que son las simetrias? ¿Cómo se relaciona con ellos el concepto matemático de grupo?? ¿Qué son las vistas grupales?? ¿Por qué la física presta tanta atención a las simetrías??

Primero hablemos de cosas del hogar., cerca de cada idea de simetría. Como siempre, Para entender mejor de qué estamos hablando, intentaré identificar el significado de esta palabra en sí.. Como ocurre con muchos otros conceptos., El significado de este término no es de ninguna manera único.. Por lo tanto, es necesario repasar todos los significados disponibles. (bien, o al menos, para la parte principal). Significado literal de la palabra. “simetría” en su, digamos solo, versión rusa (aunque esta palabra en sí se ha convertido desde hace mucho tiempo en una parte integral del idioma ruso), este es co-dimensión. Es decir. El significado inicial de la palabra implica la presencia de una determinada conexión, compatibilidad en tamaño, en tamaño de algo con algo. Aunque el primero, Lo que generalmente viene a la mente, cuando escuchamos esta palabra, esta es una idea de algo hermoso, perfecto. cara simétrica — esta cara, en el que todo está equilibrado, derecha coincide con izquierda, arriba y abajo no crean un sentimiento de contradicción entre ellos. Una figura geométrica simétrica no consta de muchos elementos conectados caóticamente., pero viceversa, es un conjunto de elementos, posiblemente igual, mostrando algo de orden. Por ejemplo, círculo. Todos los puntos están ubicados a la misma distancia del centro y en este sentido son idénticos., indistinguibles unos de otros. O un triángulo equilátero. Todos los lados son iguales. Todos los ángulos son iguales. Puedes rotarlo así., que cuando los vértices coinciden, entonces el triángulo esencialmente no cambia, sigue siendo el mismo. Puedes reflejar dos partes de un triángulo., se obtiene dividiéndolo por cualquier altura, el uno al otro y coincidirán, y el nuevo triángulo será indistinguible del antiguo.

Entonces, qué necesitamos, para que puedas hablar sobre el tema de conversación, que hay algo de simetría en ello?

Primero. El tema de conversación sobre la simetría., generalmente hablando, debería tener cierta complejidad, consistir en “detalles”, ser una colección de otros elementos, y no ser algo unico. La mera existencia de un solo elemento no nos permite hablar de simetría.. No hay nada con qué compararlo., balance. tomaré nota, qué Aquí es apropiado utilizar el concepto matemático. “multitud”. muchos elementos.

Segundo. Para que surja el concepto de simetría, es necesario que los elementos de un determinado conjunto estén involucrados en algún tipo de relación entre sí, de modo que al concepto de conjunto se le suma el concepto de operación  sobre los elementos de este conjunto. Sólo un juicio sobre el resultado de alguna operación nos permite decir, si hay elementos en este conjunto (cifra, cuerpo volumétrico, frase o algo mas) signos de presencia o ausencia de simetría, proporcionalidad. Porque, ¿De qué estamos hablando de proporcionalidad?, puede parecer, que tal operación debe estar de alguna manera relacionada con la medición, al menos en su forma rudimentaria de comparación. De hecho, la comparación siempre se hace, pero, normalmente, en la última etapa, después de la operación, del que estamos hablando aquí. Lo que se compara es, ¿Qué pasó antes de la operación?, con ese, ¿Qué pasó después de usarlo?. Y aquí está la operación en sí., que se analiza en este párrafo, no necesariamente se reduce a operaciones de medición. Como ejemplo, puedo ofrecer la operación de reorganizar los elementos de un determinado conjunto..

Tercero. La presencia de simetría implica, qué aplicar una determinada operación deja una determinada propiedad (o varias propiedades) conjuntos (el tema en discusión en su conjunto) sin alterar. Algo es invariante de la operación. Sigue siendo una propiedad sin cambios del conjunto en su conjunto. (o esos elementos, al que se le aplicó la operación). Quizás, porque, que las dos primeras propiedades se dan por sentado para nosotros, disponible por defecto, esta propiedad prevalece en nuestras ideas sobre la presencia o ausencia de simetría.

