Que es la curvatura? ¿En qué relación está con la conexión afín? ¿Cuál es el significado físico del campo de curvatura al describir el mundo como espacio-tiempo??

Curvatura parece ser un concepto puramente geométrico. La Teoría General de la Relatividad hizo que el concepto de curvatura del espacio-tiempo fuera bastante conocido y asociado con la física., o mejor, con gravedad. Pero esta conexión sigue siendo bastante confusa., bastante abstracto. La razón de esto, en mi opinión, es, que en la relatividad general se ha aprobado una interpretación distorsionada del significado físico de los conceptos matemáticos utilizados, como métricas, y curvatura. Los orígenes de esta distorsión se encuentran en la interpretación inconsistente de las coordenadas por parte de los intérpretes de los resultados de la relatividad general.. Y ella se levanta, naturalmente, a la autoridad del creador de la teoría, A. Einstein. Aqui voy, sin entrar realmente en detalles matemáticos, discutir el significado de la curvatura, tan geométrico, tan fisico. Entonces habrá más palabras, que las fórmulas, aunque las fórmulas no se pueden evitar por completo.

En geometría surge el concepto de curvatura del espacio, naturalmente, en el intento traducción de vectores paralelos en un circuito cerrado. Resulta, que incluso si este contorno se contrae hasta un punto, nada necesario, para que el resultado de la transferencia coincida con el vector original. Bien puede haber alguna diferencia entre los vectores, original y transferido, que es proporcional al vector en sí y algún tensor, existente en este punto, tensor de curvatura R^yo_jkl. Entonces, que los coeficientes de proporcionalidad constituyen el tensor, medio, que cada punto en el espacio tiene alguna propiedad medible, cuyos resultados de medición son los componentes del tensor, y no dependen de ninguna manera de ese vector, lo que se transfiere. Por el número de índices del tensor de curvatura, se puede juzgar, que la propiedad del punto, el grabo, de ninguna manera simple. pero, algo bastante familiar para nosotros de la práctica diaria está conectado con él.

Comencemos explicando el nombre en sí.. Parecería, que hay para explicar? Cuál es la diferencia entre una línea recta y una curva es bastante comprensible sin ningún conocimiento de matemáticas. Esto es algo cierto. Eso es algo tan gracioso – en la línea, considerado como un espacio unidimensional, no hay curvatura y a la vista. Desde un punto de vista interno, como espacios unidimensionales, todas las lineas son iguales. Su propiedad de ser torcidos (o directo) solo aparece entonces, cuando son parte de al menos bidimensional (o más medidas) espacio. Dado que tal (y solo tal!) las líneas son habituales para nosotros, en la medida en que percibimos “curvatura” líneas intuitivamente. En matemáticas, como un lenguaje lo más preciso posible, el concepto de curvatura aparece solo en espacios, a partir de dos dimensiones. Y resulta que no está relacionado con nuestra idea intuitiva de la diferencia entre líneas rectas y curvas.. Por ejemplo, en el plano, el tensor de curvatura en cada punto es igual a cero, aunque las líneas curvas en el plano se pueden dibujar tanto como quieras. Para no ir demasiado lejos aquí en la dirección de describir las diferencias entre las curvas, Solo diré, que para esto, el concepto de geodésica, por lo cual solo conexión afín. La curvatura es el siguiente elemento, necesario para completar la descripción de la geometría de espacios de más de una dimensión. Este elemento, por supuesto, ya contenido en conectividad, es su propiedad. Pero esta es la propiedad, que debe ser considerado explícitamente. Entonces, lo que se llama curvatura en matemáticas, por supuesto que también sabemos en la vida diaria, pero conocido como curvatura de superficies. La diferencia entre todo tipo de superficies desde un plano se describe con precisión en el lenguaje del tensor de curvatura. Quizás, la forma más fácil de formar una representación geométrica figurativa de la curvatura – esto es adjuntar un plano a un punto en una superficie arbitraria y ver su diferencia.

