Was sind symmetrien? Was hat das mathematische Konzept einer Gruppe damit zu tun?? Was sind Gruppenansichten?? Warum die Physik Symmetrien so viel Aufmerksamkeit schenkt?

Lassen Sie uns zuerst über den Haushalt sprechen, nah an jeder Vorstellung von Symmetrie. Wie immer, Um besser zu verstehen, worum es geht, werde ich versuchen, die Bedeutung dieses Wortes selbst zu enthüllen. Wie bei vielen anderen Konzepten, Die Bedeutung dieses Begriffs ist keineswegs die einzige. Daher müssen Sie alle Bedeutungen durchgehen (Gut, oder zumindest, für ihren Hauptteil). Die wörtliche Bedeutung des Wortes “Symmetrie” in seinem, sozusagen, Russische Version (obwohl dieses Wort selbst seit langem ein wesentlicher Bestandteil der russischen Sprache ist), Das Co-Dimension. Dh. Die ursprüngliche Bedeutung des Wortes impliziert eine bestimmte Verbindung, Kompatibilität in der Größe, durch die Größe von etwas mit etwas. Obwohl der erste, was normalerweise in den Sinn kommt, wenn wir dieses Wort hören, Das ist eine Idee von etwas Schönem, perfekt. Symmetrisches Gesicht — dieses Gesicht, in dem alles ausgeglichen ist, rechts passt links, oben und unten erzeugen kein Gefühl des Widerspruchs zwischen sich. Eine symmetrische geometrische Figur besteht nicht aus vielen chaotisch verbundenen Elementen, und umgekehrt, ist eine Sammlung von Elementen, möglicherweise gleich, Reihenfolge anzeigen. beispielsweise, Kreis. Alle Punkte befinden sich in gleichem Abstand vom Zentrum und sind in diesem Sinne identisch, nicht voneinander zu unterscheiden. Oder ein gleichseitiges Dreieck. Alle Seiten sind gleich. Alle Winkel sind gleich. Sie können so drehen, das, wenn die Eckpunkte übereinstimmen, dann ist das Dreieck im wesentlichen unverändert, Bleibt das selbe. Zwei Teile eines Dreiecks können umgedreht werden, erhalten durch Teilen durch eine beliebige Höhe, aufeinander und sie werden zusammenpassen, und das neue Dreieck wird vom alten nicht zu unterscheiden sein.

Was brauchen wir also?, damit Sie über das Gesprächsthema sprechen können, dass es eine gewisse Symmetrie hat?

Der erste. Das Gesprächsthema über Symmetrie, allgemein gesagt, sollte etwas Komplexität haben, bestehen aus “Einzelheiten”, eine Sammlung anderer Gegenstände sein, und nicht etwas Einzigartiges zu sein. Die einfache Existenz eines einzelnen Elements erlaubt es nicht, über Symmetrie zu sprechen. Es gibt nichts zu vergleichen, Anteil. Ich werde es bemerken, Was hier ist es bereits angebracht, das mathematische Konzept zu verwenden “viele”. Viele Elemente.

Zweite. Damit das Konzept der Symmetrie entsteht, Es ist notwendig, dass die Elemente einer Menge in eine Art Beziehung zueinander verwickelt sind, so dass das Konzept einer Menge zum Konzept einer Operation hinzugefügt wurde  über die Elemente dieser Menge. Nur die Beurteilung des Ergebnisses einer Operation erlaubt es uns zu sagen, Gibt es irgendwelche Elemente in diesem Satz? (Zahl, volumetrischer Körper, eine Phrase oder etwas anderes) Anzeichen für das Vorhandensein oder Fehlen von Symmetrie, Proportionen. Durch, Worüber reden wir über Verhältnismäßigkeit?, es könnte scheinen, dass eine solche Operation notwendigerweise irgendwie mit der Messung zusammenhängen muss, zumindest in seiner rudimentären Vergleichsform. Der Vergleich wird wirklich immer gemacht, aber, allgemein, in der allerletzten Phase, nach dem Betrieb, das ist hier. Dann verglichen, Was ist vor der Operation passiert?, damit, Was ist passiert, nachdem ich es angewendet habe?. Aber die Operation selbst, worum es in diesem Absatz geht, nicht unbedingt auf Messvorgänge beschränkt. Als Beispiel kann ich die Operation der Permutation von Elementen einer Menge vorschlagen.

Dritte. Symmetrie impliziert, Was Die Verwendung einer bestimmten Operation hinterlässt einige Eigenschaften (oder mehrere Eigenschaften) Vielzahl (das Thema als Ganzes diskutiert) unverändert. Etwas ist Invariante der Operation. Bleibt eine unveränderte Eigenschaft des gesamten Sets (oder diese Elemente, auf die die Operation angewendet wurde). Vielleicht, durch, dass die ersten beiden Eigenschaften für uns selbstverständlich sind, Standardmäßig verfügbar, diese Eigenschaft herrscht in unseren Vorstellungen über das Vorhandensein oder Fehlen von Symmetrie vor.

