Иерархия понятий в геометрии и физике

 Почему полезно представлять, как формируется, откуда вырастает дерево математических понятий?

Современное состояние математики и физики, которая ею пользуется, таково, что очень многие понятия появляются как бы ниоткуда, простой декларацией — вот это мы определяем так-то и так-то, принимаем такие-то аксиомы. Зачем, почему — разбирайтесь сами. А мы пойдём дальше и построим на этих аксиомах красивую теорию. В результате, в науку проникает флёр мистицизма, изложение её теряет наглядность, опору в нашем повседневном опыте. Часто становится  настолько заумным, что даже человеку, получающему образование  именно в данной области приходится принимать многие вещи просто на веру. Общим местом в этом отношении являются, например, представления о квантовой механике. Самые основы её подаются как нечто изначально противоречивое. Не старайся понять. Прими формализм на веру и не вдумывайся в смысл символов, а только вычисляй. Это всё, что тебе доступно. Прошло около ста лет с начала её создания, а воз и ныне там. Всё это имеет крайне печальные последствия как для самой науки, так и для широкой публики, лишённой какой-либо возможности сформировать соответствующее времени мировоззрение.  Поэтому нередко случается так, что некоторые научные термины выхватываются из контекста, наделяются совсем им не присущим смыслом и потом широко используются к месту и, чаще, не к месту. Например, слово “энергия” — что такое биоэнергия? Или психическая?  Или “чакры” — “вихри энергии”? А понятие поля в таком вот контексте  — “биополе”? Или понятие о количестве измерений, которое используют запросто без каких-либо измерений?  Право слово, новое средневековье. А происходит это в первую очередь из-за того, что сами учёные, которые эти понятия используют, не дают себе труда чётко и ясно их изложить. Чаще всего потому, что и сами не достигают  нужной степени чёткости и ясности в своём мировоззрении. Как говорят, ясно понято — ясно изложено. А когда самому не ясно, то и изложение оставляет желать лучшего…

Раздел “Мысли вслух” этого сайта как раз и имеет своей целью донести по-возможности до самой широкой аудитории то понимание о смысле, происхождении, роли и месте в нашем знании  математических конструкций, без употребления которых не может обойтись описание мира,  которое сформировалось у меня в процессе построения этого описания. Может быть кому-то это поможет.  Это не значит, что я собираюсь пересматривать сами аксиомы и определяемые ими понятия. Вовсе нет. Я собираюсь описать те причины, те наглядные примеры реального мира, которые обобщаются, превращаются в идеи, а уже потом эти идеи формулируются как наборы аксиом. Подчёркиваю. Примеры реального мира являются основой, порождающей идеи. Но идеи, как таковые, реализованные такими примерами, в конечном итоге им не тождественны. Более того, в большинстве случаев, особенно когда речь пойдёт о бесконечностях, потенциальной или актуальной, всякая реализация примерами реального мира выглядит лишь приближением к идеальной, к той, которая соответствовала бы формулируемой идее во всей её полноте.  Конечно, охватить всё множество математических понятий (идей) полностью не представляется возможным, слишком оно велико. Но затронуть основные, критические моменты, которые обычно подаются в неудачном на мой взгляд свете, можно попытаться.  А сама эта статья предназначена собрать  эти понятия, или хотя бы часть из них в единую систему, в дерево математических структур, вырастающее естественным образом из потребностей описания тех или иных свойств нашего мира и способов такого описания. При этом, по-необходимости, мне придётся вести две параллельных линии повествования. Одна линия — это последовательность идей, собранных в математических понятиях.  Идеи рождаются из реального мира, потом формулируются как часть описания свойств одного явления или чего-то общего для многих явлений. Но далее они получают собственную жизнь, объединяясь в новые идеи или порождая другие с помощью изменения (отрицания свойств, характеризующих идею, добавления новых и т.д.) изначального определения идеи. Причём самосогласованность и непротиворечивость новой идеи, вообще говоря, не обязательны. Формулировать (описывать) можно и идеи сколь угодно абсурдные. Однако, если речь идёт о математических понятиях, то для них самосогласованность и непротиворечивость являются обязательными. Другая линия — это последовательность примеров реализации этих идей  предметами и явлениями, наблюдаемыми нами в реальном мире. Изложение здесь во многом будет пересекаться с другими статьями, посвящёнными тому или иному упоминаемому здесь понятию. Не вижу смысла этого избегать. Лучше несколько раз повторить, чем упустить что-то полезное.

Несколько слов о том, почему я делаю упор на геометрии, а не на математике вообще, как целостной науке. Причина в том, что для меня весь мир математических идей легче осмыслить, используя конструктивный путь, на котором каждое понятие вводится как определение идеи, через описание её свойств. В конечном счёте достаточно легко видеть, что любые аксиомы являются такими определениями, часто завуалированными. Но при упоре на чистую аксиоматику как раз и теряется целостность математики, её видение распадается на совокупность различных, плохо связанных теоретических построений. При осознании того факта, что аксиомы являются всего-лишь определениями слов через описание понимаемых под этими словами, приписываемых идее свойств (требований, ограничений, доступных операций и т.д. и т.п.) общая картина резко упрощается, становится деревом с разными ветвями и общими корнями. Да и слияние и/или пересечение различных ветвей (диалектов математики) тоже при этом заметить гораздо проще. Как можно будет увидеть ниже, для меня вся математика начинается с двух базовых идей, идеи целого и идеи его части, непрерывного и дискретного, с описания их единства и различий. Причём из первой идеи вторую получить легко и просто, а вот обратный путь, как раз и порождает то самое дерево математических понятий, о котором идёт речь. А непрерывное для нас естественным образом ассоциируется именно с геометрией. Вот поэтому в заголовок и попала ссылка на геометрию.

В основе и математики, и физики лежит представление о неком элементарном, не делимом элементе — точке. Единственное свойство,   которое связывается изначально с идеей точки — это существование. Существование, никак не связанное с другими понятиями, такими, например, как время и место. Просто некий элемент есть, мыслим как единое и не делимое целое. И всё. Время и место как понятия  появятся позже. Зачем нужно это понятие в математике? Это то, с чего начинается и теория множеств, и геометрия, и теория чисел и т.д. и т.п. — короче, вся математика.

Истоками его в реальном мире являются самые разные вещи. Именно вещи, отдельные предметы, части мира легко дают наглядное представление об элементе, как предмете теории множеств, позволяют уяснить эту идею. А вот с наглядным представлением о  точке, как основном элементе геометрии сложнее. Лучшее, что можно предложить для наглядности, это процесс, набор объектов всё меньших и меньших размеров, в пределе исчезающих. Немного позже я предложу в качестве образа геометрической точки нечто иное, гораздо более естественное и, можно сказать, вполне обыденное, привычное. А сейчас хочу заострить внимание на том, что  наглядный образ точки как объекта оставляет за бортом кое-что весьма существенное для геометрии, то что составляет её суть. То, что отличает её от остальных разделов математики. Этот образ позволяет увязать геометрию с теорией множеств, рассматривать понятия геометрии как понятия, описывающие множество точек, множество элементов с некими специфическими свойствами. Но сами эти специфические свойства точки такой образ не подчёркивает, не делает наглядными. Речь о том, что геометрия это описание непрерывностей, совокупности точек, как элементов внутренне связанных, а не разобщённых. Множества точек как отдельных и, в тоже время, как целостных объектов. Именно поэтому, первая аксиоматическая теория в геометрии, геометрия Евклида, опирается (до формулирования известных пяти аксиом!) не только на понятие точки, но и на понятие непрерывной линии (прямой), и даже на понятие поверхности (плоскости). Это означает, что аксиом должно быть больше, ведь эти понятия тоже нужно формализовать. Позднее эта внутренняя связанность точек в математике стала описываться набором аксиом, которые фиксируют свойства множества точек, как целого (а значит, и самих элементов, его составляющих). И не таким уж маленьким набором. Я не буду их перечислять. Кому интересно, смотрите аксиоматику топологических пространств и многообразий. С этих, уже довольно сложных понятий начинается геометрия. Но все эти аксиомы созданы именно для того, чтобы сформулировать идею непрерывного, пользуясь терминологией, хорошо понятной для идеи дискретного. И ещё одной идеи. Идеи предела — процесса, бесконечного процесса, который полагается (иногда) завершённым. Возможность достижения такого предела необходимо принять на веру, как определение, что он существует. А основанием для веры служат такие примеры, как нити, ткани и иные вещи, которые можно делить на части, остающиеся примерами тех же самых вещей. Но для деления которых на эти части нужно приложить некие специальные усилия. Вообще говоря, это плохие примеры, т.к. нам сейчас уже хорошо известно, что любые такие вещи после некоторого конечного набора делений уже перестают быть тем, что мы начинали делить. Но представить, что нечто такое могло бы иметь место при бесконечном продолжении мы вполне можем. И в этом смысле, такие примеры достаточно удовлетворительны для формулирования самой идеи. Позже я дам иной образ неразрывного целого, базирующийся на нашем опыте. А сейчас отмечу только, что корень всех проблем в понимании явлений, которые объединяются названием “квантовая механика” находится именно здесь. Идея целостности нашего мира, неразрывной связи между всеми его частями кажется несовместимой с обнаруженным в эксперименте пределом возможности неограниченного деления этой целостности на части.