En realidad, las matemáticas hacen algo muy similar., al construir el tensor de curvatura. No importa cuántas dimensiones tenga un espacio dado, en cada punto, se seleccionan superficies bidimensionales (naturalmente, todo posible) y en ellos se calcula alguna combinación, Suficientemente simple, de los coeficientes de conectividad y sus primeras derivadas en dos direcciones, y luego estos dos valores se restan. Y entonces para cada par de coordenadas. Por tanto, el tensor de curvatura es antisimétrico en uno de los pares de subíndices, a saber, por índices k y l. Dado que el tensor de curvatura también tiene un superíndice, luego, a partir de sus componentes, se pueden compilar dos tensores más con menos índices usando convolución. Será tensor Richie R_jk = R^yo_jki = R¹_jk1 + R²_jk2 + R³_jk3 + R⁴_jk4 y un tensor más (conocido no realmente en geometría, y en física, como tensor Maxwell) F_a = R^yo_{anuncio publicitario} . Lo que es la convolución se puede ver en la expresión del tensor de Ricci. quiero decir, que nuestro espacio es de cuatro dimensiones, por lo tanto, la suma consta de cuatro componentes. Exactamente la misma suma sobre los mismos índices superior e inferior (pero esta vez el primer índice cambia en la parte inferior) implícito para obtener tensor F_a. Nota, que, como el tensor de curvatura total en índices k y l, El tensor de Maxwell es antisimétrico en sus índices. A priori, nada se puede decir sobre la simetría del tensor de Ricci.

Ahora hablemos un poco de, ¿Por qué todavía necesita construir todo tipo de tensores de curvatura y otros como ellos?, si todas las relaciones geométricas en el espacio se pueden extraer de la conexión afín. Después de todo, el tensor de curvatura no es nada más., como una combinación de coeficientes de conectividad y sus primeras derivadas. La respuesta a esta pregunta es simple.. Todos esos, tensor, Las estructuras secundarias a la conectividad describen las mismas (y en el caso del espacio-tiempo y físico) ratios, que nos interesa. Además, es permisible para el teórico definir la conectividad como un conjunto de funciones conocidas. Si aplicamos las matemáticas de los espacios con afinidad a la descripción del espacio-tiempo (es decir, esta área de aplicación de la teoría es la más importante para nosotros), entonces no tenemos una conexión conocida y no podemos. La única forma de restaurarlo – estos son experimentos, medir las propiedades de los objetos del mundo real. Cuantas más propiedades diferentes podamos medir, Cuanto más cerca de la realidad sea nuestra descripción del mundo. Los resultados de las mediciones de estas propiedades simplemente se agrupan en tensores.

¿Qué propiedades del mundo físico se expresan en el tensor de curvatura?? En general, el tensor de curvatura se puede llamar un indicador de la presencia de una fuerza en un punto dado. Este es el tensor de las fuerzas del campo unificado.. Poder de las palabras, el campo de fuerzas es bastante familiar e intuitivo para nosotros. Tensión – palabra menos clara. Por tanto, lo explicaré un poco.. Tensión – esta es la fuerza especifica. La sustancia nos es familiar, generalmente consta de muchas partículas, que juntos forman una masa total. Y en el caso de las fuerzas electromagnéticas y la carga total. Aqui esta el poder, por unidad de masa o carga y se llama fuerza del campo de fuerzas. Ella es importante para aquellos, que caracteriza un punto dado en el espacio siempre de la misma manera, independientemente de si, cual cuerpo, sobre el que actúa la fuerza, en este punto es. Entonces, que el tensor de curvatura es precisamente la cantidad específica que se desprende de su propia definición.

Aunque la estructura central de la teoría de la gravedad, creado por Einstein y se cree tesor métrico gramo_yo, pero la ecuación básica de esta teoría

    R_yo= -otro (T_yo – 1/2 T g_yo)

está escrito precisamente para la curvatura, más precisamente para uno de sus paquetes, Tensor de Ricci. Esto ya hace de la curvatura el concepto central de la teoría.. La presencia de cuerpos gravitantes en un área determinada del espacio-tiempo., o generalmente energía en una forma diferente, por ejemplo en forma de campo electromagnético, que es equivalente al tensor de energía-momento T distinto de cero_yo, significa la diferencia de cero y esta convolución de curvatura, Tensor de Ricci. Como una cuestión de hecho, si intentas explicar la física del espacio-tiempo sin introducir cantidades externas a la geometría (y en esta ecuación el tensor de energía-momento es una cantidad puramente no geométrica), entonces el tensor de energía-momento en sí mismo puede ser (y necesidad) definir como un tensor, construido a partir de componentes de tensor de curvatura :   T_yo= – (R_yo– 1/2 R g_yo)/la madre. Entonces, la ecuación básica de la teoría de la gravedad se convierte en una definición simple de una de las cantidades de la teoría.. Y la materia gravitante no será otra cosa, como una manifestación de la curvatura del espacio-tiempo en un área determinada.

© Gavryusev V.G.
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