Warum ist es nützlich zu präsentieren, wie entsteht, Woher wächst der Baum der mathematischen Konzepte??

Der aktuelle Stand der Mathematik und Physik, wer nutzt es, solches ist, dass so viele Konzepte wie aus dem Nichts auftauchen, einfache Deklaration — so definieren wir es, Akzeptiere solche und solche Axiome. Warum, warum — finde es für dich selbst heraus. Und wir werden noch weiter gehen und eine schöne Theorie auf diesen Axiomen aufbauen. Ergebend, ein Schleier der Mystik durchdringt die Wissenschaft, ihre Darstellung verliert an Klarheit, Grundlage unserer täglichen Erfahrung. Wird oft so abstrus, das sogar ein Mann, Wer auf diesem speziellen Gebiet ausgebildet ist, muss viele Dinge einfach auf Glauben nehmen. Alltäglich sind in dieser Hinsicht, z.B, Konzepte der Quantenmechanik. Seine eigentlichen Grundlagen werden als etwas inhärent Widersprüchliches dargestellt.. Versuchen Sie nicht zu verstehen. Nehmen Sie den Formalismus des Glaubens und denken Sie nicht über die Bedeutung der Symbole nach, einfach rechnen. Das ist alles, was dir zur Verfügung steht. Seit seiner Gründung sind etwa hundert Jahre vergangen., Und nichts hat sich geändert. All dies hat äußerst traurige Folgen für die Wissenschaft selbst., als auch für die Allgemeinheit, лишённой какой-либо возможности сформировать соответствующее времени мировоззрение. Поэтому нередко случается так, dass einige wissenschaftliche Begriffe aus dem Kontext gerissen werden, mit einer völlig uninhärenten Bedeutung ausgestattet und dann weit verbreitet an den Ort und, öfters, fehl am Platz. beispielsweise, Wort “Energie” — was ist bioenergie? Oder geistig?  Oder “Chakren” — “Wirbelstürme der Energie”? Und der Begriff eines Feldes in einem solchen Zusammenhang — “Biofeld”? Oder das Konzept der Anzahl der Dimensionen, die leicht ohne Messungen verwendet werden kann?  Richtiges Wort, neues Mittelalter. Und das geschieht in erster Linie, weil, dass die Wissenschaftler selbst, die diese Begriffe verwenden, machen Sie sich nicht die Mühe, sie klar und deutlich auszudrücken. Meistens weil, dass sie selbst nicht das nötige Maß an Klarheit und Eindeutigkeit in ihrem Weltbild erreichen. Wie sie sagen, einwandfrei verstanden — eindeutig erklärt. Und wenn es nicht klar ist, und die Präsentation lässt zu wünschen übrig.…

Abschnitt “Lautes Denken” diese Website zielt genau darauf ab, einem möglichst breiten Publikum dieses Verständnis der Bedeutung zu vermitteln, Ursprung, Rolle und Platz in unserem Wissen über mathematische Konstruktionen, ohne deren Gebrauch die Beschreibung der Welt nicht auskommt,  die sich in mir während des Aufbaus dieser Beschreibung gebildet hat. Может быть кому-то это поможет. Это не значит, dass ich die Axiome selbst und die Konzepte, die sie definieren, überarbeite. scheinbar vollständig von den Hüllen der Realität abgelöst. Ich werde diese Gründe beschreiben, diese anschaulichen Beispiele aus der realen Welt, die verallgemeinert werden, zu Ideen werden, und erst dann werden diese Ideen als Sätze von Axiomen formuliert. Ich betone. Beispiele aus der Praxis sind die Basis, Idee generieren. Keine Ahnung, als solche, durch solche Beispiele umgesetzt, am Ende sind sie nicht gleich. Außerdem, in den meisten Fällen, besonders wenn es um unendlich geht, potenziell oder tatsächlich, jede Implementierung von Beispielen der realen Welt sieht nur aus sich nähern zum Ideal, dazu, die der formulierten Idee in ihrer Gesamtheit entsprechen würden.  Natürlich, alle die vielen mathematischen Konzepte abdecken (Ideen) völlig unmöglich, es ist zu groß. Aber berühren Sie das Wichtigste, kritische Momente, die meiner Meinung nach meist in einem unglücklichen Licht serviert werden, можно попытаться. А сама эта статья предназначена собрать эти понятия, oder zumindest einige von ihnen in einem einzigen System, in einen Baum mathematischer Strukturen, natürlich aus der Notwendigkeit, bestimmte Eigenschaften unserer Welt und die Methoden einer solchen Beschreibung zu beschreiben. Dabei, aus Notwendigkeit, Ich muss zwei parallele Erzählstränge führen. eine Linie — es ist eine Folge von Ideen, собранных в математических понятиях. Ideen werden aus der realen Welt geboren, dann formuliert als Teil der Beschreibung der Eigenschaften eines Phänomens oder etwas, das vielen Phänomenen gemeinsam ist. Aber dann bekommen sie ein Eigenleben, sich zu neuen Ideen kombinieren oder durch Veränderung andere entstehen lassen (Eigentumsverneinungen, Charakterisierung der Idee, neue hinzufügen usw.) erste Definition der Idee. Darüber hinaus die Selbstkonsistenz und Konsistenz der neuen Idee, allgemein gesagt, nicht benötigt. Formulieren (beschreiben) Sie können und Ideen beliebig absurd. aber, wenn es um mathematische Konzepte geht, dann sind für sie Selbstkonsistenz und Konsistenz zwingend. Eine andere Linie — dies ist eine Folge von Beispielen für die Umsetzung dieser Ideen durch Objekte und Phänomene, von uns in der realen Welt beobachtet. Die Präsentation hier wird sich weitgehend mit anderen Artikeln überschneiden., dem einen oder anderen hier erwähnten Konzept gewidmet. Ich sehe keinen Sinn darin, es zu vermeiden.. Es ist besser zu wiederholen, als etwas Nützliches verpassen.