По большому счёту, для формирования геометрии, как системы понятий, помимо точки в виде дискретного элемента, составляющей множества и ведущей к понятию натурального числа, необходимо ещё только понятие непрерывной линии вместе с понятием действительного числа. При этом можно уже говорить о геометрии пространства одного измерения. Подчеркну ещё раз. Понятие линии как непрерывности самостоятельно, отдельно от понятия точки. Оно в некотором смысле более фундаментально, т.к. легко позволяет сформулировать и понятие точки. Например, делим линию на два куска и каждый называем точкой. Делим эти куски снова, и опять можем назвать новые части точками. И так далее. Это будут разные реализации дискретного с помощью непрерывного. Конечно, этот пример ограниченный и позволяет далее говорить только о множествах кусков, а не о геометрии линии. С другой стороны, он даёт представление об обратном  процессе, о формировании линии из точек. Однако этот обратный процесс весьма не прост, он требует описания множества специальных свойств, необходимых точкам, чтобы результатом стала именно непрерывная линия. Сложность эта как раз и проистекает из самостоятельности понятия непрерывности, его изначальной независимости от понятия отдельного элемента, точки. Поэтому и нужно вычленить и описать все необходимые свойства точек, которые делают их элементами именно непрерывного множества. А то, что такие свойства  должно быть возможно сформулировать следует из возможности определить точки как части целого. Эти свойства и описываются некоторым набором аксиом (определений свойств точек как элементов множеств). Как я уже говорил выше,  аксиомы создают мостик от дискретного к непрерывному. Но с точки зрения физики всю эту сложную словесную конструкцию можно передать довольно простым образом, высвечивающим саму суть идеи непрерывности. Непрерывная линия это  множество сцепленных концами кусочков (сцепленные означает что конечные точки кусочков принадлежат сразу двум кусочкам, отрезкам),  всегда имеющих какой-то размер. Если мы вообразим, что кусочки можно бесконечно делить, так что размер в результате завершения этого бесконечного процесса становится равным нулю строго, такой вот последний кусочек мы и называем точкой.  Отметим, что поскольку все доступные нам процессы деления конечны, то при применении этих идей для описания непрерывного реального мира мы по-необходимости ассоциируем с точками самые разные предметы и, таким образом, формируем приближённые описания реального мира. Но в математику, как язык чистых идей, мы помещаем именно воображаемое идеальное понятие о точке как  элементе непрерывности, не имеющем размера. При этом в математике такие точки, составляющие непрерывную линию, по определению одинаковы. Эта одинаковость может быть нарушена, если некоторым точкам приписываются особые, дополнительные метки, не разрушающие непрерывности как таковой. Такая идея нам тоже вполне понятна — например, нитка с узелками. Такие особые точки можно пометить также целыми числами. В этом смысле, линия с особыми точками реализует вложение целых чисел в действительные. Кроме того, если представление о точке, как отрезке с нулевым размером требует определённого напряжения, то представление о неких особых точках, неделимых далее по тем или иным причинам, однако остающихся всегда связанными, сцепленными в последовательность, гораздо легче воспринимается нашим разумом. В конечном итоге, именно эта идея, идея множества элементарных событий, собранных в последовательность причин и следствий, и стала для меня основой понимания как физики, так и математики. Событие, которое мы не можем никакими средствами представить как объединение других событий является для нас предельным, неделимым, элементарным. Вот такое событие мы ассоциируем с математическим понятием не имеющей размеров точки. И это самое последнее доступное нам приближение. Да, такой образ точки годится отнюдь не для всех точек непрерывности, которую мы называем “наш мир”. Но это всё что нам доступно и приходится с этим считаться.

Сейчас я хочу остановиться на одном важнейшем свойстве приведённых выше примеров, которое при изложении идей в математике всегда упускается из виду. Обратите внимание, на присутствие слова “размер. Слово это ведь никак не определяется, его значение полагается очевидным. Значит за сценой осталось кое-что важное. А именно, за сценой осталось понятие “измерение“. И не случайно речь уже пошла о геометрии пространства одного измерения. Но тогда и это понятие нужно чётко определить. Однако математика не предлагает пока никаких явных определений для измерения, хотя вовсю им пользуется. На самом деле, как только речь пошла о числах, то за их спиной всегда стоит измерение. Даже если это числа натуральные.

Я не буду пытаться придумать систему аксиом для понятия “измерение”.  Любые наборы аксиом можно рассматривать как перечисление свойств определяемого понятия. Поэтому, так же, как и для понятия “элемент”, “точка”, я перечислю свойства, объединённые в этом понятии:

  • Измерение — это процедура, действие (набор действий, операций), а не предмет. Процедура эта безусловно является предметом физики, как образа реального мира. В математике она в большинстве случаев остаётся вне её системы понятий, по-крайней мере сегодня. С одной стороны это полезно, так как позволяет оперировать уже сформулированными идеями не заботясь об их основаниях. С другой стороны, забвение оснований обедняет саму математику, да и затрудняет её применение в науке.
  • Эта процедура включает в себя несколько составляющих, часть из которых присутствует всегда, а другая часть может и не применяться. Причём можно добавлять к ранее перечисленным новые свойства, которые уточняют процедуру измерения. Таким образом понятие это тоже представляет собой некоторую иерархию понятий, не обязательно последовательно вложенных (эта иерархия может на определённых этапах ветвиться как дерево). Общими для иерархии являются составляющие, имеющиеся всегда :
  1.  Любая процедура измерения начинается с выбора единицы измерения. Примеры: камень, человек, любой предмет (т.е. элемент, точка уже как математическое понятие) или предмет, обладающий некоторыми конкретными свойствами, например, “размером”, “величиной”.
  2. Ещё один обязательный элемент в процедуре измерения — сравнение того, что измеряется с единицей измерения, которую ещё называют масштабом.

Результаты сравнения отображаются элементами специального множества, множества чисел. В простейшем случае измерения сравнение производится по определяющему масштаб признаку — совпадает/не совпадает. Результат — натуральное число. 1, 2, 3, 4 камня. 10 предметов. Просто 10 или просто 1 это всего лишь символы, не числа. Числами эти символы становятся тогда, когда, хотя бы неявно, мы полагаем их результатами подсчёта чего-нибудь. Счёт — уже процедура измерения. Простейшая, да. Но вполне нам понятная, обычная для реального мира. Однако, математика постаралась оставить происхождение чисел за кадром и сосредоточилась на операциях с  ними. Для операций с числами не существенно, что это числа камней или произвольных предметов. Результаты будут верны для любых использованных при формировании чисел масштабов, лишь бы они были получены одной и той же процедурой измерения.  И когда мы потом оперируем с числами мы молчаливо это предполагаем. Если вы хотите знать, сколько у вас будет гостей в доме, вы будете считать именно людей к вам пришедших, а не смешивать в кучу для счёта  что попало — людей, зонтики, шляпы… В этой отстранённости от конкретики, “всеобщей” применимости математики чисел сосредоточена её огромная мощь. Но в ней же сосредоточена её слабость,  если забывают о том,  что операции с числами должны всё же учитывать их происхождение.

Кстати, процедуру счёта мы не склонны считать измерением не только в науке, но и в обыденной жизни тоже. Измерение для нас это, в первую очередь, измерение длины (ширины, высоты), потом, может быть, взвешивание и измерение объёма. Ну и измерение времени — день, ночь, сутки, год. Последнее стоит немного особняком, т.к. сравнение с масштабом здесь не совсем очевидно. Кроме того, теперь достаточно обыденными стали и многие другие измерения — давление, напряжение в сети, сила звука и многое другое. Тем не менее, процедура счёта всегда является процедурой измерения в её самом базовом  варианте. Так что такие разделы математики, как теория чисел, теория множеств и другие с ними связанные имеют свои корни в этой простейшей, но всё-таки процедуре измерения. Однако, геометрия как способ описания  непрерывностей  порождается более сложными процедурами измерения.

