¿Qué es una métrica?? ¿Para qué se usa esto?? es un campo fisico?

Métrica En nuestro tiempo está firmemente conectado con la teoría de la gravedad., gracias a los esfuerzos Gilberto y Einstein Juntos con Hombre bruto. Sin embargo, se introdujo en las matemáticas mucho antes.. Si no me equivoco, entre los primeros que lo usaron explícitamente de una forma u otra, eran Riemann y Gauss. Primero intentaremos comprender su papel en la geometría y sólo entonces veremos, ¿Cómo se convirtió la métrica en la estructura principal de la relatividad general?, Esto se manifestó más claramente en la última teoría exitosa.

Hoy en día existe una definición bastante detallada y clara de espacios métricos de una forma bastante general.:

Espacio métrico (“equipado con una métrica”) En matemáticas llaman a ese espacio., en el que para dos de sus puntos ordenados (es decir, uno de ellos se nombra primero, y el otro – segundo) un número real se define como, que es igual a cero, entonces y sólo entonces, cuando los puntos coinciden, y la desigualdad se mantiene “triángulo” – por tres puntos cualesquiera (que entre dos puntos cualquiera se puede definir invariablemente,y,z) este número es para cualquier par (que entre dos puntos cualquiera se puede definir invariablemente,y) igual o menor que la suma de estos números para los otros dos pares, (que entre dos puntos cualquiera se puede definir invariablemente,z) y (y,z). También se desprende de la definición, que el número no es negativo y no cambia (la métrica es simétrica) al cambiar el orden de los puntos en un par.

Как водится, как только определили что-то, так это определение расширяют и название распространяют и на другие, похожие пространства. Так и здесь. Por ejemplo, псевдоевклидовы пространства estrictamente formalmente no será métrico según la definición dada anteriormente, porque. ellos “métrico” número, intervalo, puede ser cero para dos puntos diferentes, y además su cuadrado puede ser un número real negativo. Sin embargo, han estado incluidos en la familia de los espacios métricos casi desde el principio., simplemente снимая соответствующее требование в определении, расширяя определение.

además, метрику можно определять также не для всех точек пространства, а только для бесконечно близких (en la zona). Такие пространства называют Римановыми и в обиходе тоже называют метрическими. Además, именно Римановы пространства и сделали метрику такой известной и привлекающей внимание как математиков, так и физиков, и знакомой даже многим людям, мало связанным с этими науками.

В конечном итоге, мы здесь будем обсуждать метрику применительно именно к Римановым пространствам, es decir. в локальном смысле. И даже локально знако неопределённую.

Формальное математическое определение и его расширения – это итог осмысления и уточнения понятия о метрике. Посмотрим, ¿De dónde vino este concepto?, ¿Con qué propiedades del mundo real se asoció originalmente?.

Toda la geometría surgió de esos conceptos., que fueron formalizados originalmente Euclides. También lo es la métrica.. En geometría euclidiana (Por simplicidad y claridad hablaremos de geometría bidimensional., y por lo tanto sobre la geometría del avión.) existe el concepto de distancia entre dos puntos. Очень часто и теперь метрику называют именно расстоянием. Потому что для евклидовой плоскости расстояние является метрикой, а метрика – расстоянием. И именно так она была осмыслена в самом начале. Хотя, как я постараюсь показать, к современному понятию метрики это относится только в очень ограниченном, со многими оговорками и условиями, смысле.

Расстояние на евклидовой плоскости (en un trozo de papel) кажется чрезвычайно простой и очевидной вещью. En realidad, с помощью линейки можно провести прямую линию между любыми двумя точками и измерить её длину. El número resultante será la distancia.. Tomando el tercer punto, puedes dibujar un triángulo y ver, ¿Qué distancia es esta? (para dos puntos cualesquiera en el plano) в точности удовлетворяет приведённому выше определению. Собственно, определение и было срисовано один к одному со свойств евклидова расстояния на плоскости. И слово “métrica” изначально связано с измерением (с помощью метра), “метризацией” плоскости.

А для чего потребовалось измерять расстояния, проводить эту самую метризацию плоскости? Bien, для чего меряют расстояния в реальной жизни всякий, quizás, имеет своё представление. А в геометрии по-настоящему об этом задумались, когда ввели координаты для того, describir cada punto del plano de forma separada y única de los demás. El sistema de coordenadas en el avión será claramente más complicado que simplemente la distancia entre dos puntos.. Aquí comienza la cuenta atrás, и оси координат, и расстояния (как без них обойтись?) от начала отсчета до проекций точки на оси. Для чего нужна система координат вроде бы ясно – это сплошная сетка перпендикулярных друг другу линий (если координаты декартовы), полностью заполняющая плоскость и таким образом решающая проблему адреса любой точки на ней.