Ein paar Worte dazu, warum ich mich auf Geometrie konzentriere, überhaupt nicht Mathe, als ganzheitliche Wissenschaft. Der Grund ist, dass für mich die ganze Welt der mathematischen Ideen leichter zu begreifen ist, auf konstruktive Weise, auf denen jeder Begriff als Definition einer Idee eingeführt wird, durch die Beschreibung seiner Eigenschaften. Am Ende ist es leicht genug zu sehen, dass alle Axiome solche Definitionen sind, oft verschleiert. Aber mit einer Betonung der reinen Axiomatik geht die Integrität der Mathematik verloren., Ihre Vision zerfällt in eine Sammlung von verschiedenen, schlecht gekoppelte theoretische Konstrukte. Als ich diese Tatsache erkannte, Was Axiome sind nur Definitionen von Wörtern durch eine Beschreibung dessen, was diese Wörter bedeuten, Eigenschaften, die der Idee zugeschrieben werden (Bedarf, Beschränkungen, verfügbare Operationen usw.. usw.) das Gesamtbild wird drastisch vereinfacht, wird zu einem Baum mit verschiedenen Ästen und gemeinsamen Wurzeln. Ja, und das Zusammenführen und / oder Überschneiden verschiedener Zweige (Dialekte der Mathematik) es ist auch viel einfacher zu sehen. Wie Sie unten sehen können, für mich Alle Mathematik beginnt mit zwei Grundideen, Ideen des Ganzen und Ideen seinerseits, kontinuierlich und diskret, mit einer Beschreibung ihrer Einheit und Unterschiede. Und von der ersten Idee ist die zweite einfach und unkompliziert zu bekommen., und hier ist der Weg zurück, erzeugt nur denselben Baum mathematischer Konzepte, fraglich. EIN das Kontinuierliche ist für uns natürlich genau mit der Geometrie verbunden. Deshalb kam der Link zur Geometrie in den Titel.

BEI Grundlagen und Mathematik, und Physik liegt die Idee einiger elementarer, unteilbares Element — Punkt. Das einzige Eigentum,   was zunächst mit der Idee eines Punktes verbunden ist — diese Existenz. Existenz, unabhängig von anderen Konzepten, eine solche, z.B, wie Zeit und Ort. Nur ein Element Es gibt, denken als ein einziges und unteilbares Ganzes. Und alle. Zeit und Ort als Konzepte werden später erscheinen. Warum wird dieses Konzept in der Mathematik benötigt?? Das ist es, Wo beginnt die Mengenlehre?, und Geometrie, und Zahlentheorie usw.. auf die reale Welt übertragen werden kann. — kürzer, alles Mathe.