Важнейшим свойством чисел, появляющихся в результате процедур измерения является их размерность. Размерностью является название масштаба, той единицы измерения, в результате сравнения с которой были получены эти числа. Хочу подчеркнуть — этот факт полностью игнорируется современной математикой, которая работает только с “голыми” числами. А вот физика этого сделать не может в принципе. И многие проблемы сегодняшней физики, если не все, порождены этой совершенно не оправданной абстрактностью математики. Ниже я вернусь к проблеме размерностей математических объектов подробнее. Сейчас немного больше внимания уделим описанию самих процедур измерения.

Остановимся  на измерении длины. Это одно из основных измерений, к которому можно свести все остальные (кроме измерения времени и счёта фактов событий, например счётчиком Гейгера; последний тип измерений сводится к базовой процедуре счёта). Действительно, все остальные измерения так или иначе сводятся к считыванию показаний со шкалы с нанесёнными на неё делениями. А что это, если не измерение длины?

В простейшем варианте измерение длины тоже ограничивается двумя первыми составляющими процедуры измерения. Только единица измерения при этом обязана иметь одно специфическое свойство — “размер”, “величину” или “длину”. Именно по этому свойству производится сравнение всех остальных частей мира с самой единицей измерения. Все остальные свойства частей мира игнорируются. Единица измерения (масштаб) при этом всегда рассматривается как кусочек, часть непрерывности, совокупность двух не совпадающих но связанных точек. Для геометрии измерение длины, или  расстояния между  точками стало основой одной из фундаментальных идей, позволяющих описывать непрерывности как множества отдельных точек. Речь идёт об идее системы координат. Эта идея является  завершающей в определении понятия “многообразие“, именно добавление этой идеи превращает понятие “топологическое пространство” в понятие “многообразие”. На самом деле, и понятие топологического пространства в определённой степени (через понятие окрестности точки) уже связано с понятием измерения. Мне не хочется детально обсуждать все эти аксиомы. Скажу только, что в них сведено всё то, что отличает непрерывное от дискретного и вычленены эти понятия из понятия о числовой прямой. Слово “прямая” здесь не существенно, можно было бы сказать о непрерывной линии, точкам которой поставлены в соответствие действительные числа. Стандартный способ изложения математики останавливается здесь. “Некоторому множеству поставлены в соответствие действительные числа”. Один набор или несколько. Как это сделано — математиков не волнует. Это аксиома, принимаемая без доказательства и без конструктивного описания способа реализации такого соответствия. Ясно, что такой подход имеет право на существование. Более того, он очень эффективен при игре ума с различными идеями. Вот только чтобы потом извлечь из этой игры пользу требуется для каждой из положенных в основание конструкции  идей найти  хотя бы приближённую реализацию её в реальном мире. А  в реальном мире вот это вот соответствие  может быть осуществлено только  с помощью процедуры измерения. Даже если вы просто расставите метки на линии на произвольных расстояниях друг от друга и назовёте их “0”, “1”,”2″ и т.д., вы этим уже реализуете некую процедуру измерения. В которой единица измерения может меняться от точки к точке. И действительные числа представляют собой не что иное, как систему координат. Раздел математики “топология” не интересуется разметкой, а только сохранением порядка, самой непрерывности. Поэтому прямой акцент на систему координат делается уже в следующем понятии, понятии многообразия. Обычно говорят, что многообразие это топологическое (непрерывное) пространство, которое вблизи точки ведёт себя как евклидово пространство в части наличия системы координат. Опора на евклидово пространство делается для общности, для допущения произвольного числа измерений. А само понятие можно начать формировать с одного измерения (не с нуля измерений!), с числовой прямой. При этом математика саму числовую прямую как предмет геометрии предпочитает не рассматривать, а выделяет эти вопросы в отдельный раздел, теорию чисел.  В школе геометрию начинают учить с двух измерений, с геометрии плоскости. Причина проста — без выхода в два измерения невозможно сформулировать идею прямой линии, которая является одним из основных понятий геометрии Евклида.   Однако, в той иерархии идей, которая внесена в геометрию описанием свойств процедур измерения, большую часть  можно легко увидеть уже для одномерного случая, для просто линии, как единой совокупности точек. Этот же случай лежит в основании реализации геометрических идей примерами из физики, из реального мира. Причём это для физики существенно. Поэтому я пока и сосредоточусь на обсуждении свойств одномерной системы координат (и процедур измерения, её порождающих).

  • При организации соответствия “точка линии — действительное число” с помощью процедуры измерения к её описанию нужно добавить ещё четыре элемента, четыре свойства , не обязательные для процедуры счёта:
  1. Выбор точки, от которой будут измеряться расстояния, т.е. выбор начала отсчёта, той точки, которой будет приписано число (расстояние) “нуль”.
  2. Выбор свойства единицы измерения, масштаба, которому приписывается размер, величина равная единице. Для линии масштабом выбирается совокупность двух точек, обязательно отделимых друг от друга (т.е. имеющих не пересекающиеся окрестности), которые ещё называют отрезком линии. Одна точка (с нулевым размером) масштабом быть не может.
  3. Масштаб полагается имеющимся, существующим в каждой точке. Здесь уже заложено определённое противоречие — с одной стороны, масштаб это расстояние между двумя разными точками, с другой он сосредоточен в единственной точке. На стадии многообразия как некой совокупности идей математика (и физика) это противоречие может разрешить только признанием чуждости масштаба самой линии. Он является внешним, дополнительным элементом к линии. Его две точки, определяющие единицу, не являются элементами линии. Линейка, которой мы что-то измеряем всегда отделена от того, что мы измеряем. Такое свойство масштаба можно (и нужно!) рассматривать как аксиому.  Однако, если мы хотим определить масштаб только из внутренних свойств линии (а это представляется весьма естественным), то иметь противоречие в основах нетерпимо. Это противоречие можно разрешить, но для этого нужно расширить совокупность идей, перейти от понятия многообразия к другому понятию, понятию пространства со связностью и даже ещё дальше, к понятию расслоенного пространства. Что это за понятия, мы обсудим позже.
  4. Выбирается направление, в котором точкам в качестве координат приписываются положительные числа (естественно, при этом определяется и  отрицательное направление). Направление это оказывается присущим не только точкам линии, которые описываются (оцифровываются, перечисляются, арифметизируются). Оно также становится и вторым (после величины) свойством масштаба, т.к. и две определяющие масштаб точки становятся упорядоченными — начало и конец, нуль и единица. Таким образом, уже в одномерном случае, масштаб обладает двумя свойствами — величиной и направлением. Хотя направление масштаба редуцировано до  соотношения порядка, а направление в одномерном пространстве редуцировано до знака получившейся координаты.

Для различения понятия многообразия от следующего за ним в иерархии геометрических построений понятия пространства, снабжённого связностью (в общепринятом жаргоне только такие геометрические множества и называют пространствами) важно, что к каждой точке многообразия приписана существующая (в математическом смысле, вне времени, а просто “есть, имеется”) в ней единица измерения, масштаб. И он по определению равен 1 (его величина) везде. И, по определению, никакого иного сравнения между масштабами в разных точках не производится. Они, и результаты измерения, полученные с их помощью, в разных точках никак не связаны.

Подчёркиваю, это описание идей. А как эти идеи реализуются реальными примерами, что очень важно, я буду обсуждать ниже.  Полезно также поговорить о смысле слова “координата”. Происходит оно от идеи порядка. “Ordo” по латински. Т.е. точки подразумеваются упорядоченными. “Ко” это “общий”, “совместный” порядок. Точки помечены (описаны) такими символами (числами), которые позволяют сохранять их порядок при любом таком описании. Точки различимы, но  описываются своими ярлыками не отдельно друг от друга, а все вместе, как совокупность, система. В этом смысл понятия “система координат”.

Ещё полезно отметить, что  уже описанные  идеи могут рассматриваться как корневые, порождающие  очень многие разделы математики, переплетающиеся с геометрией, но также и независимые от неё, допускающие самостоятельное развитие.  Это не значит, что эти разделы имеют только эти корни, в том смысле, что их (разделы математики) можно взращивать (хотя и не в полной мере!) и на основе идей чистого дискретного. Но  корней появляющихся при формулировании геометрических понятий оказывается достаточно для роста, формулирования всех таких разделов уже во всей их полноте.

Например, это теории отображений, преобразований координат и функций. Здесь возникают также непрерывные группы и их представления.  Алгебра матриц. И многое другое. Как это происходит?

Точкам можно поставить в соответствие числа разными способами. Какие имеются степени свободы в выборе этих способов? Одна очевидная степень свободы это выбор начала отсчёта. Смещение нуля вдоль линии. Сдвиг. На произвольное расстояние. Каждое число, соответствующее какой либо точке при этом меняется. А именно, увеличивается или уменьшается на величину сдвига.

Здесь 2 отображенияточки в другую точку и числа, соответствующего точке в другое число, связанное с той же самой точкой.