Generalmente se acepta, que es la base para describir simetrías utilizando la mayor precisión posible., conceptos matemáticos es el concepto de grupo. Es lo correcto, pero no realmente. Primero digamos, ese grupo — Este es un conjunto de elementos con una operación definida., cuya aplicación deja los elementos del conjunto en este conjunto mismo. Esta parte de la definición del grupo corresponde exactamente a nuestras ideas sobre las propiedades de la simetría.. Pero en la definición de un grupo todavía hay algunas condiciones importantes sobre los elementos del conjunto y las propiedades de la operación.. Los aclararemos más adelante.. Estas condiciones son importantes para el concepto de grupo., pero a menudo son excesivos para describir simetrías.. Un poco más amplio es otro concepto matemático. — Presentación de grupo. Proporciona algunas propiedades adicionales., que esperamos encontrar en una descripción formal de la idea intuitiva de varios tipos de simetrías. Desde un punto de vista puramente formal, resulta más conveniente discutir el concepto de representación grupal a partir del concepto ya descrito., grupos. Generalmente hablando, Algunas de nuestras intuiciones básicas sobre la simetría deben describirse en el lenguaje de las asignaciones., y en absoluto grupos y sus ideas. pero, entonces la idea de simetrias, que se formó en física, Está más directamente relacionado con el concepto de grupo.. Asique, principalmente, Seguiré esta línea e intentaré explicarlo a continuación., ¿Qué tiene esto que ver con.

Definición (matemático) grupos. Conjunto no vacío con lo especificado binario  (es decir. aplicado a dos elementos de un conjunto) operación (y el resultado de la operación también es un elemento del mismo conjunto, y no otro) llamado un grupo, si se cumplen las siguientes condiciones:

1. Hay muchos elemento neutro, a menudo llamado unidad, semejante, que su participación como uno de los operandos (elementos del conjunto involucrados en la operación) en cualquier lugar (El resultado de una operación en general puede depender de la ubicación del operando en una operación binaria.) no cambia el segundo operando. Es decir. operación, incluir este elemento da como resultado el segundo elemento involucrado en la operación. Nombre “unidad” históricamente relacionado con, que las ideas básicas sobre las propiedades de los grupos a menudo se derivan del estudio de un grupo de números con la operación de multiplicación. De paso, por lo tanto muy a menudo, la operación de grupo en sí se llama “multiplicación”. Qué, naturalmente, no es más que jerga, con un ámbito de aplicación limitado. Estos nombres (“unidad”, “multiplicación”) muy condicional. Los números son un grupo y con respecto a la operación de suma. (y en un sentido más estricto, debido a la estricta implementación de uno más, las condiciones siguientes 2, que en relación con la multiplicación). En este caso, el elemento neutro es el número cero., no es una unidad.
2. Cada elemento del conjunto puede asociarse atrás elemento, semejante, cual es la operación con estos dos elementos (directo y reverso), independientemente de su lugar en la operación, el resultado es un elemento neutral. Estas dos condiciones se pueden definir como una condición para la existencia de la operación inversa.. (Suma — sustracción, multiplicación — división).
3. Condición de asociatividad. La operación se puede aplicar secuencialmente.. Dado que el resultado de una operación binaria es nuevamente un elemento del conjunto, entonces tres o más elementos de él pueden estar involucrados en él.. En este caso el resultado de la operación no debe depender de si, cómo se seleccionan los pares en esta cadena (después de todo, la operación es básicamente binaria.!). No importante, que primero se realiza la operación del primero con los segundos operandos, y luego el resultado se convierte en el primer operando de la operación con el tercero. O primero el segundo con el tercero, y luego el resultado se convierte en el segundo operando de la operación con el primero. Pero el lugar de todos los elementos de la cadena no debería cambiar..

Veamos cómo se ve en específico., ejemplos que todos puedan entender, y que en el concepto de grupo puede ser superfluo describir la simetría.