Es wird akzeptiert, dies zu berücksichtigen, Dies ist die Grundlage für die Beschreibung von Symmetrien unter Verwendung von als genau, mathematische Konzepte ist das Konzept einer Gruppe. Das ist richtig, aber nicht wirklich. Sagen wir zuerst, Welche gruppe — ist eine Menge von Elementen mit einer darin definierten Operation, deren Anwendung die Elemente einer Menge in dieser Menge selbst belässt. Dieser Teil der Definition der Gruppe entspricht genau unseren Vorstellungen über die Eigenschaften der Symmetrie. Bei der Definition einer Gruppe gibt es jedoch auch einige wichtige Bedingungen für die Elemente der Menge und die Eigenschaften der Operation. Wir werden sie später klären.. Diese Bedingungen sind wichtig für das Konzept einer Gruppe, aber oft übertrieben, um Symmetrien zu beschreiben. Etwas breiter ist ein anderes mathematisches Konzept — Gruppen Präsentation. Es bietet einige zusätzliche Eigenschaften, was wir in der formalen Beschreibung des intuitiven Konzepts verschiedener Arten von Symmetrien erwarten. Aus rein formaler Sicht ist es zweckmäßiger, das Konzept der Gruppendarstellung auf der Grundlage des bereits beschriebenen Konzepts zu diskutieren, Gruppe. Allgemein gesagt, Einige unserer grundlegenden Intuitionen zur Symmetrie müssen in einer Mapping-Sprache beschrieben werden, und keineswegs Gruppen und ihre Darstellungen. aber, dann die Idee der Symmetrien, die in der Physik gebildet, ist am direktesten mit dem Konzept einer Gruppe verbunden. Deshalb habe ich, in erster Linie, Ich werde dieser Linie folgen und unten werde ich versuchen zu erklären, womit hängt es zusammen.

Definition (mathematisch) Gruppe. Nicht leerer Satz mit einem gegebenen drin binär  (dh. angewendet auf zwei Elemente des Satzes) Betrieb (und das Ergebnis der Operation ist auch ein Element derselben Menge, und nicht irgendein anderer) eine Gruppe genannt, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. Das Set hat neutrales Element, oft als Einheit bezeichnet, eine solche, dass seine Teilnahme als einer der Operanden (Elemente des an der Operation beteiligten Satzes) irgendwo (Das Ergebnis einer Operation im allgemeinen Fall kann von der Stelle des Operanden in einer binären Operation abhängen) ändert den zweiten Operanden nicht. Dh. Betrieb, das dieses Element enthält, ergibt das zweite an der Operation beteiligte Element. Name “Einheit” historisch verwandt mit, dass grundlegende Vorstellungen über die Eigenschaften von Gruppen häufig aus der Untersuchung einer Gruppe von Zahlen mit der Operation der Multiplikation abgeleitet werden. Apropos, deshalb sehr oft, Die Gruppenoperation selbst wird aufgerufen “Multiplikation”. Was, natürlich, ist nichts weiter als Jargon, mit begrenztem Umfang. Diese Namen (“Einheit”, “Multiplikation”) sehr bedingt. Zahlen sind eine Gruppe und in Bezug auf die Additionsoperation (und im engeren Sinne, aufgrund der strengen Umsetzung einer weiteren, unter Bedingung 2, als in Bezug auf die Multiplikation). In diesem Fall ist das neutrale Element die Zahl Null, keine Einheit.
2. Jedes Element der Menge kann zugeordnet werden zurück Element, eine solche, dass die Operation mit diesen beiden Elementen (direkt und umgekehrt), Unabhängig von ihrem Platz im Betrieb ergibt sich ein neutrales Element. Diese beiden Bedingungen können als eine Bedingung für das Vorhandensein der umgekehrten Operation definiert werden. (Zusatz — Subtraktion, Multiplikation — Teilung).
3. Assoziativitätsbedingung. Die Operation kann nacheinander angewendet werden. Da das Ergebnis einer binären Operation wieder ein Element der Menge ist, dann können drei oder mehr Elemente daraus beteiligt sein. In diesem Fall Das Ergebnis der Operation sollte nicht davon abhängen, wie Paare in dieser Kette ausgewählt werden (weil die Operation grundsätzlich binär ist!). Es spielt keine Rolle, dass zuerst die Operation des ersten mit den zweiten Operanden ausgeführt wird, und dann wird das Ergebnis der erste Operand in der Operation mit dem dritten. Oder erstens die zweite mit der dritten, und dann wird das Ergebnis der zweite Operand in der Operation mit dem ersten. Die Position aller Elemente in der Kette sollte sich jedoch nicht ändern..

