Кривизна и напряжённость поля

Что такое кривизна? В каком отношении она находится с аффинной связностью? Какой физический смысл имеет поле кривизны при описании мира как пространства-времени?

Кривизна представляется сугубо геометрическим понятием. Общая Теория Относительности сделала представление о кривизне пространства-времени довольно широко известным и связанным с физикой, а точнее, с гравитацией. Но связь эта остаётся достаточно неясной, скорее абстрактной. Причина этому на мой взгляд в том, что в ОТО утвердилась искажённая интерпретация физического смысла используемых математических понятий, как метрики, так и кривизны. Истоки такого искажения лежат в непоследовательной трактовке координат интерпретаторами результатов ОТО. И восходит она, естественно, к авторитету самого создателя теории, А.Эйнштейна. Здесь я собираюсь, не особо вдаваясь в математические подробности, обсудить смысл кривизны, как геометрический, так и физический. Поэтому будет больше слов, чем формул, хотя формул совсем избежать не удастся.

В геометрии понятие о кривизне пространства возникает, естественным образом, при попытке параллельного переноса вектора по замкнутому контуру. Оказывается, что даже если этот контур стягивается в точку, вовсе не обязательно, чтобы результат переноса совпадал с исходным вектором. Вполне может остаться некоторая разница между векторами, исходным и перенесённым, которая пропорциональна самому вектору и некоторому тензору, существующему в данной точке, тензору кривизны Rijkl. То, что коэффициенты пропорциональности составляют тензор, означает, что у каждой точки пространства имеется некоторое измеримое свойство, результаты измерения которого и являются компонентами тензора, и никак не зависят от того вектора, что переносится. По количеству индексов у тензора кривизны можно судить, что свойство точки, им записанное, отнюдь не простое. Однако, кое-что вполне знакомое нам из ежедневной практики с ним связано.

Начнём с пояснения самого названия. Казалось бы, что тут пояснять? Чем отличается линия прямая от кривой достаточно понятно безо всякого знания математики. Это-то верно. Вот только такая забавная вещь – на линии, рассматриваемой как одномерное пространство никакой кривизны нет и в помине. С внутренней точки зрения, как одномерные пространства, все линии одинаковы. Их свойство быть кривыми (или прямыми) появляется только тогда, когда они являются частью хотя бы двумерного (или большего числа измерений) пространства. Поскольку именно такие (и только такие!) линии для нас обычны, постольку мы и воспринимаем “кривизну” линии интуитивно. В математике же, как языке максимально точном, понятие кривизны появляется только в пространствах, начиная с двух измерений. И оказывается оно связанным отнюдь не с нашим интуитивным представлением о различии между прямыми и кривыми линиями. Для примера, на плоскости тензор кривизны в каждой точке равен нулю, хотя кривых линий на плоскости можно провести сколько вам хочется. Чтобы не идти здесь слишком далеко в направлении описания различий между кривыми, скажу только, что для этого используется представление о геодезических, для которого достаточно только аффинной связности. Кривизна же является следующим элементом, необходимым для завершения описания геометрии пространств больше чем одного измерения. Элемент этот, конечно, уже содержится в связности, является её свойством. Но это то свойство, которое необходимо рассматривать явно. То, что называется кривизной в математике, конечно тоже известно нам в обыденной жизни, но известно как кривизна поверхностей. Отличие всевозможных поверхностей от плоскости описывается именно на языке тензора кривизны. Пожалуй, самый лёгкий способ составить о кривизне некоторое образное геометрическое представление – это приложить к точке произвольной поверхности плоскость и увидеть их отличие.