cara simétrica. Aquí el conjunto consta de dos mitades de la cara., izquierda y derecha. Cada mitad incluye un subconjunto de elementos muy diferentes. — ojos, las mejillas, cejas, mitades de la nariz y la boca, frente barbilla. Puedes detallar más la descripción del rostro., pero eso es suficiente, para ver la esencia de la idea. Y la idea de una cara simétrica es, que cada elemento de la mitad izquierda de la cara corresponde exactamente al mismo elemento de la mitad derecha (y viceversa, por supuesto). Además, esta correspondencia está garantizada por la operación de reflexión especular a lo largo de las líneas, perpendicular al eje de la cara — derecho moderemos las afirmaciones, pasando por el centro de la frente, punta de la nariz y punta del mentón. Una multitud, describiendo esta simetría en un sentido matemático, consta de al menos tres elementos (Se ha añadido un eje de simetría a las mitades de la cara., más precisamente, que les permiten, o áreas muy pequeñas, ubicado en él) y operaciones de duplicación de elementos entre sí. De izquierda a derecha y viceversa, y el eje con tal visualización permanece sin cambios (también se podría decir, que se refleja en si mismo).  Pero hay una pregunta — ¿El conjunto descrito con la operación satisface todas las condiciones anteriores para ser llamado grupo en el sentido matemático?? No. si el tiempo es solo una secuencia de eventos. La operación de reflexión en realidad no es binaria., y unario. Se aplica a un solo elemento del conjunto.. La reflexión une cualquier elemento con otro elemento.. O el mismo, si el conjunto contiene un elemento neutral con respecto a la operación (la coincidencia del resultado con el propio operando es en este caso la definición de neutralidad).  La presencia de un elemento neutral tampoco es necesaria en el caso que nos ocupa.. Después de todo, puedes truncar la descripción de una cara a dos mitades., que se reflejan unos en otros. Y la idea de simetría sigue siendo explícita con esta descripción.. Para describir este tipo de simetrías basta el concepto matemático “mostrar”.

Círculo. Este ejemplo es notablemente más rico.. Ya permite ver cómo aparece el concepto de grupo matemático. esa simetria, que apareció al hablar de propiedades faciales, obvio inmediatamente — surge en el mismo momento, como nos complementamos (al menos imaginativamente) círculo de cualquier diámetro, es decir. línea recta, pasando por el centro del circulo. Es decir. un círculo es simétrico respecto a cualquiera de sus diámetros. Pero! Si solo hay un eje de simetría para la cara, luego para un círculo de tales líneas, Ya hay infinitos diámetros y es posible girar el círculo. (y cualquier diámetro seleccionado) alrededor del centro en cualquier ángulo. Y por un lado, La simetría izquierda/derecha se mantiene en relación con este diámetro., y, Además, el círculo mismo coincide consigo mismo (más precisamente, Cualquier punto, acostado en el círculo y permanece en él). Aparece una nueva operación, más precisamente, infinitas operaciones, su colección continua,  gira en algún ángulo. En el lenguaje cotidiano diremos, que un círculo es como una figura geométrica, más simétrico, que la cara. Intentemos describir esta nueva riqueza en el lenguaje de las matemáticas..

Detengámonos en las curvas. Los giros se pueden realizar en diferentes ángulos.. Esto significa que esta operación tiene un parámetro de calificación. — ángulo de rotación. ambas escalas juntas, Puedes hacer dos vueltas., uno tras otro y el resultado también será una rotación en un cierto ángulo (como la conocemos, doblar las esquinas; esta propiedad es esencialmente una definición de un parámetro de rotación, y la operación de rotación en sí). ¿Dónde están las dos vueltas?, hay tres o más. Y el resultado general siempre será un cambio.. Ahora demos un paso adelante en nuestras construcciones.. Ni siquiera adelante, y puedes decir arriba, construyamos otro piso encima de nuestra estructura. Primer piso — conjunto de puntos circulares y operaciones de rotación, Preservando este círculo en su conjunto.. El segundo piso será una variedad de operaciones. — vueltas. Cada giro, correspondiente a algún valor de parámetro, El ángulo será considerado un elemento del nuevo conjunto., muchas vueltas. Y ya en este set introducimos la operación., combinando dos turnos consecutivos. llamémosla “multiplicación”. Aunque bien podrían llamarse “suma” (al menos basado en eso, que nuestros ángulos de giro, por definición, suman). Mire de cerca este nuevo piso. Después de todo, esta construcción corresponde exactamente a la definición matemática del grupo.. Hay muchos. Muchas operaciones en otra cosa.? así que lo que? Hay una operación. Operación en operaciones? y que pasa? ¿Hay un elemento neutral?, “unidad”? ¿Hay más iguales entre iguales?. Girar al ángulo cero (sin girar). Un poco extraño? No más extraño que cero como designación del conjunto vacío. Básicamente, esto es lo que él es.. La misma cara vista de perfil.. Elementos inversos? Da vueltas hacia adelante y hacia atrás. Permitimos que los ángulos de rotación sean positivos., y negativo. Bueno, también hay asociatividad en la secuencia de turnos.. El grupo de rotaciones resulta idéntico al grupo de números reales con una operación grupal “suma”. Con una diferencia significativa. No todos los números, y números en el intervalo de 0 a 360 (si medimos los ángulos en grados), o de 0 a 2π (si se mide en fracciones de la longitud del radio, es decir. en radianes).