Mal sehen, wie es konkret aussieht, alles klare Beispiele, und dass es im Konzept einer Gruppe überflüssig sein kann, die Symmetrie zu beschreiben.

Symmetrisches Gesicht. Hier besteht das Set aus zwei Gesichtshälften, links und rechts. Jede der Hälften enthält eine Teilmenge sehr unterschiedlicher Elemente. — Augen, Wangen, Augenbrauen, Nasen- und Mundhälften, Stirnkinn. Sie können die Beschreibung des Gesichts weiter verfeinern, aber das reicht, das Wesentliche der Idee zu sehen. Und die Idee eines symmetrischen Gesichts ist, dass jedes Element der linken Gesichtshälfte genau dem gleichen Element der rechten Gesichtshälfte entspricht (gut und umgekehrt, natürlich). Darüber hinaus wird diese Entsprechung durch den Betrieb der Spiegelreflexion entlang der Linien bereitgestellt, senkrecht zur Gesichtsachse — Gerade Linien, durch die Mitte der Stirn gehen, Nasenspitze und Kinnspitze. Viele, Beschreibung dieser Symmetrie im mathematischen Sinne, besteht aus mindestens drei Elementen (Den Gesichtshälften wurde eine Symmetrieachse hinzugefügt, etwas präziser, Punkte, oder sehr kleine Bereiche, befindet sich darauf) und Operationen zum Spiegeln von Elementen ineinander. Von links nach rechts und umgekehrt, und die Achse mit dieser Anzeige bleibt unverändert (kann auch gesagt werden, was an sich angezeigt wird).  Aber es gibt eine Frage — und erfüllt die beschriebene Menge mit der Operation alle oben genannten Bedingungen, um als Gruppe im mathematischen Sinne bezeichnet zu werden? Nein. Und deshalb. Die Reflexionsoperation ist eigentlich nicht binär, aber unär. Dies gilt für ein einzelnes Element der Menge. Reflexion ordnet jedes Element einem anderen Element zu. Oder das gleiche, wenn die Menge ein Element enthält, das in Bezug auf die Operation neutral ist (Das Zusammentreffen des Ergebnisses mit dem Operanden selbst ist in diesem Fall die Definition der Neutralität).  Auch hier ist die Anwesenheit eines neutralen Elements nicht erforderlich.. Schließlich können Sie die Beschreibung eines Gesichts auf zwei Hälften kürzen, die ineinander reflektiert werden. Und die Idee der Symmetrie bleibt in dieser Beschreibung immer noch explizit.. Um diese Art von Symmetrie zu beschreiben, reicht das mathematische Konzept aus “Anzeige”.

Kreis. Dieses Beispiel ist viel reicher. Sie können bereits sehen, wie das Konzept einer mathematischen Gruppe aussieht.. Diese Symmetrie, das erschien bei der Diskussion der Gesichtseigenschaften, sofort offensichtlich — es erscheint im selben Moment, wie wir ergänzen (zumindest imaginär) Kreis mit beliebigem Durchmesser, dh. gerade Linie, durch die Mitte des Kreises gehen. Dh. Ein Kreis ist symmetrisch zu jedem seiner Durchmesser. Aber! Wenn es nur eine Symmetrielinie für das Gesicht gibt, dann für einen Kreis solcher Linien, Es gibt bereits unendlich viele Durchmesser und es ist möglich, den Kreis zu drehen (und einen beliebigen ausgewählten Durchmesser) um die Mitte zu jedem Winkel. Und gleichzeitig einerseits, Die Links / Rechts-Symmetrie in Bezug auf diesen Durchmesser bleibt erhalten, und, Außerdem, Der Kreis selbst fällt mit sich selbst zusammen (etwas präziser, irgendein Punkt, auf einem Kreis darauf liegen und bleibt). Eine neue Operation wird angezeigt, etwas präziser, unendlich viele Operationen, ihre kontinuierliche Sammlung,  dreht sich um einen Winkel. In der Alltagssprache werden wir sagen, dass ein Kreis wie eine geometrische Figur ist, symmetrischer, als ein Gesicht. Versuchen wir, diesen neuen Reichtum in der Sprache der Mathematik zu beschreiben.

