Тензоры

Что такое тензоры? Почему тензоры являются основным математическим инструментом в физике?

Слово “тензор” всё еще остаётся очень для многих физиков, а уж для не-физиков тем более, чем-то мало понятным, математической абстракцией. И это несмотря на то, что сами тензоры используются в физике уже больше столетия. Что же такое тензор? Ответ на этот вопрос чрезвычайно прост – это совокупность наборов чисел, которые ставятся в соответствие некоторому физическому объекту, выделенному из остального реального мира, каждой процедурой измерений (то есть с помощью сравнения всего этого объекта разом, или некоторых его отдельных свойств, с выбранными масштабами) в отдельности и всеми такими допустимыми процедурами измерений разом. Тензоры различаются количеством чисел в таких наборах и правилами, которые связывают их значения в разных системах координат.

Правила эти просты, классификация тензоров тоже, но простота эта требует разъяснений на наглядных примерах.

Возьмём для начала одномерное пространство цен, использованное в качестве примера при обсуждении понятия относительности. Пусть нами выбраны как допустимые две валюты (две системы координат) рубль и доллар, а физическим объектом будет булка.

Первый, простейший тензор, который появляется в таком пространстве – это скаляр 1, приписанный такому свойству физических объектов, как количество: 1 булка. От выбора единицы измерения цены (рубль ли, доллар ли) это свойство не зависит, является инвариантом и безразмерным числом. Скаляр ещё называют тензором нулевого ранга. Скаляр может принимать произвольное числовое значение – 2, 3, 1.5 (булки). Заметим, что хотя скаляры безразмерны, но некоторый рудиментарный след размерности они имеют – булки отличаются от колбас, например, хотя с точки зрения цены они вполне совместимы. Можно говорить об общей цене булки и колбасы вместе. Т.е. разница между скалярами в некотором роде вынесена за пределы математики. Скаляр  определяется в пространстве ещё до введения любой процедуры измерений, он возникает как только мы выделяем индивидуальные части в нашем мире. Но и после определения систем координат он не исчезает. Это простейший из наборов чисел. Компонента в наборе ” скаляр” всегда одна. Значение её одинаково во всех системах координат. Этот факт, очевидно, не зависит от числа измерений пространства, т.к. сам скаляр от процедуры измерений, эту мерность определяющей, не зависит.

Следующий тензор, который мы можем сразу увидеть, называется вектор, или тензор первого ранга. Это не что иное как цена физического объекта (булки в данном случае). Поскольку пространство наше одномерное, свойство у объекта в этом пространстве описывается только одно, то и компонент в векторе тоже будет всего одна. Но! Если у скаляра одна компонента будет всегда, для пространства любого количества измерений, то у вектора число компонент строго равно числу измерений. Именно это подразумевается в утверждении “тензор первого ранга“. При измерении каждый масштаб ставит в соответствие выделенному объекту одну размерную компоненту – число, указывающее сколько таких масштабов нужно, чтобы воспроизвести объект. Размерность разных компонент в общем случае разная и совпадает с наименованием соответствующей единицы измерения. В нашем конкретном случае это будет, например, 25 рублей. Цена булки в рублях, xp=25 (рублей). А в долларах (в другой системе координат) это будет 1 доллар, xд=1 (долларов). Заметим, что коэффициентов перехода между системами координат (валютами) два. От рублей в доллары, отношение доллара к рублю на данном рынке (ед/еp=1/25 доллар/рубль) и наоборот (ер/ед=25 рубль/доллар). Коэффициенты преобразования координат тоже размерные, причём имеют размерности из обеих систем координат. Значения вектора преобразуются из одной системы координат в другую с помощью формулы xд=ед/еpxp. Вполне естественная формула. Чтобы получить значения компоненты вектора в новой системе координат по отношению к единице “доллар” нужно умножить значение вектора в старой системе координат по отношению к единице “рубль” на отношение новой единицы к старой. Заметьте, размерности при этом тоже преобразуются! Общее правило – компоненты такого вектора преобразуются при переходах между системами координат с помощью матрицы преобразования самих координат (единиц в них выбранных), матрицы производных новых координат как функций старых. В нашем примере матрица сводится к одному числу, но ясно, что в случае нескольких единиц (пространства нескольких измерений) это будет таблица чисел (размерных!).