Resulta, métrica – distancia y coordenadas – distancias. Hay una diferencia? Coordenadas ingresadas. ¿Por qué entonces una métrica?? Hay una diferencia, y muy significativo. La elección de sistemas de coordenadas implica cierta libertad.. В декартовых системах мы используем как оси прямые линии. Но ведь можем использовать и кривые? Poder. И всякие извилистые тоже. Мы можем измерять расстояние вдоль таких линий? Por supuesto. Измерение расстояния, длины вдоль линии не связано с тем, какая это линия. У кривой дорожки тоже есть длина и на ней можно расставить верстовые столбики. Pero la métrica en el espacio euclidiano no es una distancia arbitraria.. Esta es la longitud de la línea recta., conectando dos puntos. Directo. ¿Qué es?? cual linea es recta, que curva? En el curso escolar hay líneas rectas. – este es un axioma. Los vemos y nos hacemos una idea.. Pero en general la geometría es recta. (ese en si mismo es el nombre, etiqueta, que cualquier acuerdo es sumamente importante para el resultado final que obtuvimos!) можно определить как некоторые особенные линии среди всех возможных, соединяющих две точки. A saber, как кратчайшие, имеющие наименьшую длину. (А в некоторых случаях, para algunos espacios matemáticos, viceversa, más largo, teniendo la mayor longitud.) Parecería, Captamos la diferencia entre la métrica y la distancia arbitraria entre dos puntos.. No estaba ahí. Tomamos el camino equivocado. sí, así es, derecho – más corto en el espacio euclidiano. Pero la métrica – no es solo la longitud del más corto. No. Esta es su propiedad secundaria.. В евклидовом пространстве метрика не только расстояние между двумя точками. Métrica – este es, ante todo, образ теоремы Пифагора. Теоремы, que te permite calcular la distancia entre dos puntos si conoces sus coordenadas, otras dos distancias. Además, se calcula de forma muy específica., как корень квадратный из суммы квадратов координатных расстояний. Евклидова метрика является не линейной формой координатных расстояний, а квадратичной! Только специфические свойства евклидовой плоскости делают связь метрики с кратчайшими путями, соединяющими точки, такой простой. Las distancias son siempre funciones lineales del desplazamiento a lo largo del camino.. La métrica es una función cuadrática de estos desplazamientos.. И здесь лежит фундаментальное отличие метрики от интуитивно понимаемого расстояния, как линейной функции смещения из точки. Además, для нас вообще расстояние напрямую ассоциируется именно с самим смещением.

Porqué entonces, с какой стати квадратичная функция смещений так важна? И в самом ли деле она имеет право называться расстоянием в полном смысле этого слова? Или это достаточно специфическое свойства только Евклидова пространства (bien, o alguna familia de espacios cercanos al euclidiano) ?

Demos un pequeño paso a un lado y hablemos con más detalle sobre las propiedades de las unidades de medida.. hagámonos una pregunta, ¿Cómo deberían ser los gobernantes?, para que puedas poner una cuadrícula de coordenadas en una hoja de papel? tenemos la capacidad práctica de adherirnos a este acuerdo, rígido e inmutable, tu dices. Y por qué “gobernantes”? Uno es suficiente! Bien, si se puede girar como se desee en el plano del papel y moverse a lo largo de él. Observó “Si”? sí, tenemos la oportunidad de utilizar dicha regla en relación con un avión. Линейка сама по себе, плоскость сама по себе, но плоскость позволяет “приложить” к себе нашу линейку. А применительно к сферической поверхности? Как не прикладывай – всё торчит вне поверхности. Так и хочется её загнуть, отказаться от твёрдости и жёсткости. Оставим пока это направление мысли. Что ещё мы хотим от линейки? Твёрдость и жёсткость на самом деле подразумевают нечто иное, mucho más importante para nosotros a la hora de medir – garantía de invariancia de la línea seleccionada. Queremos medir con la misma escala. ¿Por qué es esto necesario?? A qué te refieres con por qué?! Чтобы иметь возможность сравнивать результаты измерения всюду в плоскости. Как бы мы не поворачивали линейку, как бы её не смещали – некоторое её свойство, длина, должно быть гарантированно неизменным. Largo – это расстояние между двумя точками (по прямой) на линейке. Очень похоже на метрику. Но метрика вводится (или существует) в плоскости, для точек плоскости, ¿Qué tiene que ver el gobernante con esto?? Y al mismo tiempo, qué la métrica es precisamente la imagen de la longitud constante de una regla abstracta llevada a su conclusión lógica, оторванным от самой внешней линейки и приписанным каждой точке плоскости.