Здесь уже есть и функция (постоянная в простейшем случае), величина изменения координаты точки при переходе к новому способу приписывать им координаты.

Здесь преобразования координат, как функции новых координат от старых, и старых координат от новых.

Здесь несколько групп (определяемых как совокупность множества элементов и одной операции, которой можно подвергать эти элементы так, что они остаются в том же множестве и удовлетворяющей некоторым дополнительным условиям), у которых групповой операцией является сложение. Базовая группа, группа процедур измерений, отличающихся выбором начала отсчёта. Эта  группа, как понятие больше принадлежит  физике, а не математике в чистом виде (математика старается оставлять это понятие неявным, вне своего рассмотрения). Впрочем, здесь я явным образом допускаю некоторое несоответствие моего жаргона точному математическому понятию группы. Однако, для “группы” процедур измерений в математике нет подходящего точного понятия, потому, что математика процедурами измерений никогда по-настоящему и не занималась. Так что прошу меня за этот жаргон простить.Группа” соответствующих этим процедурам систем координат. Группа преобразований от одних координат к другим. А вот это уже настоящая группа, без кавычек. Группа матриц (здесь вырожденных в единственное число в таблице, вследствие ограничения рассмотрения единственным измерением), описывающих эти преобразования. А вот эту группу можно рассматривать и забыв о том, что это преобразования. Просто группа действительных чисел (или матриц) по сложению. Последнее свойство, возможность абстрагироваться от происхождения, делает матричные группы преобразований (в общем случае непрерывные) ключевым инструментом для теории групп и их представлений. А представлением группы можно назвать любую из выше перечисленных групп. Именно связь между всеми такими группами формирует идею о различных представлениях одной и той же группы. И так далее.

Ещё здесь сразу определяется одно чрезвычайно важное понятие — понятие вектора. Ведь масштаб, существующий в единственной (любой) точке, дополнительное её свойство, это очень специфический объект, требующий отдельного своего рассмотрения и точного формулирования как идея.  Вспомните, ведь масштаб, приписанный точке уже имеет два свойства сразу — величину (размер) и направление. При увеличении количества измерений в данной точке появляются (определяются как существующие) дополнительные масштабы, различающиеся направлением, и, может быть, и размером тоже. Кроме того, отсюда же лежит путь и к такому понятию, как метрика. Хотя истоки этого понятия заложены уже здесь (вспомните — единица измерения для линии определяется как расстояние между двумя её точками), полноценная  его формулировка возможна лишь для пространств, в которых определена связность — связь между масштабами в разных точках. По той простейшей причине, что речь в понятии метрики идёт именно о двух точках (даже в случае их бесконечной близости). К этим двум направлениям развития иерархии геометрических понятий мы ещё вернёмся, а пока остановимся немного подробнее на понятии группы.

Идея группы, которая рождается из возможности по-разному выбирать процедуру измерения является  одной из центральных для физики (и для математики тоже, конечно). И рождается она здесь, в самом начале, при создании описания непрерывности ярлыками, позволяющими и различать её элементы, точки, и сохранять их единство,  упорядоченность, связи между ними. Системы координат и являются такими ярлыками (наборами, множествами ярлыков). А процедуры измерений являются тем средством, которое позволяет создавать эти ярлыки, числа. И очень многие понятия, в физике, как описании мира (практически все)  имеют своим источником свойства процедур измерений. Но при этом не забывайте, что сами процедуры измерения в физике (да и в математике тоже) должны иметь примеры реализации в реальном мире, а не быть просто придуманной идеей. Вообще-то, идею группы можно сформулировать уже после определения понятия множества — множество с одной заданной операцией, не выводящей элементы из него и некоторыми дополнительными свойствами элементов (бинарность операции, существование нейтрального и обратных по отношению к операции элементов).  Но на этом уровне могут рассматриваться только дискретные группы. Здесь же понятие группы расширяется на геометрию (теорию непрерывностей), с его помощью становится возможным рассматривать сами геометрические конструкции, пространства именно с точки зрения тех свойств, которые охватываются понятием группы. Но и обратное тоже верно, групповые свойства становится возможным рассматривать методами, разработанными для геометрии, теории функций, отображений и т.д.  На этом пути была разработана теория непрерывных групп Ли, как пространств некоторого числа измерений (числа параметров группы, которые используются в качестве координат на группе, рассматриваемой как целостность, непрерывность, т.е. как геометрическое пространство). По сути дела, при описании групповых свойств снова был использован метод описания  элементов группы с помощью  координат. А в основе такой возможности лежит понимание того, что переход от одной процедуры измерения (пересчёт координат) осуществим только измерением же одних масштабов другими. К непрерывным группам относятся почти все “группы” процедур измерений и их представления, т.к. почти все параметры, характеризующие процедуру измерения (это параметры, характеризующие положение начала отсчёта и описывающие масштабы, т.е. их величины и направления) можно по-определению изменять непрерывно.  Исключение составляют только группы по изменению знака координат, изменению направления их положительного отсчёта на противоположное. Это дискретные группы. Однако, иногда, при выполнении ряда условий, и эти группы могут быть включены в непрерывные как частный случай. В том смысле, что переход между элементами группы, имеющими противоположные направления можно иногда осуществить и с помощью непрерывного изменения направлений, а не только изменением знака чисел.

Для фундаментальной физики понятие группы является фундаментальным вот почему. Группы процедур измерений (далее я опускаю кавычки, в первую очередь потому, что почти всегда речь пойдёт о возможных преобразованиях, переходах между процедурами измерений, которые как раз в точности и являются группами) естественным образом распадаются на подгруппы, которые выделяются тем, что некоторый набор параметров процедуры фиксируется, а изменяются только оставшиеся (один или несколько). Например, группа сдвигов начала координат вполне самостоятельна, хотя и входит органически в полную группу преобразований процедур измерений (и преобразований координат тоже). Эта группа преобразований доступна нам во всей её полноте, безо всяких ограничений. Так может ли зависеть создаваемое нами описание от выбора начала координат и его сдвигов? Может, конечно. Но! Зависимость эта такого сорта, что мы обязаны её рассматривать как не меняющую существа описания, не меняющую идентичность того, что мы описываем. Все  отличия в числовом описании свойства точки (или более сложной части мира), обусловленные различием в выборе начала отсчёта нам нужно интерпретировать как единое представление  этого свойства (с разных точек зрения).

А теперь вопрос. Мы обсуждали здесь идеи. В том числе, идею процедуры измерений. Уверены ли вы, что все наши идеи реализуемы безо всяких ограничений предметами или действиями в реальном мире?  В первую очередь, именно все ли желаемые  процедуры измерений? Должен вас огорчить, если вы уверены. Много раз я обращал внимание на то, что само понятие непрерывности, в той форме как мы его описали (как идею), включает в себя представление об актуальной бесконечности, достигнутом пределе бесконечного процесса деления. Да, реальный мир даёт нам массу примеров доказательства, что такой предел существует (хотя бы иногда). Вот только реализовать практически бесконечную процедуру мы не можем, и не сможем никогда. Это естественное ограничение. На что? Во-первых, на наши возможности описать мир точно и взаимно однозначно (чтобы каждый элемент в описании соответствовал одному и только одному элементу реального мира и исчерпывал мир полностью). Во-вторых, на наши возможности реализовать все те процедуры измерений, необходимые для такого описания мира, идеи которого мы сформулировали (как целостный, непрерывный объект). А значит, среди группы всех этих процедур измерений (систем координат, преобразований координат) естественным образом выделяются те подгруппы, которые мы можем реализовать в полном объёме и те,  которые мы можем реализовать лишь приблизительно или совсем не можем. Из этого следует, что представления  тех подгрупп, которые мы можем реализовать полностью, мы должны рассматривать как взгляд на некое одно свойство точки мира с разных точек зрения. А вот если для перехода от одного такого представления к другому придётся использовать преобразование нам не доступное, то выглядеть для нас эти два представления будут как разные объекты. Многие наверное слышали, что элементарные частицы сегодня описываются как представления различных групп — группы Пуанкаре, разных унитарных групп. Вот отсюда происходит это описание. Какие бы экзотические структуры мы не приписывали бы элементам (точкам) мира, сами точки, как элементы целостности, непрерывности, мы описываем с помощью координат, которые получаем, применяя к миру процедуры измерения. Все наши измерительные приборы, по-необходимости, привязаны к массивным телам, существующим во времени (хотя бы к нам самим). Мы можем менять параметры этих приборов. Но часто существуют объективные ограничения (а некоторые из этих ограничений имеются всегда), отменить которые мы не можем, хотя идеи наши легко выходят за эти ограничения. Поэтому любые используемые нами структуры распадаются на представления тех групп преобразований, которые в каждой описываемой нами ситуации соответствуют доступным для этой ситуации процедурам измерений. Хотя с точки зрения более широких групп всех мыслимых преобразований, эти разные представления, разные объекты могут объединяться в одно представление единственного объекта.