Оказывается, что в нашем одномерном пространстве существуют также и другие тензоры первого ранга, очень похожие на вектор цены. Они тоже имеют столько же компонент, сколько единиц измерений в данном пространстве. Поэтому их тоже называют векторами. Но выражают они совсем другое свойство объекта! Чтобы различать эти два вида векторов, их называют контравариантные векторы (такие как вектор цены) и ковариантные векторы. Названия эти означают “противопреобразующиеся” и “сопреобразующиеся”. Легко понять, что связано это с формулами преобразования их компонент при переходах между системами координат. Сейчас мы введём для булки ковариантный вектор, и вы увидите различие. Сколько булок можно купить на единицу измерения (в данном случае, цены – на один рубль или один доллар)? Вопрос ведь вполне осмысленный, мы им часто задаёмся. Именно такое свойство объекта, “приходиться в таком-то количестве на единицу измерения” и выражает ковариантный вектор. Для булки это будет xp=1/25 (1/рубль). Т.е. на 1 рубль можно купить 1/25 часть булки. Обратите внимание, индекс валюты стоит внизу и размерность компоненты ковариантного вектора является обратной к размерности соответствующей единицы. В другой системе координат xд=ер/едxp. Компоненты ковариантного вектора умножаются на отношение старой единицы к новой.Общее правило, отличающее ковариантный вектор от контравариантного – его компоненты преобразуются с помощью обратной матрицы преобразования координат, матрицы производных старых координат по новым.

А для чего нам нужны все эти векторы? В жизни мы цены складываем, умножаем, делим… Правильно, я должен ввести (описать) операции с тензорами. Вот вам пример умножения, которое носит ещё одно специальное название, свёртка. xpxp= 1. Что получилось в результате этой операции, произведения цены булки на удельную цену той же булки? Правильно, скаляр, число булок, а именно одна эта самая булка. А вот ещё соотношение – zp=xp + yp. О чём оно говорит? Товар x имеет некоторую цену в рублях, товар y другую. Общую цену нового товара z, состоящего из двух товаров вместе, обозначим как zp. А что вы скажете о такой zp=xp + yд сумме? Или о такой zp=xp + yp? Или о такой zp=xp + yp? Глупость, нельзя так складывать – рубли с долларами, или цену с удельной ценой. И нельзя сложив две цены получить удельную цену. Сложение цен всегда даёт цену. Вот вам и главное правило операций с тензорами, которое вам может быть известно как требование ковариантности законов физики. Сложение, вычитание и равенство могут связывать только тензоры одинакового строения в одной и той же системе координат. И это правило совершенно естественное, оно просто строго формулирует описанные выше требования здравого смысла.

Пространство цен, которое я выбрал для своих примеров, слишком простое, поскольку одномерное и из-за этого ввести в нём более сложные тензоры (второго, и так далее рангов) не удаётся достаточно просто (формально можно, но большого смысла они не имеют). Но оно очень наглядное, понятное, операции в нём привычны практически для всех. Хочу ещё раз подчеркнуть одну важнейшую вещь, которую старался сделать понятной вам, естественной. Тензор, какой бы сложный он не был на первый, второй и третий взгляд, всегда есть не что иное, как числовое выражение некоторых измеренных свойств некоторого конкретного, выделенного физического объекта. Причём, на данном уровне (для тензора данного ранга) чисел ровно столько, сколько свойств объекта рассматривается. А свойств можно рассмотреть столько, сколько разных независимых единиц вы имеете. А ещё лучше выразить эту мысль наоборот – для полного описания объекта вы обязаны взять столько независимых единиц измерения, сколько независимых свойств имеет данный предмет. В нашем конкретном случае нас интересует одно свойство, цена. Вот и единица измерения у нас одна.