Lassen Sie uns an den Kurven anhalten. Drehungen können in verschiedenen Winkeln durchgeführt werden. Dies bedeutet, dass diese Operation einen qualifizierenden Parameter hat — Drehwinkel. Des Weiteren, Umdrehungen können zwei gemacht werden, eins nach dem anderen und das Ergebnis wird auch eine Drehung um einen Winkel sein (wie wir wissen, Ecken summieren sich; Diese Eigenschaft ist im Wesentlichen eine Definition als Rotationsparameter, und die Schwenkoperation selbst). Wo sind die beiden Kurven?, es gibt drei und mehr. Und das Gesamtergebnis wird immer eine Wende sein. Machen wir jetzt einen Schritt vorwärts in unseren Konstruktionen. Nicht einmal vorwärts, aber du kannst es sagen, Baue eine weitere Etage über unserer Struktur. Erdgeschoss — Satz von Kreispunkten und Rotationsoperationen, Erhaltung dieses Kreises als Ganzes. Der zweite Stock wird eine Menge Operationen sein — wendet sich. Jede drehung, entsprechend einem Parameterwert, Winkel wird als Element der neuen Menge betrachtet, viele Drehungen und Wendungen. Und schon in diesem Set stellen wir die Operation vor, Kombinieren von zwei aufeinanderfolgenden Umdrehungen. Nennen wir es “Multiplikation”. Obwohl sie gut angerufen haben könnten “Zusatz” (wenn auch nur auf der Basis, dass sich die Drehwinkel in unserem Fall per Definition addieren). Schauen Sie sich diesen neuen Boden genau an. Immerhin entspricht diese Konstruktion genau der mathematischen Definition der Gruppe. Es gibt viele. Viele Operationen an etwas anderem? Na und? Bedienung ist. Operation on Operations? Und was ist los?? Gibt es ein neutrales Element?, “Einheit”? es gibt. Drehung ohne Winkel (kein Wenden). Ein bisschen komisch? Kein Fremder als Null für leeren Satz. In der Tat ist es das.. Das gleiche Gesicht im Profil. Inverse Elemente? Dreht sich hin und her. Erlaube positive Drehwinkel, und negativ. Nun, es gibt auch Assoziativität in der Reihenfolge der Windungen.. Die Gruppe der Windungen ist identisch mit der Gruppe der reellen Zahlen bei der Gruppenoperation “Zusatz”. Mit einem signifikanten Unterschied. Nicht alle Zahlen, und Zahlen im Intervall von 0 zu 360 (wenn die Winkel in Grad gemessen werden), oder von 0 bis zu 2π (gemessen in Bruchteilen der Länge des Radius, dh. im Bogenmaß).

Wir sahen, als Versuch, eine bestimmte Art von Symmetrie einer bestimmten Figur zu beschreiben, Kreise, führte uns zum Konzept einer Gruppe. Transformationsgruppen, in diesem Fall dreht. Und Sie können andere Figuren drehen? Kann, natürlich. Und sie werden alle gleichzeitig mit sich selbst zusammenfallen? Nein, natürlich. Und sie, was passt, auch wenn nicht für jede Runde, und für einige — z.B, Formen wie ein Liniensegment, gleichseitiges Dreieck, Quadrat, reguläres Fünfeck und alle anderen regulären “Quadrate”.  Wir nennen sie symmetrisch. Dh, stellt sich heraus, wenn sich die Figur nach dem Drehen um einen Winkel nicht ändert (oder Ecken), dann hat es eine gewisse Symmetrie. Die Turn-Gruppe hat uns geholfen, diese Symmetrie zu erkennen. Für verschiedene Formen. Und die Gruppe ist eine (gut, oder andere Proben davon, Untergruppen). So dreht sich unser Gebäude um, zweiter Stock (Transformationsgruppe, wendet sich) wird die Haupt, Stiftung. Und oben können Sie verschiedene spezifische Böden anbringen (Zahlen).

Welche Schlussfolgerungen können aus den obigen Beispielen gezogen werden??

In Bezug auf die Beschreibung von Symmetrien können wir beobachten, dass, obwohl das Konzept einer Gruppe nicht vollständig dem Konzept der Symmetrie entspricht, Mit Transformationsgruppen können Sie jedoch eine vollständige Beschreibung durchführen (und identifizieren Sie die Anwesenheit) wenn nicht alle Symmetrien ohne Ausnahme, dann, wahrscheinlich, sehr viele. Zumindest all diese, mit denen wir die in dieser Gruppe verfügbaren Invarianten verknüpfen können (dh. Konstruktionen, von allen Transformationen aus dieser Gruppe unverändert gelassen). Verschiedene Gruppen — verschiedene Invarianten — verschiedene Arten von Symmetrien.