Хотя наши линейки всегда являются внешними предметами для измеряемых ими расстояний на плоскости, но мыслим-то мы их также и как внутренние, принадлежащие плоскости масштабы. Por eso, речь идёт об общем свойстве, как внешней линейки, так и внутренней. И свойство это одно из двух главных -величина, luego, что и делает масштаб единицей измерения (второе свойство масштаба – это направление). Для евклидова пространства это свойство представляется независимым от направления линейки и её положения (от точки пространства). Есть два способа выражать такую независимость. Первый способ, пассивный взгляд на вещи, говорит об инвариантности величины, ее одинаковости при произвольном выборе допустимых координат. Второй способ, активный взгляд, говорит об инвариантности при смещении и повороте, в результате явного перехода от точки к точке. Эти способы не эквивалентны друг другу. Первый просто является формализацией утверждения, что величина, существующая в данном месте (точке) одна и та же независимо от точки зрения. Второй же утверждает также, что значения величины в разных точках одинаковы. Claro, что это гораздо более сильное утверждение.

Остановимся пока на инвариантности величины масштаба при произвольном выборе координат. Оп-па! Как это? Чтобы приписать координаты точкам уже нужно иметь масштабы. Es decir. эту самую линейку. Другие координаты – Qué es esto? Другие линейки? На самом деле именно так! Pero! Entonces, что мы в евклидовой плоскости можем поворачивать нашу линейку в точке как нам хочется, создаёт видимость, что координаты можно изменять, не изменяя линейку. Это иллюзия, pero que ilusión tan placentera! Cómo nos acostumbramos! nosotros hablamos todo el tiempo – sistema de coordenadas rotado. И базируется эта иллюзия на некотором постулированном свойстве масштаба в евклидовой плоскости – инвариантности его “длины” при произвольном повороте в точке, es decir. при произвольном изменении второго свойства масштаба, направления. И это свойство имеет место в любой точке евклидовой плоскости. Масштаб всюду имеет “длину”, не зависящую от локального выбора направлений осей координат. Это постулат для евклидова пространства. И как же эту длину мы определяем? В системе координат, в которой выбранный масштаб является единицей измерения по одной из осей, определяем очень просто – это и есть та самая единица. А в системе координат (прямоугольной), в которой выбранный масштаб не совпадает ни с одной из осей? С помощью теоремы Пифагора. Теоремы-то теоремы, да здесь немного обмана есть. ni de implementación inmediata, теорема эта должна бы заменить некоторые аксиомы, formulado por Euclides. ella es equivalente a ellos. Y con una mayor generalización de la geometría. (para superficies arbitrarias, por ejemplo) confiar específicamente en el método de cálculo de la longitud de la escala. Como una cuestión de hecho, переводят этот способ в разряд аксиом.

Повторим теперь кое-что, что лежит в основе геометрии, что позволяет приписывать точкам плоскости координаты.

Речь идёт о единице измерения, масштабе. Масштаб существует в любой точке. Имеет величину – “длину” и направление. Длина является инвариантом (не меняется) при изменении направления в точке. В прямоугольных координатах в евклидовом пространстве квадрат длины масштаба, направленного из точки произвольно, равен сумме квадратов его проекций на оси. Такая геометрическая величина еще называется вектором. Значит масштаб это вектор. A “длина” вектора еще называется нормой. Bien. Но где же тут метрика? A métrica при таком подходе и есть способ приписать любому вектору в каждой точке норму, способ вычисления этой нормы при произвольном положении этого вектора относительно векторов, составляющих базу, репер (тех, которые определяют направления осей координат из данной точки и имеют единичную норму по определению, es decir. единиц измерения). Очень важно то, что такой способ определён для каждой точки пространства (плоскости в данном случае). ¿Incluso interactúas con ellos?, он является свойством этого пространства и его внутренних векторов, y no objetos externos al espacio.