Nosotros vimos, como un intento de describir un cierto tipo de simetría de una figura específica, círculo, nos llevó al concepto de grupo. Grupos de transformación, en este caso se convierte. Puedes rotar otras formas.? Poder, por supuesto. Y todos coincidirán consigo mismos.? No, por supuesto. Y esos, que coincidirá, tal vez no para cada turno, y para algunos — por ejemplo, figuras como un segmento de recta, triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular y todos los demás regulares “cuadrícula”.  Los llamamos simétricos.. Es decir., resulta, si la figura no cambia después de girarla en un cierto ángulo (o esquinas), entonces tiene cierta simetria. Un grupo de rotaciones nos ayudó a ver esta simetría.. Para diferentes figuras. Y solo hay un grupo (bueno, o diferentes selecciones del mismo, subgrupos). Entonces nuestro edificio está patas arriba., segunda planta (grupo de transformación, vueltas) se convierte en corriente principal, la Fundación. Y encima puedes añadir diferentes suelos de hormigón. (cifras).

¿Qué conclusiones se pueden sacar de los ejemplos anteriores??

En cuanto a la descripción de simetrías, podemos notar, que aunque el concepto de grupo no se corresponde completamente con el concepto de simetría, pero los grupos de transformación nos permiten describir bastante completamente (e identificar la presencia) si no todas las simetrías sin excepción, luego, probablemente, muchisimo. Al menos todos esos, con el que puedes asociar las invariantes disponibles en este grupo (es decir. diseños, no se modifica por todas las transformaciones de este grupo). Varios grupos — diferentes invariantes — diferentes tipos de simetrías.

En relación con los propios grupos, nuestra atención se ha centrado en el papel especial que desempeñan los grupos., cuyos elementos son transformaciones, y transformaciones activas. Respectivamente, Revelan simetrías en esos objetos., que afectan estas transformaciones. Sin embargo, es bastante claro, que las propiedades del grupo en sí mismas no están estrictamente ligadas a transformaciones de ciertos objetos específicos. Mismas propiedades, total o parcialmente, puede tener grupos de transformación, actuando sobre muchos objetos completamente diferentes. Por ejemplo, sobre formas geométricas (vueltas) y en números (grupo adicional). Etc. Aquí es donde entra en juego la idea de representación grupal.. Grupo, como abstracto, concepto ideal, Puede ser implementado por una variedad de grupos de transformación.. Exactamente o con cierta, desviaciones bien descritas. Cualquier realización de este tipo se denomina representación grupal.. Sobre lo mismo, Cómo se puede realizar el conjunto de cinco elementos con cinco piedras o cinco dedos..

La representación más conveniente de los grupos de transformación para estudiar es su representación como matrices. La razón de esto, Que los grupos matriciales son centrales en la teoría de grupos es bastante simple y al mismo tiempo fundamental.. También hace que el uso de la teoría de grupos en física sea inevitable y completo., penetrando en varios rincones de la física. Y los matemáticos también. Y junto con los grupos, el concepto de simetría se introduce naturalmente en la física.. Es necesario decir la verdad, es por eso, que para la física estos dos conceptos se vuelven casi sinónimos, El concepto de simetría en física es algo diferente del concepto cotidiano., que comentamos anteriormente.   ¿Cuál es el motivo de la transformación de los grupos y, En particular, grupos de matrices tan dedicadas a la física?