In Bezug auf die Gruppen selbst lag unser Fokus auf der besonderen Rolle von Gruppen., Elemente davon sind Transformationen, darüber hinaus aktive Transformationen. Beziehungsweise, Sie zeigen Symmetrien in diesen Objekten, auf die diese Transformationen einwirken. Es ist jedoch klar genug, dass die Gruppeneigenschaften selbst nicht streng an die Transformationen bestimmter spezifischer Objekte gebunden sind. Die gleichen Eigenschaften, ganz oder teilweise, kann Transformationsgruppen haben, auf viele völlig unterschiedliche Objekte einwirken. beispielsweise, auf geometrischen Formen (wendet sich) und Zahlen (Faltgruppe). Usw. Hier kommt die Idee ins Spiel, eine Gruppe einzuführen. Gruppe, als abstrakt, perfektes Konzept, kann durch eine Vielzahl von Transformationsgruppen implementiert werden. Genau oder mit Sicherheit, gut beschriebene Abweichungen. Eine solche Implementierung wird als Gruppendarstellung bezeichnet.. Ungefähr gleich, wie ein Satz von fünf Elementen mit fünf Steinen oder fünf Fingern realisiert werden kann.

Die bequemste Darstellung von Transformationsgruppen für das Studium ist ihre Darstellung als Matrizen. Der Grund dafür, Dass Matrixgruppen in der Gruppentheorie eine zentrale Rolle spielen, ist hinreichend einfach und gleichzeitig grundlegend. Es macht auch die Verwendung der Gruppentheorie in der Physik unvermeidlich und umfassend., Eindringen in verschiedene Ecken der Physik. Und auch Mathematiker. Und zusammen mit Gruppen wird das Konzept der Symmetrien natürlich in die Physik eingeführt. Die Wahrheit muss gesagt werden, was genau weil, dass für die Physik diese beiden Konzepte fast synonym werden, Das Konzept der Symmetrie in der Physik unterscheidet sich etwas von diesem alltäglichen Konzept, was wir oben besprochen haben.   Was ist der Grund für die Durchführung von Transformationsgruppen und, insbesondere, Gruppen von Matrizen, die so der Physik gewidmet sind?

Mehrmals in meinen Artikeln habe ich geschrieben, dass jede Beschreibung der Welt, mit as Sprachmathematik, stützt sich auf das Messverfahren. Zahlen an sich sind nur bedeutungslose Symbole. Erst dann erwerben sie ihre Werte, wenn diese Zeichen mit den Ergebnissen des Zählens oder Vergleichens von etwas mit etwas verbunden sind, als Basis genommen, Rahmen. Und das ist das Messverfahren. Ergebnis — seine einfachste Form. Immerhin gibt es hier eine Skala — müssen angeben, Was genau denken wir?. Und das Messverfahren ist keineswegs das einzige. Es gibt viele davon. Und sie unterscheiden sich, vor allem, ihre Waagen, ihre Basen. Die Messverfahren selbst, verwendet, um die Welt zu beschreiben, werden gesetzt, was beschrieben werden kann, Angabe der Eigenschaften seiner Elemente, Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen ihnen. UND Der Umfang einiger Verfahren kann von anderen gemessen werden. Und umgekehrt auch. Und so diese Quervermessungen lassen die Idee der Transformationen entstehen und werden durch diese beschrieben. Zahlenumrechnungen, Messergebnisse, in anderen Zahlen, auch Messergebnisse, aber auf andere Weise erhalten. Skalentransformationen, Koordinatentransformationen, Umrechnungen aller Messergebnisse. Auf diese Weise, Transformationen sind ein wesentlicher Bestandteil jeder unserer Beschreibungen der Welt, behaupten zu sein. Die sehr vielen Transformationen, mindestens, einige Teile davon, kann auch durch eine Idee beschrieben werden. Nämlich, Gruppenidee (verschiedene Gruppen, für verschiedene Teilmengen von Transformationen).

Ich möchte zur Kenntnis nehmen, Was Diese Transformationen sind von Natur aus passiv, Beschreiben der Änderung des Blickwinkels des ausgewählten Objekts, Ändern der Art und Weise, wie es beschrieben wird. Und als wir über Symmetrien diskutierten, kamen wir zu aktiven Transformationen, Manipulieren eines Objekts oder von Teilen davon. Aber gibt es einen Unterschied?? Und das, und nein.

Unter dem Gesichtspunkt der Anwendung der Gruppentheorie, Aus der Sicht einer abstrakten mathematischen Idee gibt es keinen Unterschied. Diese beiden Transformationen sind Darstellungen, Implementierungen derselben abstrakten Gruppen, als rein mathematisch angesehen, ideale Konzepte. Alles, Was mit Hilfe einer passiven Sichtweise beschrieben werden kann, kann vollständig entdeckt werden und im Übergang zu aktiven Transformationen. Umgekehrt, natürlich.