Euclides, pero ya desde el principio dimos la definición de espacios métricos. ¿Por qué una nueva definición?? ¿Y está de acuerdo con el viejo?? Pero por qué. Здесь мы указали как именно задается, определяется это самое действительное число. A saber, расстояние между точками равно “длине”, норме вектора, соединяющего эти точки (в евклидовом пространстве). Entonces, что вектор имеет некоторую норму, независимую от точки зрения на него (выбор репера) является определением вектора. Важнейшим условием, которое и делает при этом пространство метрическим, является требование, чтобы векторы с заданной нормой существовали в каждой точке пространства во всех направлениях. И это определение вполне согласуется с приведённым в самом начале. ¿Es posible definir una métrica de manera diferente en un espacio determinado?? En principio, Poder. E incluso de muchas maneras. Solo que estas serán clases de espacios completamente diferentes., не включающие в себя евклидово пространство даже как частный случай.

Чем же евклидово пространство для нас особенное? Bien, как это чем? На первый взгляд, именно такими свойствами и обладает то самое пространство, в котором мы живём. sí, при более внимательном рассмотрении, не совсем такими. Но есть ведь разница между “не совсем такими” y “совсем не такими”?! Хотя набор слов вроде тот же. Так что наше пространство-время если и не евклидово, то при определённых условиях может быть очень близким к нему. Por eso, выбирать мы должны из той семьи пространств, в которой евклидово пространство имеется. Так мы и делаем. Pero de todos modos, что такого особенного в евклидовом пространстве, что находит своё выражение в определённых свойствах его метрики? Свойств довольно много, о большинстве их уже упоминалось выше. Попробую сформулировать эту особость достаточно компактно. Евклидово пространство таково, что в нём имеется возможность выбрать масштабы (то есть ввести координаты) nuestro triángulo se puede transferir sin cambiar estas proporciones a cualquier punto en una hoja de papel y rotarlo como quieras, что оно оказывается полностью заполнено прямоугольной сеткой координат. Возможно это когда метрика в каждой точке пространства одна и та же. По существу, это означает, что нужные для этого масштабы существуют в каждой точке пространства и все они тождественны одному единственному. Для всего пространства достаточно одной линейки, которая может быть перенесена в любую точку (в активном смысле) без изменения и её величины, и её направления.

Выше я поставил вопрос, почему метрика является квадратичной функцией смещения. Он пока остаётся без ответа. Мы к этому обязательно ещё придём. А сейчас отметьте для себя на будущее – метрика в нужном нам семействе пространств есть величина инвариантная относительно преобразований координат. Мы говорили пока о декартовых координатах, но я здесь сразу подчеркну – это верно для любых преобразований координат, которые допустимы в данной точке данного пространства. Величина, инвариантная (не изменяющаяся) al transformar coordenadas, tiene otro nombre especial en geometría – escalar . Mirar, cuantos nombres para lo mismo? – constante, invariante, escalar… Tal vez haya algo más, no viene a la mente de inmediato. Esto habla de la importancia del concepto en sí.. Así que aquí, una métrica es un escalar en cierto sentido. Por supuesto, Hay otros escalares en geometría..

¿Por qué en “en cierto sentido”? Es por eso, qué, в понятие метрики входят две точки а не одна! А вектор связан (определён) только с одной точкой. Выходит я ввёл вас в заблуждение? No, просто сказал ещё не всё, что нужно сказать. А нужно сказать, что метрика это норма не произвольного вектора, а только вектора бесконечно малого смещения из данной точки в произвольном направлении. Когда эта норма не зависит от направления смещения из точки, тогда её скалярное значение может рассматриваться как свойство только одной этой точки. Donde, она всё равно остаётся также и правилом вычисления нормы для любого другого вектора. Como esto.

Что-то не сходится… Нормы-то у разных векторов разные! А метрика скаляр, величина одинаковая. Противоречие!

Sin contradicción. lo dije claramente – regla de cálculo. Para todos los vectores. Y el valor específico en sí., que también se llama métrica, вычисляется согласно этому правилу только для одного вектора, смещения. Язык наш привычен к вольностям, умолчаниям, сокращениям… Por eso estamos acostumbrados a llamar métrica tanto a un escalar como a la regla para calcularlo.. Por supuesto, es casi lo mismo. Casi, pero no realmente. Todavía es importante ver la diferencia entre una regla y un resultado., obtenido con su ayuda. ¿Qué es más importante? – regla o resultado? Que extraño, en este caso, regla… Por lo tanto, mucho más a menudo en geometría y física., cuando hablan de métricas, se refieren a la regla. Только очень уж упёртые математики предпочитают говорить строго о результате. И этому есть причины, но о них в другом месте.