Примеры ограничений.

  Часть ограничений искусственная, обязанная своим существованием нашему выбору, соображениям удобства. Страны англоязычные используют футы, а остальные метры. Из-за этих предпочтений возникают разные представления описаний мира — в футах или в метрах.  Но можно измерить одно другим и пересчитать. Это переход к более широкой группе преобразований, к более широкой группе процедур измерений. Разные представления размера тел или расстояний можно соотнести и понять, что речь идёт об одном и том же. Также дело обстоит и с мерами веса и прочего.

Ограничения также могут быть вполне объективными, вызванными определёнными обстоятельствами, однако при иных обстоятельствах их можно избежать. Так, в случае картографии все процедуры измерения по-необходимости имеют два масштаба, обязательно  находящиеся в описываемой поверхности. А при навигации полётов все три направления в пространстве практически равноправны.

Есть и абсолютные ограничения, через которые нам перешагнуть невозможно. Идея изменения направления течения времени (последовательности событий, одни из которых являются причинами для других) нам доступна вполне. Вот только реализовать такие процедуры измерения, в которых причины меняются местами со следствиями никто из нас не может. О тех ограничениях, которые ведут к необходимости описывать наш мир локально псевдоевклидовым пространством можно прочитать в соответствующей статье.

Перейдём теперь к обсуждению понятия вектора, которое лежит в основе огромной ветви математики. Также как и для понятий множества и группы,  уточнение тех или иных специфических свойств в идее вектора приводит к её разным применениям, расстановке разных акцентов в этих применениях, но при этом само понятие, его базовые черты становятся объединяющими для очень разных ветвей математики, позволяют видеть их единство. Какие же черты в понятии вектора можно определить как базовые? Исходной посылкой в понятии вектора является абсолютизация некоторых свойств одной из базовых составляющих процедуры измерения, свойств масштаба. Точнее, акцентирование внимания только на определённых его свойствах.

Чтобы служить “хорошей” единицей измерения в быту, всякий масштаб должен быть всегда под рукой (т.е. существовать всюду, где он потребуется) и быть неизменным, одинаковым, тождественным самому себе, опять же повсюду. Эти свойства в быту (т.е. при практическом проведении любых измерений в реальном мире) воспринимаются как данность. В математике эта данность формирует идею такого не зависящего ни от чего, абсолютизированного масштаба. Точнее, идею множества таких масштабов, так как бытовой данностью является также и понимание, что выбрать в качестве масштаба мы имеем возможность много разных (но сходных по требуемым качествам) объектов. При одномерной геометрии, когда масштаб выбирается всего один, его базовые свойства ещё не высвечиваются во всей полноте. Эта полнота достигается уже в геометрии двух измерений. Развитие идеи идёт и далее при увеличении числа измерений, но в количественном смысле. Все качественные свойства масштаба, как абсолютизированной сущности (идеи), можно хорошо увидеть уже для двух измерений, двух одновременно используемых масштабов. В этом смысле два это уже много, достаточно для того, чтобы сформулировать нужные идеи ясным образом. Число два не случайно. Оно находится в однозначном соответствии с двумя взаимосвязанными свойствами масштаба — величиной и направлением. Оба эти свойства неотделимы от самого понятия масштаба, как совокупности двух связанных упорядоченных  элементов, точек, концов масштаба. Когда таких масштабов для описания непрерывности используется именно два, оба эти свойства проявляются в полной мере. Кроме того, и при увеличении числа измерений рассматриваемых пространств, их двумерные подпространства и двумерные подгруппы преобразований оказываются самыми эффективными средствами описания всех свойств пространств.

Понятие вектора как таковое, во всей его полноте появляется тогда, когда масштаб становится явно направленным, когда его концы (а масштаб в геометрии всегда обладает размером, а значит даже в одномерном случае это отрезок линии и имеет два конца) делаются неравноправными. Казалось бы, определение направления, осуществляемое с помощью установления порядка среди пар точек соответствует не самому масштабу, а той непрерывности, которая оцифровывается (приобретает метки, координаты) с помощью этого масштаба. Но! Всякий масштаб в геометрии это кусочек той самой непрерывности (ну или какой-то другой, но непрерывности), связной целостности. Поэтому добавление понятия направления именно к определению масштаба даётся нам чрезвычайно легко и естественно. Однако не до конца. И вот почему. Самые очевидные для нас примеры масштабов это линейки. И нам привычно обращаться с ними при измерениях поворачивая их как требуется. При этом направление выглядит свойством внешним для масштаба, ему не присущим. Замечу однако, что даже здесь оно неявно остаётся. Ведь поворачивая линейку мы всё-таки с одной точкой совмещаем на ней нулевую отметку, а потом считываем результаты измерения. Вот вам и направление, внутренне присущее именно линейке как масштабу.  А в случае измерения времени вопроса и вовсе нет. Только набор событий, жёстко организованных по направлению, в последовательность из прошлого в будущее доступен нам в качестве основы наших масштабов времени. Направление изначально встроено в масштаб времени.  А поскольку в реальности все наши измерения в геометрии, включая и измерения линейками, базируются на измерении времени (см. статью о псевдоевклидовости), то масштаб в геометрии всегда имеет два свойства — размер и направление. И именно он является главным примером вектора. Не даром при начальном изучении этого понятия опираются на представление о направленном отрезке, получившем специальное название, радиус-вектор.

Посмотрим теперь на свойства масштабов, способы описания этих свойств немножко с другой точки зрения. Вспомним, что вся совокупность процедур измерения образует группу. Операцией, формирующей множество всех (или части) возможных процедур измерений является собственно измерение, сравнение масштабов одной процедуры с масштабами другой процедуры. Сравнений таких для каждого из масштабов имеется ровно столько, сколько масштабов входит в процедуру измерения. Пусть это количество обозначено числом n. Это ничто иное, как число измерений  той непрерывности, для описания которой эти процедуры и служат. Подчеркнём: помимо самой непрерывности, мы можем измерять и масштабы к ней приписанные. Каждый масштаб тоже получает описание с помощью n чисел, компонент масштаба. Эти компоненты тоже принято иногда называть координатами. Но уже не координатами точек непрерывности, а координатами объекта (масштаба), ассоциированного с данной (а часто и с каждой) точкой этой непрерывности. При измерении каждого из масштабов данной процедуры измерения масштабами этой же самой процедуры, наборы компонент, описывающие их оказываются весьма простыми — это все нули, кроме результата измерения масштаба самим собой. А результат этот, очевидно равен всегда единице. А вот при измерении масштабами из другой процедуры компоненты могут быть достаточно произвольными. Рассмотрим ситуацию, когда масштабы одной какой-то фиксированной процедуры измерения измерены двумя другими, в общем случае разными, наборами масштабов. Из двух  наборов компонент можно построить, сформировать два набора коэффициентов пересчёта этих компонент друг в друга. Эти коэффициенты пересчёта обычно удобно организовывать в виде таблиц, в которых строки имеют номер масштаба из первой процедуры измерений, а столбцы — номер масштаба из второй процедуры. Такие таблицы называют матрицами. Да и сами наборы координат масштабов удобно организовывать по тому же принципу — в виде столбцов или строк, в которых номер компоненты совпадает с номером масштаба, сравнение с которым и дало её значение. Столбцы и строки тоже называют матрицами, как вообще любые таблицы, организованные в таком виде. Наши коэффициенты пересчёта являются матрицами одного специального вида. В них всегда число строк и столбцов совпадает, если число масштабов в разных процедурах измерений одно и тоже. Из изучения (описания, перечисления) возможных свойств матриц вырастает огромное количество ветвей математики, её понятий, которые объединяют разные такие ветви общим корнем. Одним из таких понятий является понятие линейной независимости (или зависимости) между столбцами и строками. Которое имеет своё представление и в теории поиска решений уравнений и систем уравнений, и в теории преобразований, и в теории самих матриц, и в  теории векторов и векторных пространств. И, конечно, в теории непрерывных пространств как таковых. С этим понятием неразрывно связано и само понятие количества, числа измерений любого пространства.  Вырастает это понятие из анализа возможности или невозможности измерить один набор масштабов другим. Пока для организации процедуры измерений достаточно единственного масштаба всё вроде просто — все таблицы, связывающие разные масштабы, сводятся к единственному числу. Это число для группы масштабов характеризует попарные отношения их величин. Когда группа сведена до единственного вектора, то это просто его величина. Есть ли на это число ограничения? Да, есть! По самому своему смыслу оно не может быть нулём. При увеличении количества необходимых масштабов (n, числа измерений математического пространства) это ограничение перемещается на требование (аксиому!) линейной независимости координат ровно n масштабов, собранных в квадратную матрицу, сопровождаемое требованием обязательной линейной зависимости любых n+1 масштабов. И на такое же требование применительно к матрицам, связывающим любую пару таких разных наборов масштабов. Формулировка этого требования приводит к рассмотрению определителей матриц преобразований координат и объёмов (в общем смысле, включая  величину единственного вектора и площадь как свойство пары векторов), как необходимых, естественных свойств набора масштабов, взятого как единое целое.