Physisch, Es gibt einen Unterschied und ist grundlegend. Bei passiven Transformationen finden Änderungen in der Beschreibung statt, grob gesagt in den Eigenschaften eines Beobachters, nicht in dem beschriebenen Objekt. Aber mit aktiven Transformationen, Veränderungen, wenn sie sind, Dies sind Änderungen am beschriebenen Objekt (Teile der Welt).

Aus diesem Grund ergeben sich bei der Anwendung des Symmetriekonzepts in der Physik zwei Vorstellungen über mögliche Symmetrien.

Einer von ihnen, basierend auf aktiven Transformationen, hat die gleiche Genese, wie unsere alltägliche Idee und, daher ist es ziemlich leicht wahrzunehmen. Wir haben etwas. Drehen, reflektieren, Bewegung — Streichhölzer (bleibt unter Transformationen unveränderlich) — bedeutet symmetrisch. Je mehr Invarianten die Gruppe hat, desto mehr Symmetrien. Ich nenne solche Symmetrie Symmetrien erste Art.

 Aber bei der Anwendung passiver Transformationen, Sichtweisen ändern, ein völlig anderes Verständnis von Symmetrien tritt in den Vordergrund. Es scheint, auch hier, Je mehr die Gruppe der Invarianten hat, Je symmetrischer das Objekt. In diesem Sinne ist alles richtig. Aber lasst uns darauf achten.:  Wenn die Transformationsgruppe (dh. Gesichtspunkte berücksichtigt) immer breiter (Die Anzahl seiner Invarianten nimmt ab und ab) dann Objektbeschreibungen, mit begrenzten Gesichtspunkten (Gruppen zulässiger Transformationen) das schien ganz anders, unvereinbar, werden offensichtlich unterschiedliche Beschreibungen des gleichen Objekts. Nachdenken! Das Objekt ist das gleiche (Symmetrie!), der ganze Grund dafür, dass wir eine bestimmte Menge von Objekten als unterschiedlich angesehen haben, liegt darin, dass dieses Objekt für uns sichtbar ist (wir beschreiben) aus verschiedenen Blickwinkeln. Und die Vereinheitlichung dieser unterschiedlichen Sichtweisen zu einer einzigen Gruppe ist aus dem einen oder anderen Grund schwierig., subjektiv oder objektiv. Diese Art von Symmetrie nenne ich Symmetrie der zweiten Art. Für die Physik sind ihre Suche und das Vorhandensein von Symmetrien der zweiten Art viel wichtiger., als die übliche erste Art. Das Vorhandensein von Symmetrien der ersten Art bricht Symmetrien der zweiten Art. Symmetrien der zweiten Art werden erst dann gefunden, wenn die Symmetrien des ersten aussterben.

Beispiele von.

Wenn wir nur orthogonale Rotationen in der Ebene betrachten (die Länge behalten, berechnet nach dem Satz von Pythagoras), dann gehen nur Kreise mit demselben Radius mit einem einzigen Mittelpunkt am Ursprung ineinander. Dh. nur ein einziger Kreis. Fügen Sie Offsets um eine Koordinate hinzu — Alle Kreise mit Zentren auf dieser Koordinatenachse werden zu Bildern einer einzelnen. Fügen Sie Verschiebungen in zwei Koordinaten hinzu — In einer Ebene sind alle Kreise mit demselben Radius Bilder von einem. Allgemeine Skalierung hinzufügen, gleichzeitige Änderung des gleichen Skalenanteils in beiden Koordinaten (dh. Längenänderung) — Im Allgemeinen erweisen sich alle Kreise als Bilder eines einzelnen. Und wenn wir verschiedene Skalen in zwei Koordinaten auflösen, dann können wir erkennen, Was ist der Unterschied zwischen allen Arten von Ellipsen (einschließlich Kreise) tritt auf oder kann nur durch eine Änderung der Sichtweise kompensiert werden, Messverfahren.

Hier ist ein Beispiel aus der Wissenschaft. Vor langer Zeit in der Physik das Verständnis von, dass Elementarteilchen Darstellungen der Poincaré-Gruppe sind. Stellen wir eine Frage, Wie breit ist diese Gruppe?, umfasst es ausnahmslos alle zulässigen Transformationen von Messverfahren?, akzeptable Sichtänderungen? klar, was nicht. Zumindest denken wir an einen Übergang zur Transformation von viel größeren Gruppen, eins in das andere eingeschlossen, bis zur allgemeinsten Gruppe lokal nicht singulärer Transformationen, nur die Anzahl der Dimensionen der Raumzeit erhalten. Eine solche Erweiterung der Gruppe muss jedoch nicht nur unter dem Gesichtspunkt der Zulässigkeit eines Denkbaren analysiert werden, sondern auch aus Sicht unserer realen Möglichkeiten (Erweiterung) um festzustellen. Auf diesem Weg können Sie bekommen (verstehen) Gründe für die Kombination von Elementarteilchen zu Familien, sowie die Gründe für den Unterschied in den Eigenschaften einzelner Partikel, in diesen Familien vereint. Dann, Was jetzt in der Physik als gebrochene innere Symmetrien bezeichnet wird.