Хочу также отметить, что при более обычном способе изложения, когда за основу берутся понятия векторных пространств, метрика вводится как скалярное попарное произведение всех векторов базиса, репера. En este caso, el producto escalar de vectores debe definirse de antemano.. y en el camino, que seguí aquí, es la presencia de un tensor métrico en el espacio lo que nos permite introducir, определить скалярное произведение векторов. Здесь метрика первична, её наличие позволяет ввести скалярное произведение, как некий инвариант, связывающий два разных вектора. Si se utiliza una métrica para calcular un escalar para el mismo vector, entonces esta es solo su norma. Si este escalar se calcula para dos vectores diferentes, entonces este es su producto escalar. Если это ещё и норма бесконечно малого вектора, то её-то вполне допустимо называть просто метрикой в данной точке.

И что же мы можем сказать о метрике как о правиле? Здесь нам придётся использовать формулы. Пусть координаты вдоль оси с номером i у нас обозначаются как x^yo. А смещение из данной точки в соседнюю dx^yo. Обращаю ваше внимание – координаты не вектор! А смещение как раз вектор! В таких обозначениях метрическое “que entre dos puntos cualquiera se puede definir invariablemente” между данной точкой и соседней, согласно теореме Пифагора будет вычисляться с помощью формулы

ds² = g_yo dx^yo dx^k

Слева здесь стоит квадрат метрического “distancias” между точками, “координатное” (то есть по каждой отдельной координатной линии) расстояние между которыми задано вектором смещения dx^yo. Справа сумма по совпадающим индексам всех попарных произведений компонент вектора смещений с соответствующими коэффициентами. А их таблица, матрица коэффициентов g_yo, которая и задаёт правило вычисления метрической нормы, называется метрическим тензором. И именно этот тензор в большинстве случаев и называют метрикой. Термин “tensor” здесь чрезвычайно важен. И означает он, что в другой системе координат формула, записанная выше будет той же самой, только таблица будет содержать другие (en general) коэффициенты, которые вычисляются строго заданным способом через эти и коэффициенты преобразования координат. Евклидово пространство характерно тем, que en coordenadas cartesianas la forma de este tensor es sumamente simple e igual en cualquier coordenada cartesiana. La matriz del Sr._yo contiene solo unos en la diagonal (en i=k), y el resto de los numeros son ceros. Если в евклидовом пространстве используются не декартовы координаты, то в них матрица уже будет выглядеть не так просто.

asi que, мы записали правило, определяющее метрическое “que entre dos puntos cualquiera se puede definir invariablemente” между двумя точками в евклидовом пространстве. Это правило записано для двух сколь угодно близких точек. В евклидовом пространстве, es decir. в таком, в котором метрический тензор может быть диагональным с единицами на диагонали в некоторой системе координат в каждой точке, нет принципиальной разницы между конечными и бесконечно малыми векторами смещения. Но нас больше интересует случай Римановых пространств (таких как поверхность шара, por ejemplo), где эта разница существенна. De modo que, мы допускаем, что метрический тензор в общем случае не диагональный и меняется при переходе от точки к точке в пространстве. Но результат его применения, ds², остаётся при этом в каждой точке независимым от выбора направления смещения и от самой точки. Это очень жёсткое условие (менее жёсткое, чем условие евклидовости) и именно при его выполнении пространство и называют Римановым.

Вы наверное обратили внимание, что очень часто я беру в кавычки слова “длина” и расстояние”. Делаю я это вот почему. В случае плоскости и трехмерного евклидова пространства, métrico “que entre dos puntos cualquiera se puede definir invariablemente” y “длина” кажутся в точности совпадающими с обычными расстояниями, измеряемыми линейками. Además, эти понятия и были введены для формализации работы с результатами измерений. Почему же тогда “кажутся совпадающими”? Забавно, но это именно тот случай, когда математики вместе с грязной (не нужной им) водой выплеснули из ванны и ребёнка. No, они кое-что и оставили, но то, что осталось перестало быть ребёнком (расстоянием). Это легко увидеть даже на примере евклидовой плоскости.