Легко видеть, что введённое таким образом понятие вектора опирается на идею объединения в единое целое нескольких чисел (координат вектора), ну и на две операции с этими числами — покомпонентное сложение и умножение всех компонент сразу на число. Плюс идея линейной независимости, как фиксатор конкретного числа координат (компонент) вектора, фиксатор необходимого и достаточного для описания данной непрерывности числа векторов (базиса или репера в пространстве)  и фиксатор допустимой не единственности таких базисов. Именно эти свойства и формулируются  в виде аксиом в математике векторных пространств (часто уточняется — линейных векторных пространств, поскольку в основу кладутся только линейные операции с векторами — сложение и умножение на число). Только обычно связь этих аксиом со свойствами процедур измерения остаётся за кадром в математических курсах. Однако, нередко можно встретить такие курсы   векторной алгебры (в остальном часто весьма хорошие!), в которых изложение начинается с определения вектора как разложения по базису. При этом определение базиса полагается само собой разумеющимся. Более того, именно такой подход даётся обычно в первую очередь, и в обычной школе, и в высшей. Этим закладывается колоссальная проблема и для математики, и для физики.

Само по себе такое изложение не создавало бы проблем, если бы в качестве элемента базиса, отдельного орта,  рассматривался просто частный случай вектора, имеющего единственную единичную компоненту и все остальные компоненты равными нулю. Т.е. сначала определяется заданное число (фактически, число измерений) векторов частного вида и потом с их помощью доопределяются векторы общего вида. Но стандартным является совершенно другой способ, через скалярное произведение любого вектора с непонятно как определёнными ортами, которое называют проекцией на данный орт (на данное направление). Для того, чтобы разобраться, что здесь я вижу плохого, потребуется обсудить такие понятия, как инвариантые величины, удельные (геометрические) величины, коэффициенты пересчёта, связывающие координаты, полученные разными процедурами измерения (преобразования координат), сопряжённые векторы и возникающие при этом соотношения размерностей.

Начнём с последнего. Я уже упоминал, что числа, полученные в результате измерений естественным образом имеют размерности — нужно указывать, какой именно единицей проводилось измерение. Например, координата точки по оси х равна 1. Что это значит? Расстояние от точки, помеченной как нуль, начало координат, до данной равно 1. Но чего? Метров, дюймов, аршин, сантиметров? А может футов? Для математических соотношений это не важно? Так думает сегодня большинство. И ошибается. Чтобы для математических соотношений (между числами) было не важно, какие единицы измерения приняты при арифметизации некоторой целостности, непрерывности на эти соотношения накладывается требование их ковариантности. Т.е. только ковариантные соотношения имеют право на существование и никакие иные.  Смысл этого термина весьма прост. Ко-вариантый ≡ со-преобразующийся. Поскольку описания целостности возможны разными способами, с помощью разных масштабов, то будут справедливы для всех возможных описаний только такие соотношения между числами, которые связывают числа, полученные с помощью тех же самых масштабов. Все иные соотношения оказываются бессмысленными. В физике эти же самые требования формулируются как недопустимость смешивать в арифметических операциях (сложение, вычитание, равенство) величины разных размерностей — метры с килограммами не складывают и не сравнивают.

Переход от одного описания к другому мы называем  преобразованием координат, которое сопровождает замену (преобразование) масштабов. Рассмотрим два описания линии — с помощью масштаба e c величиной 1 м (координата x)  и с помощью масштаба e’ с величиной 1 см (координата x’). Начало отсчёта находится в одной и той же точке. Другая точка будет иметь в разных системах координаты, например, x=1 [м] и x’=100[см]. Вполне обычная и очевидная ситуация. Какие при этом имеются коэффициенты пересчёта одних координат в другие? Очевидно, таких коэффициентов два — от х к х’ и наоборот. А именно, это числа 100 и 0.01. Все координаты х надо умножить на 100, чтобы получить координаты х’. Вопрос, эти числа имеют размерности? Конечно. Число 100 имеет размерность [см/м], а число 0.01 имеет размерность [м/см]. Эти числа являются отношениями масштабов, результатами измерения старого масштаба новым и наоборот. Эти числа не относятся ни к старому, ни к новому описаниям линии. Они промежуточные, описывающие не линию, а масштабы, используемые для описания линии. И, в то же время, эти коэффициенты, которые в самом общем случае могут зависеть от точки на линии (ведь или старые, или новые масштабы, или оба набора вместе, могут в принципе меняться при перемещении вдоль линии, это ничем не запрещено, кроме соображений удобства), являются дополнительными характеристиками каждой точки в любом описании линии. В особенности, если мы будем принимать во внимание не два возможных описания линии, а все без исключения такие возможные описания. Ну или некоторую их часть, чем-то для нас более удобную. Например, группу описаний, все масштабы которых одинаковы для всех точек линии. С каждой точкой линии, помимо координат в конкретной системе, ассоциируется весь набор возможных в этой точке преобразований в другие системы координат. Отмечу, что уже здесь намечается путь к понятию расслоенного пространства. База — линия, слои первого уровня — масштабы (векторы) в разных системах координат, ещё слои — матричные пространства допустимых преобразований между системами координат, и т.д.

Заметим также, что коэффициенты пересчёта координат являются, помимо результатов измерения одного масштаба другим, ещё и в некотором роде удельными величинами. И присутствуют всегда сопряжёнными парами. Их ведь два — один говорит, сколько новых масштабов приходится на один старый, а второй, наоборот, сколько старых приходится на новый.

Может создаться впечатление, что, поскольку все без исключения числа получаются только  как результаты измерений, то все числа, появляющиеся в описании линии (или непрерывности большего числа измерений) обязательно будут зависеть от того, какие масштабы выбраны для построения описания. Будут зависеть от используемой системы координат и будут размерными, с размерностями, определяемыми используемыми для описания масштабами. Это неверное впечатление, и вот почему.

Рассмотрим описание линии с выделенными на ней особыми точками. Например, нитка с узелками. Эти особые точки можно пометить ярлыками. Разными. В том числе, и целыми числами. Выбрав какую-то точку за нулевую, соседней припишем номер один и так далее. А можем ещё их просто сосчитать. И получить некоторое число таких точек (например, узлов) в заданной области (кусочке) линии. Да, и этим числам мы должны приписать размерность. Эта размерность будет иметь название “особая точка”, или “узел”, или ещё что-то аналогичное. Но будет ли эта размерность иметь отношение к размерности координаты вдоль линии? В общем случае нет. Ведь масштабы для описания линии, приписывания её точкам меток, координат, не имеют никакого отношения к тому, есть такие особые точки, или их нет, и при описании самих особых точек вовсе не используются.

Количество точек в некоторой выделенной области линии останется неизменным, какие бы системы координат на линии мы не выбирали. Также как и их номера, если они были приписаны точкам. Такие величины, которые не зависят от выбора системы координат (масштабов) называют инвариантными (не изменяющимися) или скалярами. Скаляры с точки зрения выбора масштабов для описания непрерывности не имеют размерности. Это безразмерные числа в описании непрерывности. Их размерности внешние для описания и описанием не учитываются, игнорируются.

Скалярные величины могут быть приписаны не только отдельным точкам, но и всем точкам непрерывности. Их значения тогда рассматриваются как скалярное поле, определённое на линии (или в непрерывности большего числа измерений). Или как скалярная функция координат. Эта функция может быть непрерывной и   дифференцируемой (а может и не быть). Для одномерного случая, для линии, с каждой точкой связывается производная такой функции. А при нескольких координатах это будет градиент функции (в одномерном случае, конечно, это тоже градиент). Что же это за конструкция? Какова её размерность и как она преобразуется при переходах между системами координат?