Und nun zum Grund, Matrixgruppen im Zentrum der Gruppentheorie zu finden. Sie ist transparent — Passive Transformationen erzeugen lokal Übergangsmatrizen von einer Koordinate zur anderen (von einem Messverfahren zum anderen, von einer Beschreibung der Welt zur anderen). Bei einer einzelnen Skala im Messverfahren wird die Matrix auf eine einzelne Zahl reduziert, das Verhältnis der Skala verschiedener Verfahren. Wenn es zwei Skalen gibt, werden solche Zahlen zu vier und sie werden zu einer Tabelle zusammengefasst, quadratische Matrix 2x2. Quadratisch weil, dass die Anzahl der Skalen in jedem Messverfahren für eine vollständige Beschreibung des Messobjekts notwendig und ausreichend sein sollte, was das gleiche bedeutet. Weitere Skalen sind erforderlich, um das Objekt zu beschreiben — Weitere Zahlen in der Spalte und Zeile der Matrix. 3x3, 4x4 usw.. Beziehungsweise, Transformationsgruppen sind numerisch Matrixgruppen. Dies ist die wichtigste Implementierung einer Gruppe., So können Sie die Eigenschaften direkt untersuchen.

In Mathematik und Physik, Zusätzlich zu den oben diskutierten Symmetriekonzepten gibt es noch eines, scheinbar formal, sondern auch ein sehr wichtiges Konzept der Symmetrie (und Antisymmetrie) von ihnen dargestellte mathematische und physikalische Objekte. Es geht zurück auf das Konzept der Unveränderlichkeit (oder das Vorhandensein von Änderungen eines bestimmten Typs) jedes zusammengesetzte Objekt, wenn seine Teile neu angeordnet werden. Ein einfaches Beispiel — Objekt ist ein Satz von zwei (oder mehr) genau die gleichen Artikel. Wie man diese Gegenstände nicht tauscht, das Objekt selbst (das ganze Set, als Ganzes) ändert sich nicht.

Geometrische Objekte, bis auf das einfachste, Skalar, sind diese Art von Sets, Sätze von Messergebnissen. Zum, um sie voneinander zu unterscheiden, Jede Komponente ist zugeordnet Indizes. Gleichzeitig wird das Objekt selbst mit einem Buchstaben markiert, Etikette. Und zu diesem Brief rechts, oben und (oder) Fügen Sie unten einen Index hinzu, die einen Skalennummernwert haben kann, mit dem die Messung dieser besonderen Eigenschaft verbunden ist, diese Objektkomponente. Es gibt zwei Arten von Messungen. Direkte, in welcher Beziehung eine bestimmte Eigenschaft ist (Komponente) Objekt auf die angegebene Skala, grob gesagt, Wie oft passt die Skala in dieses Objekt?. In diesem Fall der Index, Skalennummer, Aufgesetzt, und die Komponente erhält die Abmessung der angegebenen Skala. beispielsweise, Meter, Zentimeter, zweite. Dieser Index wird als kontravariant bezeichnet.. Es gibt auch Konjugate, spezifische Messungen, sprechen über, wie viel von einer bestimmten Komponente, dieser Eigenschaft des Objekts fällt auf die entsprechende Einheitenskala. Abmessungen, passend, 1 geteilt durch Meter, pro Zentimeter oder Sekunde. Ganz verständlich, dass direkte und konjugierte Messungen durch Multiplikation konjugiert werden. beispielsweise, wenn wir über eine einzelne Skala sprechen, dann haben die einfachsten Objekte jeweils eine Komponente und das Produkt konjugierter Komponenten desselben Objekts, anders gemessen, werde einen geben (dimensionslos! ein Thema, egal was) bei jeder Wahl der Skala. Unterscheidung zwischen direkten und konjugierten Messungen, Der Index des letzteren wird immer unten geschrieben und als Kovariante bezeichnet.