Напомню – métrico “que entre dos puntos cualquiera se puede definir invariablemente” не зависит от выбора декартовых (и не только) coordenadas, decir, en un trozo de papel. Пусть в одних координатах, это расстояние между двумя точками на оси координат равно 10. Можно ли указать другие координаты, en el que la distancia entre estos mismos puntos será igual a 1? Ningún problema. Simplemente traza la nueva unidad como una unidad a lo largo de los mismos ejes., igual a 10 anterior. Разве евклидово пространство от этого изменилось? В чём дело? А дело в том, что когда мы что-то измеряем, нам мало знать число. Нам нужно ещё знать, какие единицы были использованы для получения этого числа. Математика в привычной сегодня всем форме этим не интересуется. Она имеет дело только с числами. Выбор единиц измерения сделан до применения математики и меняться больше не должен! Но наши расстояния, длины без указания масштабов нам ничего не говорят! А математике всё равно. Когда речь идёт о метрическом “distancia”, её формальное применение безразлично к выбору масштаба. Хоть метры, хоть сажени. Только числа важны. Вот поэтому-то я и поставил кавычки. Знаете какой побочный эффект имеет такой подход в математике Римановых пространств? А вот какой. Рассматривать изменение масштаба от точки к точке не имеет смысла. Только изменение его направления. И это при том, что изменение масштабов с помощью координатных преобразований в такой геометрии вполне обыденная вещь. Можно ли включить в геометрию последовательное рассмотрение свойств масштабов во всей их полноте? Poder. Solo для этого придётся убрать множество соглашений и приучиться называть вещи своими, правильными именами. Одним из первых шагов будет осознание того факта, что никакая метрика по существу своему расстоянием не является и быть им не может. Ella es, безусловно, имеет некоторый физический смысл, притом весьма важный. Но другой.

В физике внимание к роли метрики было привлечено с появлением теорий относительности – сначала специальной, потом общей, в которой метрика стала центральной структурой теории. Специальная Теории Относительности сформировалась на базе того факта, que la distancia tridimensional no es escalar desde el punto de vista del conjunto de inercias, Sistemas de referencia físicos que se mueven entre sí de manera uniforme y rectilínea.. Скаляром, инвариантом оказалась другая величина, которую назвали интервалом. Интервалом между событиями. И для вычисления его значения нужно учесть и промежуток времени между этими событиями. Además, resultó, что и правило вычисления метрики (а интервал сразу стал рассматриваться в качестве метрики в объединенном пространстве-времени, пространстве событий) отлично от привычного евклидова в трёхмерном пространстве. Похоже, но немного другое. Соответствующее метрическое пространство четырёх измерений, введённое Германом Минковским, стали называть pseudo-euclidiano. Именно работа Минковского привлекла внимание физиков, включая Эйнштейна, к важности понятия метрики как физической величины, а не только математической.

La Teoría General de la Relatividad también incluyó en consideración sistemas físicos de referencia acelerados entre sí.. Y, por lo tanto, pudo describir los fenómenos gravitacionales a un nuevo nivel en relación con la teoría de Newton. Y lo logró dándole el significado del campo físico a la métrica. – и величине и правилу, метрическому тензору. При этом она использует как образ пространства-времени математическую конструкцию Риманова пространства. No entraremos demasiado en los detalles de esta teoría.. Además de todo lo demás, esta teoría afirma, que el mundo (tiempo espacial), que tiene cuerpos enormes, es decir, cuerpos que se atraen entre sí. , имеет метрику отличную от столь приятной нам евклидовой метрики. Все помещённые ниже утверждения эквивалентны:

• 
  
  Физическое утверждение. Точечные тела, имеющие массу, se sienten atraídos el uno por el otro.
  
  
• 
  
  en el espacio-tiempo, que tiene cuerpos enormes, no se puede introducir una cuadrícula rectangular rígida en todas partes. No existen tales instrumentos de medición., que te permiten hacer esto. Всегда сколь угодно мелкие “клеточки” получающейся сетки будут кривыми четырёхугольниками.
  
  
• 
  
  Можно выбрать масштаб с одной и той же величиной (нормой) для всего пространства-времени. Любой такой масштаб можно переместить из его точки в любую другую точку и сравнить с уже существующим там. PERO! Даже если смещение бесконечно мало, las direcciones de las escalas comparadas generalmente no coincidirán. El fuerte, cuanto más cerca esté la báscula del cuerpo, que posee masa y cuanto mayor sea esta misma masa. Sólo donde no hay masas (verdad, aquí tienes una pregunta – Pero ¿qué pasa con la escala en sí??) las direcciones coincidirán.
  
  
• 
  
  En la región del espacio-tiempo, содержащей массивные тела не существует такой системы координат, в которой метрический тензор в каждой точке представлен матрицей, нулевой всюду, кроме диагонали, на которой находятся единицы.
  
  
• 
  
  Отличие метрики от евклидовой является проявлением наличия гравитационного поля (поля тяготения). Además, поле метрического тензора и есть гравитационное поле.
  