Размерность градиента скалярной функции вполне очевидна — каждая компонента будет иметь размерность обратную размерности соответствующего масштаба. Это ведь предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Функция безразмерная, аргумент имеет размерность масштаба. Величина по своему смыслу удельная — сколько скалярной величины (например, особых точек) приходится на единицу измерения. И преобразования градиента получить легко. Они такие же, как и у вектора, только коэффиенты преобразования нужно брать сопряжённые — не от старых координат к новым, а наоборот. Таким образом, в геометрии изначально присутствуют два вида сопряжённых векторов — те геометрические объекты, которые являются идеей масштабов, и те геометрические объекты, которые являются идеей сопряжённых им удельных величин. Сопряжённых по операции произведения, результатом которой является инвариант, скалярная величина. В той части математики, которая занимается исключительно векторными пространствами эта идея сопряжённости вводится также с самого начала, с помощью соответствующего набора аксиом. Здесь я постарался описать её генезис, причины и необходимость существования этого понятия (сопряжения) и то, как её примеры реализуются, каковы её истоки в реальном мире. А в математике идея сопряжённости распространена весьма широко, и не только в теории векторных пространств. Например, преобразования Фурье, прямое и обратное. Важное замечание — сопряжение векторов никак не требует введения метрики или скалярного произведения векторов. Хотя весьма напоминает операцию скалярного произведения. Всё дело в том, что сопряжение это произведение с последующим суммированием разных видов векторов, а не векторов одного и того же вида.

Вернёмся к двум типам векторов. И сходство и разница между ними сконцентрирована в законе преобразования, пересчёта компонент при переходах между системами координат. Сходство состоит в том, что пересчёт осуществляется умножением одной единственной матрицы, связывающей координаты в разных системах (масштабы в этих системах)  на столбец или строку компонет вектора. А разница между этими векторами состоит в том, что в одном случае используется матрица перехода от старых координат к новым, а в другом — ей обратная. И обозначают эту разницу добавлением специального указателя к слову “вектор” — контравариантный (противопреобразующийся) для векторов, аналогичных вектору масштаба, и ковариантный (сопреобразующийся) для сопряжённых векторов, аналогичных вектору градиента скалярной функции. При записи математических формул вместо названий используют разное положение индексов компонент. Для контравариантного вектора их пишут справа вверху — qi, а для ковариантного справа внизу — pi. При этом молчаливо предполагается также различное расположение (вверху и внизу) индексов строк и столбцов при записи матрицы преобразования координат и соответствие верхнего индекса номеру строки матрицы, а нижнего — номеру столбца. В связи с этим правилом матрицы контравариантных векторов выглядят как столбцы, а матрицы ковариантых — как строки. Если рассматривать ковариантные векторы как строки, то их преобразование осуществляется с помощью умножения матрицы справа, чтобы выполнялись правила матричного произведения, строка на столбец. Должен заметить, что этих соглашений придерживаются отнюдь не все авторы учебников по геометрии, что плохо сказывается потом на понимании предмета.

Обращу также ваше внимание на явную нелогичность названий. Казалось бы, сопреобразующимися (вместе с масштабами) следовало бы называть те векторы, которые назвали контравариантными. Ну уж с этим ничего не поделаешь, названия переделывать себе дороже. Поясню только , почему так получилось. Дело как раз в том, что изначально (да и сейчас это делается сплошь и рядом) векторы были введены как разложения по базисным векторам, причём с помощью скалярного произведения. Т.е. компоненты вектора определяются как проекции на соответствующие орты базиса (как скалярные произведения с каждым из ортов). Такой подход автоматически делает вектор и орт базиса сопряжёнными векторами, а не векторами одного и того же типа. Да, всё это обычно делается в евклидовом пространстве, в котором разница между ковариантными и контравариантными векторами нивелирована наличием метрики, позволяющей определить скалярное произведение для двух векторов одного и того же типа (как ковариантных, так и контравариантых). Но такое векторное пространство является весьма специальным случаем. Общее векторное пространство позволяет получить скаляр только при свёртке двух векторов разного типа. А то, что для определения понятия вектора нужно уже иметь базис векторов и вовсе заводит в тупик — а векторы этого базиса, они-то что такое? Тем не менее, так делалось и делается часто. А после обнаружения разницы между двумя типами векторов в выборе названия сыграло роль то, что в силу отмеченной выше сопряжённости, определяемые таким образом векторы преобразуются с помощью матрицы, обратной матрице преобразований базисных ортов. Вот и назвали их “контравариантными”…

Ещё один побочный эффект имеет отмеченный выше способ введения векторов. У множества математиков я встречал представление о тензоре вообще (а вектор это первый пример такого многокомпонентного математического объекта как тензор) как о скаляре, полученном свёрткой всех индексов тензора с базисными векторами. Достаточно понять, что из-за того, что сами базисные векторы можно свернуть с самими собой только в весьма специфическом случае наличия в векторном пространстве скалярного произведения, т.е. понятия дополнительного к понятию вектора (что раньше, вектор или скалярное призведение векторов?), чтобы увидеть всю беспочвенность такого представления о природе тензора (и вектора, в частности).

Хочу снова немного остановиться на приведённом выше примере скаляра на линии, базирущегося на приписывании особым точкам номера, целого числа. Ничто не мешает использовать для описания линии среди прочих процедур измерения такую, масштабы которой дают этим особым точкам именно целочисленные значения. Получается, эти числа могут одновременно рассматриваться и как скалярная функция, и как координата вдоль линии. Здесь возникает такое фундаментальное для геометрии понятие как скалярный параметр. Это понятие в геометрии используется повсеместно, и, на мой взгляд, тоже без необходимых пояснений. Скалярный параметр обычно используют для выделения в многомерном пространстве какой-то одной линии, пути, или семейства путей. Таких параметров, естественно, может быть и больше одного, тогда речь идёт о поверхностях (два параметра) и подпространствах большего числа измерений. Важно понимать, что скалярные параметры геометрии тоже являются результатами некоторых процедур измерений. Но! Эти процедуры изъяты из группы всех возможных для описания точек пространства. Даже если группа возможных их включает тоже (а это, как правило, имеет место всегда). Это значит, что результаты измерений, которые мы используем как скалярные параметры фиксированы при изменении общего описания, они стоят наособицу. Котлеты отдельно, мухи отдельно…

Всё, что было сказано выше, с точки зрения описания структур, возникающих в геометрии, не выходило за пределы понятия многообразия, за пределы его аксиоматики. Конечно, в ряде замечаний были намечены и дальнейшие направления обогащения геометрических понятий, но и только. Теперь вопрос —  может быть этого набора понятий уже и достаточно для описания целостностей, непрерывностей? Ведь цель была именно такая — создать  конструкцию понятий, позволяющую описывать все свойства целостных объектов, которые дополнительно можно рассматривать и как совокупность отдельных частей. Нам ведь нужно не просто описание, а описание необходимое и достаточное, адекватное миру как целостному объекту.

Ответ на этот вопрос следующий — набора понятий, объединённых одним словом “многообразие” не достаточно для наших целей. Причина в том, что результаты измерений в разных точках непрерывности, какими бы геометрическими объектами они не описывались, за одним единственным исключением — скаляра — сравнивать, а значит и складывать или вычитать нельзя. Результат не будет осмысленным, пока не будет установлена связь между масштабами в этих точках. Скаляр является исключением потому, что его процедура измерения внешняя для описания непрерывности, фиксированная и предполагающая по определению идентичность её масштабов во всех точках.  Это предположение верно и для каждой отдельной процедуры измерения, порождающей конкретную систему координат (описание) для данной непрерывности. Но для всей совокупности описаний, если в допустимые преобразования включены и такие, которые соответствуют изменению масштабов от точки к точке (при взгляде из любой другой системы координат), в конструкции многообразия нет структуры, которая позволяла бы учитывать такое изменение. Можно решить эту проблему запретив все такие, создающие проблемы процедуры измерения.  Фактически, при изложении геометрии Евклида это и делается. О всяких там криволинейных и т.д. координатах просто не упоминают. Исключением являются полярные координаты,  которые и вовсе не являются полностью адекватными евклидовой геометрии, но это связано с тем, что Евклидовы пространства тоже на самом деле выходят далеко за рамки аксиоматики многообразия. Да, так делать можно. Кстати, именно этот путь был намечен в Эрлангенской программе Клейна, который заострил внимание на том, что понятия геометрии напрямую связаны с теми ограничениями, которые налагаются на группу допустимых преобразований (не только на этом, конечно). Но можно однозначно сказать, что такое описание не будет ни необходимым, ни достаточным. Первое потому, что никаких причин игнорировать какие-то возможные процедуры измерений а приори нет (для этого нужно обязательно указать, почему они исключены из рассмотрения). А второе практически из-за того  же самого — достаточное означает исчёрпывающее все возможности. А тут не малый набор возможностей просто выбрасывается из рассмотрения. Так что определения дополнительной структуры нам не избежать.