Wenn ein geometrisches Objekt zwei oder mehr Indizes derselben Art hat (kontravariante oder kovariante, aber nicht gemischt), dann wird es möglich, zwei neue geometrische Objekte aus den Komponenten dieses Objekts zu konstruieren. Diese beiden Objekte werden als symmetrische und antisymmetrische Teile des ursprünglichen Objekts bezeichnet.. beispielsweise, nimm ein Objekt B.^ich_jk. Aus seinen Komponenten können zwei Objekte gebildet werden,  S.^ich _jk = 1/2 ( B.^ich_jk + B.^ich_kj) und EIN^ich_jk = 1/2 ( B.^ich_jk – B.^ich_kj),  das ursprüngliche Objekt ist also ihre Summe:   B.^ich_jk = S.^ich_jk + EIN^ich_jk. Alle diese Formeln müssen wie folgt verstanden werden, Was wäre, wenn anstelle der Indizes j und k ihre spezifischen Werte stehen würden?, dann gelten für alle diese Werte die ausgeschriebenen Gleichungen. beispielsweise, S.^ich₁₂ = 1/2 ( B.^ich₁₂ + B.^ich₂₁)  für jeden Wert i. ObjekteS.^ich_jk undEIN^ich_jk habe spezielle Namen — symmetrischer Teil   und antisymmetrischer Teil Objekt B.^ich_jk. Diese Namen entsprechen den RelationenS.^ich_jk=S.^ich _kj      undEIN^ich_jk= –EIN^ich_kj    , die aufgrund ihrer Struktur offensichtlich für sie erfüllt sind. Die Operationen zum Auswählen symmetrischer und antisymmetrischer Teile werden normalerweise aufgerufen Symmetrisierung und Antisymmetrisierung. Da diese Operationen in Bezug auf Koordinatentransformationen unveränderlich sind (Wahl des Messverfahrens), dh. Beziehungen bleiben in allen Koordinatensystemen erhalten, wenn sie in irgendjemandem richtig sind, dann ist die Gleichheit mit Null eines der Teile eine absolute Tatsache, unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems. Dh. wenn ein Objekt symmetrisch ist (Der antisymmetrische Teil ist Null), dann gilt dies für jede seiner Beschreibungen. Gleiches gilt für die Antisymmetrie. In der Tat, Diese beiden Teile hängen nicht voneinander ab. Symmetrisierung (Auswahl eines symmetrischen Teils) Geometrische Objekte können nur mit einer geraden Anzahl von Indizes desselben Typs gezeichnet werden. Eine Antisymmetrisierung kann jedoch unter Verwendung einer beliebigen Anzahl solcher Indizes durchgeführt werden (wenn überhaupt,natürlich), Hinzufügen der Begriffe mit zyklisch permutierten Indizes und einem Pluszeichen für eine gerade Gesamtzahl von Permutationen und einem Minuszeichen für eine ungerade Zahl zur Formel, die diese Operation definiert. Außerdem, anstelle eines Multiplikators 1/2 Die Anzahl der möglichen eindeutigen Permutationen sollte als Gewichtungsfaktor verwendet werden, dh. Sie müssen die resultierende Summe durch die Fakultät der Anzahl der an der Operation beteiligten Indizes desselben Typs dividieren. Beispielsweise, Es gibt drei Kontravarianten (oder kovariant) Index. Dann enthält die Summe Begriffe mit Indizes des Formulars: +ijk -ikj +kij -kji +jki -jik, Gesamt 6. Und der Gewichtungsfaktor wird sein 1/3!= 1/6. Dies ist kein zufälliger Unterschied zwischen diesen beiden Vorgängen.. Etwas, Antisymmetrisierung ist eine grundlegendere Operation, es befasst sich sogar mit einem speziellen Zweig der Mathematik, Theorie der Formen. Es gibt sehr wichtige Fakten in der eigentlichen Geometrie, in Bezug auf vollständig antisymmetrische Objekte. Insbesondere, Antisymmetrisierung durch die Anzahl der Indizes, die Dimension des Raumes überschreiten gibt automatisch Null. Und mit Gleichheit — oder Volumen (für kontravariante Indizes), oder seine konjugierte Menge, Schüttdichte.   Symmetrisierung ist auch eine sehr wichtige Operation., aber es ist in gewisser Weise privater, hat eine etwas spezifischere, keine universelle Bedeutung. beispielsweise, im Fall von metrische Räume. Obwohl diese Bemerkungen ziemlich relativ sind. Immerhin eine der Richtungen der Klassifizierung von Strukturen, die für die Geometrie am wichtigsten sind, affine Verbindung und Krümmungstensor basiert genau auf der Trennung ihrer symmetrisierten und antisymmetrisierten Teile.

Diese scheinbar rein formalen Operationen mit Indizes ermöglichen es uns tatsächlich, einige sehr grundlegende Eigenschaften von Objekten der realen Welt zu beschreiben.. Mit diesen Konzepten wird eine Klassifizierung möglich, Listen Sie diese Eigenschaften auf.

© Gavryusev V.G..
Die auf der Website veröffentlichten Materialien können gemäß den Zitierregeln verwendet werden.