На самом деле математика делает очень похожую вещь, когда строит тензор кривизны. Сколько бы измерений не имело данное пространство, в каждой его точке выбираются двумерные поверхности (естественно, все возможные) и в них вычисляется некоторая комбинация, достаточно простая, из коэффициентов связности и их первых производных в двух направлениях, а потом эти два значения вычитаются. И так для каждой пары координат. Поэтому тензор кривизны антисимметричен по одной из пар нижних индексов, а именно, по индексам k и l. Поскольку у тензора кривизны имеется и верхний индекс, то из его компонент можно составить ещё два тензора с меньшим числом индексов с помощью свёртки. Это будут тензор Риччи Rjk = Rijki = R1jk1 + R2jk2 + R3jk3 + R4jk4 и ещё один тензор (известный на самом деле не в геометрии, а в физике, как тензор Максвелла) Fkl = Riikl . Что такое свёртка видно из записи выражения для тензора Риччи. Я подразумеваю, что наше пространство четырехмерно, поэтому сумма состоит из четырёх компонент. Точно такое же суммирование по одинаковым сверху и снизу индексам (но на этот раз внизу меняется первый индекс) подразумевается для получения тензора Fkl. Заметим, что как и полный тензор кривизны по индексам k и l, тензор Максвелла антисимметричен по своим индексам. О симметрии же тензора Риччи априори сказать ничего нельзя.

Теперь поговорим немного о том, для чего все-таки нужно строить всякие там тензоры кривизны и иже с ними, если все геометрические соотношения в пространстве можно извлечь из аффинной связности. Ведь и тензор кривизны есть не что иное, как некоторая комбинация коэффициентов связности и их первых производных. Ответ на этот вопрос прост. Все такие, тензорные, вторичные к связности структуры как раз и описывают те самые геометрические (а в случае пространства-времени и физические) соотношения, которые нам интересны. Более того, это теоретику позволительно задать связность как набор известных функций. Если же мы применяем математику пространств аффинной связности к описанию пространства-времени (а именно эта область применения теории и является для нас важнейшей), то нет у нас известной связности и быть не может. Единственный путь её восстановления – это эксперименты, измерения свойств объектов реального мира. Чем больше разных свойств мы сможем измерить, тем ближе к реальности будет наше описание мира. Результаты измерений этих свойств как раз и группируются в тензоры.

Какие же свойства физического мира находят своё выражение в тензоре кривизны? По большому счёту, тензор кривизны можно назвать индикатором наличия в данной точке силы. Это тензор напряжённостей единого поля. Слова сила, поле сил нам достаточно привычны и интуитивно понятны. Напряжённость – слово менее понятное. Поэтому немного его поясню. Напряжённость – это удельная сила. Вещество нам привычное, обычно состоит из множества частичек, которые вместе составляют некоторую общую массу. А в случае электромагнитных сил и общий заряд. Вот сила, приходящаяся на единицу массы или заряда и называется напряжённостью поля сил. Она важна тем, что характеризует данную точку пространства всегда одинаковым образом, вне зависимости от того, какое тело, на которое действует сила, в этой точке находится. То, что тензор кривизны именно удельная величина следует из самого его определения.

Хотя центральной структурой теории гравитации, созданной Эйнштейном и полагают метрический тезор gik, но основное уравнение этой теории

    Rik= -сonst (Tik – 1/2 T gik)

записывается именно для кривизны, точнее для одной из её сверток, тензора Риччи. Уже это делает кривизну центральным понятием теории. Наличие в данной области пространства-времени тяготеющих тел, или вообще энергии в иной форме, например в виде электромагнитного поля, которое эквивалентно отличию от нуля тензора энергии-импульса Tik, означает отличие от нуля и этой свёртки кривизны, тензора Риччи. По сути дела, если пытаться излагать физику пространства-времени без введения внешних к геометрии величин (а в этом уравнении тензор энергии-импульса сугубо не геометрическая величина), то сам тензор энергии-импульса можно (и нужно) определить как некоторый тензор, построенный из компонент тензора кривизны :   Tik= – (Rik– 1/2 R gik)/сonst. Тогда основное уравнение теории гравитации становится простым определением одной из величин теории. А тяготеющая материя будет ничем иным, как проявлением кривизны пространства-времени в данной области.

© Гаврюсев В.Г.
Опубликованные на сайте материалы можно использовать при соблюдении правил цитирования.


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

* Copy This Password *

* Type Or Paste Password Here *