  
• 
  
  tiempo espacial, que contiene cuerpos masivos tiene un valor distinto de cero en cada punto curvatura.
  
  

Se podrían citar muchas más declaraciones similares., pero ahora me gustaría llamar su atención sobre lo último. Curvatura. Es algo, что мы еще не обсуждали. Какое отношение она имеет к метрике? En general – никакого! Curvatura является понятием более общим чем метрика. В каком смысле?

Семейство Римановых пространств, включающее и Евклидовы пространства, само входит в более общее семейство пространств аффинной связности. Эти пространства, generalmente hablando, не подразумевают существование такой величины, как метрика, для каждой своей пары точек. Зато необходимым их свойством является существование двух других структур, связанных друг с другом – аффинной связности и кривизны. Y solo bajo ciertas condiciones de curvatura. (o coherencia), en tales espacios hay una métrica. Entonces estos espacios se llaman riemannianos.. В любом Римановом пространстве есть связность и кривизна. Но не наоборот.

Но нельзя также сказать, что метрика вторична по отношению к связности или кривизне. No. Существование метрики – это констатация определённых свойств связности, а значит и кривизны. В стандартной интерпретации ОТО метрика рассматривается как более важная, образующая форму теории, estructura. А аффинная связность и кривизна оказываются при этом вторичными, производными от метрики. Эта интерпретация заложена Эйнштейном, в те времена, когда математика ещё не выработала достаточно продвинутого и последовательного понимания иерархии по степени важности структур, которые определяют свойства семейства пространств, ведущих к евклидовым. Уже после создания аппарата ОТО, в первую очередь трудами Вейля y Схоутена (не их одних, por supuesto), была разработана математика пространств аффинной связности. Собственно, работа эта была стимулирована появлением ОТО. Como ves, каноническая интерпретация важности структур в ОТО не совпадает с нынешним взглядом математики на их соотношение. Эта каноническая интерпретация представляет собой не что иное, как отождествление тех или иных математических структур с физическими полями. Придание им физического смысла.

В ОТО имеется два плана описания пространства-времени. Первый из них – само пространство-время как пространство событий. si el tiempo es solo una secuencia de eventos, непрерывно заполняющие любую область пространства-времени характеризуются с помощью четырех координат. Por eso, системы координат подразумеваются введёнными. Само название теории акцентирует внимание именно на этом – законы природы, имеющие место в таком пространстве-времени должны быть сформулированы одинаково относительно любой допустимой системы координат. Это требование называют принципом общей относительности. esto está realmente relacionado con la elección de unidades de medida a lo largo de diferentes ejes, что этот план теории ещё ничего не говорит о наличии или отсутствии метрики в пространстве-времени, но уже обеспечивает основу для существования в нём аффинной связности (вместе с кривизной и другими производными математическими структурами). Naturalmente, уже на этом уровне появляется необходимость придания физического смысла математическим объектам теории. Вот он. Точка пространства времени изображает событие, с одной стороны характеризуемое положением и моментом времени, с другой – четырьмя координатами. Что-то странное? Разве это не одно и то же? А вот нет. В ОТО это не одно и то же. Coordenadas de la forma más general., válidos en teoría no pueden interpretarse como posiciones y momentos de tiempo. Такая возможность постулируется только для очень ограниченной группы координат – локально инерциальных, которые существуют только в окрестности каждой точки, но не во всей области, накрытой общей системой координат. Это ещё один постулат теории. Вот такой вот гибрид. tomaré nota, что именно здесь рождаются многие проблемы ОТО, но разрешением их заниматься сейчас не буду.

Вторым планом теории можно считать ту часть её постулатов, которая вводит в рассмотрение на пространстве-времени физическое явление – гравитацию, взаимное притяжение массивных тел. Aprobado, que este fenómeno físico puede, bajo ciertas condiciones, destruirse simplemente eligiendo un marco de referencia adecuado, a saber, localmente inercial. Para todos los cuerpos, имеющих одинаковое ускорение (свободного падения) вследствие наличия в небольшой области гравитационного поля удалённого массивного тела, это поле не наблюдаемо в некоторой системе отсчёта. Формально, постулаты на этом кончаются, но фактически основное уравнение теории, которое и вводит в рассмотрение метрику, тоже относится к постулатам, и как математическое утверждение, и как физическое. Хотя я не собираюсь вдаваться в детали уравнения (De hecho, системы уравнений), pero sigue siendo útil tenerlo delante de tus ojos:

R_yo= -s (T_yo – 1/2 T g_yo)