Ya he escrito varias veces en mis artículos., que cualquier descripción del mundo, usando como lenguaje matematicas, depende del procedimiento de medición. Los números en sí mismos son sólo símbolos sin significado.. Sólo entonces adquieren su significado., cuando estos símbolos están asociados con los resultados de contar o comparar algo con algo, aceptado como base, tu escala de tiempo. Y este es el procedimiento de medición.. Controlar — su forma más simple. Después de todo, aquí también hay escala — necesita ser especificado, ¿Qué pensamos exactamente?. Y el procedimiento de medición no es el único.. Muchos de ellos. y difieren, ante todo, con sus propios conjuntos de escalas, sus bases. Los propios procedimientos de medición., utilizados para describir el mundo son muchos, que se puede describir, especificando las propiedades de sus elementos, similitudes y diferencias entre ellos. Y El alcance de algunos procedimientos se puede medir utilizando otros.. Y viceversa también. Y entonces estas dimensiones transversales dan lugar a la idea de transformaciones y son descritas por ella. Conversiones de números, resultados de la medición, en otras fechas, también resultados de medición, pero obtenido de otra manera. Conversiones de escala, transformaciones de coordenadas, transformaciones de todos y cada uno de los resultados de medición. ¿Incluso interactúas con ellos?, Las transformaciones son una parte integral de cualquiera de nuestras descripciones del mundo., afirmando corresponderle. La gran cantidad de transformaciones, por lo menos, algunas partes de ella, también puede ser descrito por alguna idea. A saber, idea del grupo (diferentes grupos, para diferentes subconjuntos de transformaciones).

quiero notar, qué estas transformaciones son de naturaleza pasiva, describir un cambio de punto de vista sobre un objeto seleccionado, cambiando la forma en que se describe. Y cuando hablamos de simetrías, llegamos a transformaciones activas., manipular un objeto o sus partes. ¿Pero hay alguna diferencia?? si el tiempo es solo una secuencia de eventos, si el tiempo es solo una secuencia de eventos.

Desde el punto de vista de la aplicación de la teoría de grupos., desde el punto de vista de una idea matemática abstracta no hay diferencia. Ambas transformaciones son representaciones., implementaciones de los mismos grupos abstractos, considerado como puramente matemático, conceptos ideales. Incluso si es un tiempo común, Lo que se puede describir usando un punto de vista pasivo se puede descubrir completamente al pasar a transformaciones activas.. Y viceversa, por supuesto.

Desde el punto de vista de la física, hay una diferencia y es fundamental. En el caso de transformaciones pasivas, los cambios se producen en la forma de descripción., En términos generales, en las propiedades del observador., y no en el objeto que se describe. Pero con transformaciones activas los cambios, si ellos estan, Estos son cambios en el objeto que se describe. (partes del mundo).

Por esta razón, al aplicar el concepto de simetría en física, surgen dos ideas sobre posibles simetrías.

Uno de ellos, Basado en transformaciones activas, tiene el mismo génesis, como nuestro desempeño diario y, entonces es bastante fácil de entender. tenemos algo. Girar, reflejar, mover — partidos (permanece invariante bajo transformaciones) — significa simétrico. Cuantas más invariantes tenga un grupo, cuantas más simetrías. Yo llamo a estos simetría simetrias primer tipo.

 Pero al aplicar transformaciones pasivas, cambiando puntos de vista, pasa a primer plano una idea completamente diferente de las simetrías. Parecería, aquí también, cuantas más invariantes tenga un grupo, Cuanto más simétrico es el objeto. En este sentido todo es correcto.. Pero prestemos atención a esto.:  Cuando el grupo de transformación (es decir. puntos de vista tomados en cuenta) cada vez más ancho (el número de sus invariantes disminuye y disminuye) luego descripciones de objetos, limitando los puntos de vista (grupos de transformaciones admisibles) parecía completamente diferente, incompatible, convertirse en descripciones obviamente diferentes del mismo objeto. Piénsalo! El objeto es el mismo. (simetría!), toda la razón de eso, que consideramos un cierto conjunto de objetos diferentes, radica en eso, que este objeto es visible para nosotros (nosotros describimos) desde diferentes puntos de vista. Pero combinar estos diferentes puntos de vista en un solo grupo es difícil por una razón u otra., subjetivo u objetivo. Yo llamo a este tipo de simetría simetría del segundo tipo. Para la física, su búsqueda y la presencia de simetrías de segundo tipo son mucho más importantes., que el primer tipo al que estamos acostumbrados. La presencia de simetrías del primer tipo viola las simetrías del segundo tipo.. Sólo entonces se descubren simetrías del segundo tipo., cuando las simetrías del primero se extinguen.

Ejemplos.

