараллельно вдоль некоторой линии (то есть его абсолютный дифференциал D вдоль всей линии равен нулю)! Это та система координат, в которой данный вектор (если он контравариантный, конечно) является одним из векторов базиса, одной из единиц измерения. А соответствующая линия является координатной. Как должно быть понятно из вышесказанного, результат параллельного переноса любого вектора зависит от пути этого переноса.

Хочу подчеркнуть одно важнейшее свойство связности. Мы записали её коэффициенты как результаты измерений изменений наших масштабов этими же масштабами. Звучит хорошо, но как проделать такие измерения? Ведь с точки зрения существования самих масштабов они поневоле остаются тождественными сами себе во все моменты своего существования! Кстати, именно это и записано соотношением Dein= 0. Мы отнюдь не закрыли глаза на эту проблему. Что же это значит? А вот что. Да, действительно, не существует возможности прямым путем, с помощью измерений самого набора масштабов, выбранного для создания текущего изображения мира в данной области установить вид связности именно в этой системе координат. Но это и не очень важно. Достаточно признать и принять во внимание, что выбранные масштабы, возможно, меняются от точки к точке. Да, в связности будет в этом смысле содержаться некоторая доля неопределённости. Но всё, что касается соотношений между измеренными величинами, будет вполне определено. Как вы понимаете, замечание это касается описания с помощью связности соотношений в реальном мире. А в мире чистой математики, которая просто изучает, какие возможности ей даёт этот инструмент, такой проблемы и вовсе нет. Считаем, что связность задана, и баста! И знаете, что забавно? Оказывается, если коэффициенты связности в пространстве известны как функции координат, то о таком пространстве известно всё!

Да, конечно, для того, чтобы описать это “всё” был развит богатейший аппарат, о котором я здесь скажу лишь несколько слов. Хотя связность и не является тензором, но порождает (из компонент связности можно сформировать с помощью алгебраических операций и/или дифференцирования) несколько очень важных тензоров. К ним относятся тензор кручения и тензор кривизны, вместе со своими свёртками. Напомню, что это означает, что некоторые свойства связности можно получить в результате измерений объектов. Дальше начинается классификация пространств по их свойствам – при таких условиях получается то, при других – это. Соответственно, пространства получают названия – эквиаффинные, Римановы, аффинные, Евклидовы… Евклидовы вам знакомы лучше всех. Чем же они характерны с точки зрения связности? А вот чем. Во первых, это такие пространства, в которых существуют особые, одинаковые во всех точках наборы масштабов. Если выбрать один из таких наборов масштабов для построения в пространстве системы координат, то такая система будет накрывать всё пространство и коэффициенты аффинной связности в ней будут всюду равны нулю! Во вторых, эти масштабы также позволяют сформировать метрику, также одинаковую во всех точках пространства! То есть, в таком (и только в таком!) пространстве и реализуется возможность иметь “хорошие” единицы измерения.

 

© Гаврюсев В.Г.
Опубликованные на сайте материалы можно использовать при соблюдении правил цитирования.


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

* Copy This Password *

* Type Or Paste Password Here *