Эта структура должна связывать значения масштабов (т.е. базисных векторов) хотя бы в бесконечно близких точках. Многообразие уже имеет инструмент, позволяющий описать близость точек. Это понятие вектора бесконечно малого смещения. Так что нужно добавить структуру, описывающую то, что происходит с масштабом при таком смещении и мы получим возможность связать все структуры, полученные измерениями для разных точек, даже и удалённых (поэтому речь и идёт о бесконечно близких точках, т.к. случай удалённых оказывается частным; а вот наоборот будет не так). По крайней мере, по отношению к операциям сложения (вычитания) и сравнения. Структура эта для геометрии, как набора идей, является по сути дела ещё одной аксиомой (точнее, некоторым их набором) и называется она аффинной связностью. А соответствующие описания непрерывностей называют пространствами аффинной связности. В зависимости от конкретных свойств, требуемых от связности, эти пространства распадаются на различные классы — с кручением и без него, позволяющими ввести метрику (Римановыми) или нет, и т.д. Среди Римановых пространств особое место занимают аффинные пространства, а среди них — Евклидовы. Связность позволяет определить множество разных дополнительных структур, части из которых в разделе “Мысли вслух” посвящены  отдельные статьи. Можно сказать, что если связность задана, известна как набор функций для всей целостности, то об этой целостности как непрерывности известно всё.

Полезно пояснить смысл названия этой структуры, столь важной для геометрии. Связность — вполне очевидно, что речь идёт о связи масштабов в двух бесконечно близких точках. Пояснение “аффинная“, что в переводе на русский означает “линейная” означает, что связь эта постулируется с определёнными условиями. Первое из этих условий, которое и помечается словом “аффинная” говорит, что описывается та часть изменения в масштабах, которая пропорциональна бесконечно малому смещению, т.е. зависит от него в первой степени. Это ограничение в реальности несущественно, потому, что коэффициенты, описывающие эту зависимость как функции точки сами вполне могут быть нелинейными функциями точки. А значит никакого действительного ограничения на связь между масштабами в этом смысле нет. Второе условие на связность на самом деле более ограничительно, хотя на нём внимание вовсе не заостряется. Аффинная связность, в том виде как она определяется, отслеживает относительные изменения в масштабах, т.е. зависимость от точки отношения изменения в масштабе к самому масштабу. Для такого подхода есть серьёзные основания. Однако с точки зрения конструирования идей,  оба этих условия можно в принципе как-то модифицировать. Что из этого получится — вопрос совсем другой. Просто это сделать можно. С точки зрения физики, именно аффинная связность порождается реальным миром в плане описания его с помощью измерений.

Итак, если связность известна, то о пространстве известно всё. В геометрии, помимо алгебры тензоров в каждой точке, появляется и тензорный анализ, позволяющий рассматривать изменения в тензорах (результатах измерений) при переходе от точки к точке, описывать области, части пространства как целое и т.д. Однако, развитие математическиго представления о целостности на этом не заканчивается. Я отмечал уже, что среди всех мыслимых процедур измерений отнюдь на все могут быть нами реализованы. Причин много, но главная это то, что мы не можем реализовать даже процесс потенциальной бесконечности, не говоря уже об актуальной. О чём это говорит? О том, что наша претензия на построение полностью адекватного описания хотя бы части мира как целостности чрезмерна. Нет у нас для этого средств (возможностей реализовать необходимые идеальные процедуры измерений). А описывать мир как можно точнее всё же хочется. Вот здесь и может помочь следующая в иерархии геометрии конструкция — расслоенное пространство. В этом понятии удаётся объединить не одно отдельное пространство аффинной связности, а бесконечно большое их число, в чём то отличающихся между собой, но совпадающих в критически важных для нас чертах описания. Что это за критически важные черты? Чистая математика может рассматривать в качестве таковых любые имеющиеся или ввести (доопределить) новые. А вот для физики, увязывающей эти идеи с реальным миром (использующей эти идеи для его описания) это серьезный, критический вопрос. Увязывание (построение описания) осуществляется на основе и посредством экспериментов, с использованием того набора фактов, которые уже имеются или могут быть гарантированно получены с помощью доступных нам измерений и их непротиворечивой интерпретации. Изложение этой проблемы с точки зрения физики вы можете найти в моих книгах. А здесь я лишь обрисую общее представление о расслоенном пространстве.

По большому счёту, уже само отдельно взятое пространство аффинной связности является примером расслоенного пространства. Вот в каком смысле. Масштабы в математике являются объектами, чуждыми описываемой (арифметизируемой) ими непрерывности. Для физики такая ситуация неприемлема, физика нуждается во внутреннем определении масштабов, в их обязательной принадлежности описываемому реальному миру. Просто потому, что мы части этого мира и вне его находиться не можем. Тем не менее, масштаб как идея, как предельный переход от  кусочка мира к идеальной структуре, привязанной к одной единственной точке мира нам вполне понятен. Причём не как идея единственного вектора, а как идея пространства всех таких возможных векторов. Это пространство принято называть касательным пространством. Вспоминая о существовании векторов, сопряжённых масштабам, можно говорить о втором естественном векторном пространстве, ассоциированном с каждой точкой непрерывности. Его называют кокасательным пространством. Вот эти-то два векторных  пространства, имеющиеся в каждой точке непрерывности, но не принадлежащие ей явно, и дают примеры слоёв над этой непрерывностью. Аффинная связность является тем инструментом, который позволяет оперировать с этими специфическими, векторными слоями, даже если они приписаны к разным точкам описываемой непрерывности. Если вдуматься, то станет понятно, что в этом смысле поля любых величин над непрерывностью можно рассматривать как слои. В частности, и  матричные пространства, содержащие всевозможные допустимые преобразования.  И поле связности тоже. При желании можно навешать столько и таких слоёв, как только хочется. Вот только физика, да и математика тоже, должны стараться ограничиваться лишь естественными структурами, имеющими основания для их введения. Тем не менее, из самых общих соображений понятно, что величины, формирующие такие слои в самом общем случае не обязаны преобразовываться при преобразованиях координат также, как и тензоры или связанные с ними тензорные плотности. А работать с ними хотелось бы. Эту проблему решает введение связности уже в расслоенном пространстве индивидуально для каждого слоя. Основой для такого введения служит механизм, опробованный на частном случае векторных слоев, т.е. аффинной связности. Только опора делается не на закон преобразования вектора, а на ту группу преобразований, которая работает в изучаемом слое. При этом в явном виде используется описание самой такой группы как некоторого параметризованного пространства. Я не буду дальше вдаваться в подробности, для общего представления о предмете уже сказанного на мой взгляд достаточно.

В заключение о том, почему наше физическое описание мира как пространства-времени требует использования именно расслоенного пространства. И что за слой, помимо естественных тензорных, появляющихся в результате измерений слоёв, нужно принимать в рассмотрение. Суть дела именно в том, что нужных нам для описания мира масштабов в каждой его точке  мы не имеем и иметь не можем, поскольку сами этому миру принадлежим, описываем его изнутри, а не снаружи. Эксперименты наши, сколько бы мы их не делали, не дадут нам информацию о всех точках мира сразу. Информация, нам доступная, в определённом смысле является дискретной составляющей от всей возможной информации, которая могла бы быть получена при идеальном описании мира как целостности с помощью разработанных нами математических понятий. Выход из этого положения состоит в том, чтобы умерить амбиции и попытаться принять во внимание все возможные описания мира, выделяя в них те, которые содержат все накопленные нами экспериментальные данные (ну или хотя бы их часть). Вот здесь и появляется слой, который можно назвать пространством состояний. Состояний масштаба, того единственного, который мы реально можем реализовать, масштаба времени. Состояния эти можно описать матрицей, причём вполне определённого вида. Так что речь пойдёт о пространстве состояний, как о пространстве таких матриц, являющихся представлением вполне определённой группы. Для определения состояний в других точках непрерывности (мира) на основании известных состояний в некоторых, вводится (естественным образом порождается) связность в этом слое, которая также описывается матрицами того же сорта, представлением той же самой группы. Вот собственно и всё. Такие, возможно известные вам термины физики, как калибровочные поля это как раз о связности в этом слое. А волновая функция, спиноры и т.д. — это о представителях состояния в самом слое.

Нынешняя математика представляет собой огромное сборище самых разных понятий, чаще всего систематизированных лишь частично, в своей специальной области. Перекрёстные связи между такими областями довольно редко описываются. Ясно, что я смог коснуться лишь довольно малой толики всех этих понятий, только тех которые представляли интерес в моей собственной работе. Да и то весьма поверхностно. Но, по моему, лучше хоть что-то, чем совсем ничего. Может кому-то эта статья поможет в его работе или просто в удовлетворении интереса. Ещё напоследок хочу обратить ваше внимание на важность чрезвычайно аккуратного употребления слов, терминов. За каждым таким термином нужно видеть хорошо определённый смысл, иначе беда…

 

© Гаврюсев В.Г.
Опубликованные на сайте материалы можно использовать при соблюдении правил цитирования.


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

* Copy This Password *

* Type Or Paste Password Here *