Si consideramos solo rotaciones ortogonales en el plano (preservando la longitud, calculado usando el teorema de Pitágoras), entonces sólo los círculos del mismo radio con un centro común en el origen se transforman entre sí. Es decir. solo un solo circulo. Agreguemos cambios a lo largo de una coordenada. — todos los círculos con centros en este eje de coordenadas se convierten en imágenes de un solo. Agreguemos cambios a lo largo de dos coordenadas. — En un plano, todos los círculos del mismo radio son imágenes de uno.. Agreguemos escala general, cambio simultáneo en la misma proporción de escalas a lo largo de ambas coordenadas (es decir. cambio de longitud) — en general, cualquier círculo resulta ser imágenes de un solo. Y si resolvemos diferentes escalas en dos coordenadas, entonces podemos darnos cuenta, ¿Cuál es la diferencia entre todo tipo de elipses? (incluyendo círculos) Ocurre debido a o puede ser compensado simplemente por un cambio de perspectiva., procedimientos de medición.

Aquí hay un ejemplo de la vanguardia de la ciencia.. Hace bastante tiempo, se convirtió en un lugar común en física entender que, que las partículas elementales son representaciones del grupo de Poincaré. hagámonos una pregunta, ¿Qué tan amplio es este grupo?, ¿Incluye todas las transformaciones permitidas de los procedimientos de medición sin excepción?, cambios aceptables en el punto de vista? Claro, lo que no es. Al menos somos concebibles una transición hacia transformaciones desde grupos mucho más amplios., incluidos el uno en el otro, hasta el grupo más general de transformaciones localmente no singulares, preservando sólo el número de dimensiones del espacio-tiempo. Sin embargo, tal ampliación del grupo debe analizarse no sólo desde el punto de vista de la admisibilidad de lo concebible, pero también desde el punto de vista de nuestras posibilidades reales de ello. (extensión) implementar. En este camino puedes llegar (entender) Razones para combinar partículas elementales en familias., así como las razones de la diferencia en las características de las partículas individuales., unidos en estas familias. Entonces, lo que ahora se llama simetrías internas rotas en física.

Y ahora sobre la razón por la que los grupos matriciales están en el centro de la teoría de grupos.. ella transparente — las transformaciones pasivas generan localmente matrices de transición de una coordenada a otra (de un procedimiento de medición a otro, de una descripción del mundo a otra). En el caso de una sola escala en el procedimiento de medición, la matriz se reduce a un solo número, relación entre las escalas de diferentes procedimientos. Si hay dos escalas, hay cuatro de esos números y se combinan en una tabla., matriz cuadrada 2x2. Cuadrado porque, que el número de escalas en cada procedimiento de medición debe ser necesario y suficiente para una descripción completa del objeto medido, lo que significa uno y el mismo. Se necesitan más escalas para describir un objeto. — más números en la columna y fila de la matriz. 3x3, 4x4, etc. Respectivamente, en representación numérica, los grupos de transformación son grupos de matrices. Esta es la implementación principal de cualquier grupo., permitiéndote estudiar sus propiedades directamente.

En matemáticas y física, Además de las ideas sobre simetría discutidas anteriormente, hay una más, parece bastante formal, pero de hecho también es un concepto muy importante de simetría. (y antisimetría) Objetos matemáticos y físicos representados por ellos.. Se remonta al concepto de inmutabilidad. (o la presencia de cambios de un tipo determinado) cualquier objeto compuesto cuando sus partes se reorganizan. Ejemplo sencillo — un objeto es un conjunto de dos (o más) artículos completamente idénticos. Cómo no intercambiar estos artículos, el objeto mismo (todo el conjunto, como un todo) no cambia.

Objetos geométricos, excepto los más simples, escalar, son tales conjuntos, conjuntos de resultados de medición. Para eso, para distinguirlos unos de otros, cada componente está asignado índices. El objeto en sí está marcado con una letra., etiqueta. Y a esta carta de la derecha, en la cima y (o) agregar un índice en la parte inferior, que puede tener un valor de número de escala, con el que está asociada la medición de esta propiedad en particular, este componente de objeto. Hay dos tipos de medidas.. Directo, Decir en qué relación se encuentra una propiedad dada. (componente) objeto a la escala especificada, hablo groseramente, cuantas veces cabe la báscula en un objeto determinado. En este caso el índice, número de escala, Se coloca encima y el componente adquiere la dimensión de esta escala.. Por ejemplo, metros, centímetros, un segundo. Este índice se llama contravariante.. También hay relacionados, medidas especificas, hablando de eso, ¿cuánto de este componente?, La propiedad de un objeto dado cae en la escala unitaria correspondiente.. Dimensión, respectivamente, 1 dividido por metro, por centímetro o segundo. bastante comprensible, que las medidas directas y conjugadas se conjugan por multiplicación. Por ejemplo, si hablamos de una sola escala, entonces los objetos más simples tendrán un componente y un producto de componentes conjugados del mismo objeto, medido de manera diferente, le daré uno (sin dimensiones! un item, no importa cual) para cualquier elección de escala. Distinguir entre medidas directas y conjugadas., el índice de este último siempre se escribe debajo y se llama covariante.