Рассмотрим пример более сложный, но всё-таки всё ещё близкий к нашему непосредственному опыту. И, конечно, близкий к теме этого сайта. Такой пример нам может предоставить 3х мерное пространство. В школе первое понятие о тензоре (правда без упоминания, что речь идёт именно о тензоре) мы получаем на примере вектора скорости. Вектор скорости точечного (в школьном курсе физики и любого твёрдого) тела имеет 3 компоненты, по количеству измерений пространства. Обычно его изображают стрелочкой, прикреплённой к телу и радиус-вектором на рисунках. Надо пояснить, что понятие радиус-вектора не является точным эквивалентом понятию вектора, т.к. радиус-вектор связан не с одной точкой, а всегда с двумя. Однако, понятие вектора в данной точке получается в результате предельного перехода из понятия радиус-вектора при стремлении второй точки к выбранной. И, кроме того, в евклидовом пространстве оба понятия часто взаимозаменяемы, по крайней мере при графическом изображении.  Можете проверить, что правило параллелограмма сложения векторов даёт в точности тот же результат как и явным образом (по компонентно) записанная их сумма в стандартной алгебре тензоров. Сложение двух векторов скоростей (это контравариантные векторы): vi=ui + wi , i=1,2,3.  Для трёхмерного пространства уже намного легче дать  примеры тензоров и следующих рангов. Одним из таких важных тензоров второго ранга для знакомого вам евклидова пространства является метрический тензор  gik, имеющий во всех ортогональных системах координат диагональный вид: gik=1 при i=k и =0 при ik . С помощью этого тензора вычисляется величина любого контравариантного вектора, в том числе, конечно, и вектора скорости:  v2 =∑gik vi vk , где суммирование производится по всем значениям обоих индексов, а величина v (как и v2) является скаляром. Формула эта записывает не что иное как теорему Пифагора применительно к вектору трёхмерной скорости.

Мой первый пример  не позволял мне показать, что наборы чисел, появляющиеся в результате измерений, могут не составлять тензор, и всё равно оставаться осмысленными именно и только как совокупность.Число компонент, составляющих осмысленный геометрический объект, тоже одинаково в разных системах координат. Но закон их преобразования при переходах между системами координат сложнее, чем тензорный. Примером могут служить сами координаты. Их всегда одинаковое число, но координаты одного наблюдателя могут быть нелинейными функциями координат другого. Второй вполне  позволяет ввести и обсудить и другие геометрические объекты, но у меня есть статья, посвящённая как раз наиболее значимому для физики такому объекту — аффинной связности. Поэтому тем, кто желает углубить своё понимание этого вопроса, лучше почитать эту статью.

Конечно, тензоры тоже являются геометрическими объектами, только некоторым их более частным случаем. Здесь я хочу пояснить для вас, в чём именно состоит выделенность тензоров из всех таких осмысленных наборов измерений, геометрических объектов. Тензоры всегда связаны с конкретным объектом. Геометрические объекты с законом преобразования, отличным от тензорного связаны с переменными объектами, в одной процедуре измерений (системе координат) они говорят об одном объекте, а в другой – о другом. Тензоры и операции с ними дают способ, не слишком задумываясь и всегда правильно, оперировать с результатами измерения свойств выделенных объектов. Конечно, если мы правильно понимаем смысл каждого используемого нами тензора. Но это уже вопрос не математики, а интерпретации, применения математики к реальному миру.

Ну вот, кажется общую идею тензора и почему их использование удобно, а главное, важно и неизбежно, я прояснил.

© Гаврюсев В.Г.
Опубликованные на сайте материалы можно использовать при соблюдении правил цитирования.


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

* Copy This Password *

* Type Or Paste Password Here *