Aquí a la izquierda está el llamado tensor. Richie, convolución definida (combinación de componentes constituyentes) tensor de curvatura total. Con razón también se le puede llamar curvatura.. A la derecha hay una construcción del tensor de energía-momento. (cantidad puramente física en la relatividad general, сингулярная для массивных тел и внешняя для пространства-времени, которое для энергии-импульса в этой теории является просто носителем) и метрики, которая подразумевается существующей. Причём метрика эта, как скалярная величина, производимая метрическим тензором, одинакова для всех точек области. Ещё есть размерная постоянная с, пропорциональная гравитационной постоянной. De esta ecuación queda claro, qué, en general, La curvatura se compara con la energía-momento y la métrica.. El significado físico se le asigna a la métrica en la relatividad general luego de obtener una solución a estas ecuaciones.. Поскольку в этом решении коэффициенты метрики оказываются связаны линейно с потенциалом гравитационного поля (вычисляются через него) entonces al tensor métrico se le asigna el significado de los potenciales de este campo. Con este enfoque, la curvatura debería tener un significado similar.. А аффинная связность интерпретируется как напряжённость поля. Интерпретация эта неверна, ошибочность её связана с отмеченным выше парадоксом в интерпретации координат. Naturalmente, для теории это не проходит бесследно и проявляется в ряде хорошо известных проблем (нелокализуемость энергии гравитационного поля, трактовка сингулярностей), которые при придании геометрическим величинам правильного физического смысла просто не возникают. Более подробно всё это обсуждено в книге “Dimensión y propiedades del espacio-tiempo“.

Однако и в ОТО метрика поневоле, помимо смысла навязанного ей искусственно, имеет ещё один физический смысл. Recordemos, что характеризует метрика в случае евклидова пространства? Una cosa muy importante para las mediciones en el espacio-tiempo. – la oportunidad de introducir rígido, una cuadrícula de coordenadas rectangular que llena uniformemente toda el área. Esta cuadrícula se llama marco de referencia inercial en física.. Tal sistema de referencia (sistema coordinado) corresponde a una y sólo una forma estándar de tensor métrico. В системах отсчёта, произвольно двигающихся относительно инерциальной, вид метрического тензора отличен от стандартного. С физической точки зрения роль “сетки отсчёта” достаточна прозрачна. Если вы имеете твердое тело отсчёта, каждая точка которого снабжена одинаковыми часами, существующее во времени, то оно как раз и реализует такую сетку. Para el espacio vacío simplemente imaginamos tal cuerpo de referencia., suministrándole (Puede negarse a responder a esta pregunta.) exactamente la misma métrica. En este entendimiento, tensor métrico, diferente del estándar euclidiano, habla, что система отсчёта (coordenadas) построена с помощью не твёрдого тела, y, quizás, часы тоже идут по-разному в её точках. Что я хочу сказать этим? Y eso, qué El tensor métrico es una imagen matemática de algunas de las propiedades más importantes del sistema de referencia para nosotros.. esas propiedades, que caracterizan absolutamente la estructura del propio sistema de referencia, permítanos determinar, cuanto ella “bien”, que diferente del ideal – sistema inercial. Вот ОТО и использует метрический тензор именно как такой образ. Cómo образ распределённого в области репера измерительных приборов, возможно меняющего свою ориентацию от точки к точке, но имеющего всюду одну и ту же норму, общую для всех векторов репера. Métrica, рассматриваемая как скаляр и есть эта норма, величина масштаба. Метрика как тензор позволяет рассматривать произвольное относительное движение друг относительно друга всех масштабов, составляющих тело отсчёта. И ОТО описывает такую ситуацию, cuando en el espacio-tiempo es posible tener tal cuerpo de referencia, real o imaginario.

Esta visión de la métrica es ciertamente correcta.. Además, el tambien es productivo, поскольку сразу заостряет внимание на оставшихся в ОТО соглашениях. Por supuesto, мы дозволили к использованию системы отсчёта, в которых масштабы в разных точках могут быть ориентированы по-разному (En el mundo de cuatro dimensiones, la orientación también incluye el movimiento.). Y todavía exigimos, de modo que alguna característica de escala absoluta, su norma (intervalo) se quedó igual. Por eso, всё-таки утверждение ОТО, что она приняла в рассмотрение все возможные системы отсчёта чрезмерно. Не такая она общая, относительность в этой теории.

© Gavryusev V.G.
Los materiales publicados en el sitio se pueden usar sujetos a las reglas de citas..