Si un objeto geométrico tiene dos o más índices del mismo tipo (contravariante o covariante, pero no tipo mixto), entonces es posible construir dos nuevos objetos geométricos a partir de los componentes de este objeto. Estos dos objetos se llaman partes simétricas y antisimétricas del objeto original.. Por ejemplo, tomemos un objeto B^yo_jk. A partir de sus componentes se pueden formar dos objetos.,  S^yo _jk = 1/2 ( B^yo_jk + B^yo_kj) y A^yo_jk = 1/2 ( B^yo_jk – B^yo_kj),  entonces el objeto original es la suma de ellos:   B^yo_jk = S^yo_jk + A^yo_jk. Todas estas fórmulas deben entenderse de la siguiente manera, ¿Qué pasa si en lugar de los índices j y k ponemos sus valores específicos?, entonces, para todos esos valores, se cumplirán las igualdades escritas. Por ejemplo, S^yo₁₂ = 1/2 ( B^yo₁₂ + B^yo₂₁)  por cualquier valor yo. ObjetosS^yo_jk yA^yo_jk tener nombres especiales — parte simétrica   y parte antisimétrica objeto B^yo_jk. Estos nombres son equivalentes a las relacionesS^yo_jk=S^yo _kj      yA^yo_jk= –A^yo_kj    , que obviamente se cumplen para ellos debido a su estructura. Las operaciones de selección de partes simétricas y antisimétricas generalmente se denominan simetrización y antisimetrización. Dado que estas operaciones son invariantes bajo transformaciones de coordenadas (elegir un procedimiento de medición), es decir. Las relaciones se conservan en todos los sistemas de coordenadas., si son correctos en alguno, entonces la igualdad a cero de cualquiera de las partes es un hecho absoluto, independiente de la elección del sistema de coordenadas. Es decir. si algún objeto es simétrico (la parte antisimétrica es cero), entonces esto es cierto sin importar cómo se describa. Lo mismo se aplica a la antisimetría.. Como una cuestión de hecho, estas dos partes son independientes entre sí. Simetrización (selección de parte simétrica) Los objetos geométricos sólo se pueden trazar utilizando un número par de índices del mismo tipo.. Pero la antisimetrización se puede realizar utilizando un número arbitrario de dichos índices. (si existen,por supuesto), agregando a la fórmula que define esta operación términos con índices reordenados cíclicamente y un signo más para un número total par de permutaciones y un signo menos para uno impar. además, en lugar del multiplicador 1/2 el número de permutaciones únicas posibles debe usarse como factor de ponderación, es decir. debes dividir la suma resultante por el factorial del número de índices del mismo tipo que participan en la operación. Por ejemplo, hay tres contravariantes (o covariante) índice. Entonces la suma incluirá términos con índices de la forma: +ijk -ikj +kij -kji +jki -jik, Total 6. Y el multiplicador de peso será 1/3!=1/6. No es casualidad que la diferencia entre estas dos operaciones. Un poco, La antisimetrización es una operación más fundamental., incluso está relacionado con una rama especial de las matemáticas, teoría de las formas. Hay hechos muy importantes en la geometría misma., sobre objetos completamente antisimétricos. somos parte del mundo, antisimetrización por el número de índices, superando la dimensión del espacio da automáticamente cero. Y si hay igualdad — o volumen (para índices contravariantes), o su cantidad conjugada, Densidad a Granel.   La simetrización también es una operación muy importante., pero en cierto modo es más privado, tiene un poco más especial, no significado universal. Por ejemplo, En el caso espacios métricos. Aunque estos comentarios son bastante relativos. Después de todo, una de las direcciones para clasificar las estructuras más importantes para la geometría., conexión afín y tensor de curvatura se basa precisamente en la separación de sus partes simetrizadas y antisimetrizadas.

Estas operaciones aparentemente puramente formales con índices en realidad nos permiten describir algunas propiedades muy fundamentales de los objetos del mundo real.. Usando estos conceptos es posible clasificar, enumera estas propiedades.

© Gavryusev V.G.
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