Die Ursprünge davon in der realen Welt sind eine Vielzahl von Dingen. Genau die Sachen, einzelne Gegenstände, Teilen der Welt geben leicht eine visuelle Darstellung von Element, als Gegenstand der Mengenlehre, mach dir das klar Idee. Aber mit einer visuellen Darstellung von Punkt, als Hauptelement der Geometrie schwieriger. Der beste, was getan werden kann, um zu demonstrieren, Das Prozess, eine Menge von Objekten, die immer kleiner werden Größen, in der Grenze verschwindenp. Etwas später werde ich etwas anderes als Bild eines geometrischen Punktes anbieten., viel natürlicher u, man kann sagen, ganz gewöhnlich, gewohnheitsmäßig. Und jetzt möchte ich mich darauf konzentrieren, dass das bildliche Bild eines Punktes ist Objekt lässt etwas sehr Wesentliches für die Geometrie aus, was ist sein Wesen. Dann, was sie von anderen Zweigen der Mathematik unterscheidet. Dieses Bild ermöglicht es Ihnen, Geometrie mit der Mengenlehre zu verknüpfen, Betrachten Sie die Konzepte der Geometrie als Konzepte, eine Reihe von Punkten beschreiben, eine Menge von Elementen mit bestimmten Eigenschaften. Aber diese spezifischen Eigenschaften des Punktes selbst werden durch ein solches Bild nicht betont., nicht sichtbar macht. Es geht um, Was Geometrie ist eine Beschreibung von Kontinuitäten, Aggregate Punkte, als intern verknüpfte Elemente, nicht geteilt. Sätze von Punkten sowohl getrennt als auch, gleichzeitig, als integrale Objekte. Genau deswegen, erste axiomatische Theorie in der Geometrie, Geometrie Euklid, beruht (bevor wir die berühmten fünf Axiome formulieren!) nicht nur auf dem Konzept eines Punktes, sondern auch auf dem Konzept einer durchgehenden Linie (Gerade), und sogar auf das Konzept der Oberfläche (Flugzeug). Das heisst, dass es mehr Axiome geben sollte, denn auch diese Konzepte müssen formalisiert werden. Später wurde diese interne Verbindung von Punkten in der Mathematik durch eine Reihe von Axiomen beschrieben, die die Eigenschaften der Punktmenge festlegen, als Ganzes (was bedeutet, und die Elemente selbst, seine Bestandteile). Und nicht so ein kleines Set. Ich werde sie nicht auflisten. Wen interessiert das, siehe die Axiomatik topologischer Räume und Mannigfaltigkeiten. Von diesen, bereits recht komplexe Konzepte beginnt Geometrie. Aber all diese Axiome sind genau zu diesem Zweck geschaffen., formulieren die Idee der kontinuierlichen, Terminologie, gut verstanden für Ideen von diskret. Und noch eine Idee. Landschaftsideen — Prozess, endloser Prozess, was fällig ist (manchmal) abgeschlossen. Die Möglichkeit, eine solche Grenze zu erreichen, muss im Glauben angenommen werden., als Abgrenzung, dass es existiert. Und die Grundlage für den Glauben sind solche Beispiele, wie ein Faden, Stoffe und andere Dinge, die geteilt werden können, verbleibenden Beispiele der gleichen Dinge. Aber für die Aufteilung in diese Teile müssen Sie besondere Anstrengungen unternehmen.. Allgemein gesagt, das sind schlechte beispiele., Weil. wir sind uns jetzt wohl bewusst, Was alle solche Dinge nach einigen Finale eine Menge von Unterteilungen hört bereits auf, dieselbe zu sein, was wir angefangen haben zu teilen. Aber stellen Sie sich vor, was ist etwas stattfinden könnte bei endlose fortsetzung wir können. Und in diesem Sinne, solche Beispiele genügen zufriedenstellend für die Formulierung der Idee selbst. Später werde ich ein anderes Bild von dem untrennbaren Ganzen geben, basierend auf unserer Erfahrung. Und jetzt werde ich nur bemerken, dass die Wurzel aller Probleme beim Verständnis von Phänomenen, die durch den Namen vereint sind “Quantenmechanik” befindet sich genau hier. Die Idee der Integrität unserer Welt, die untrennbare Verbindung aller ihrer Teile scheint unvereinbar mit der im Experiment entdeckten Grenze der Möglichkeit einer unbegrenzten Teilung dieser Ganzheit in Teile.

Die Ergebnisse der Messungen dieser Eigenschaften werden einfach gruppiert, zur Geometriebildung, als Begriffssysteme, zusätzlich zu einem Punkt als diskretes Element, Bestandteil einer Menge und führt zum Begriff der natürlichen Zahl, was benötigt wird, ist nur das Konzept einer durchgehenden Linie zusammen mit dem Konzept einer reellen Zahl. Gleichzeitig kann man davon sprechen Geometrie des Raumes eines Messungen. Ich betone noch einmal. Das Konzept einer Linie als eigenständige Kontinuität, abgesehen vom Konzept eines Punktes. Es ist in gewisser Weise grundlegender., Weil. macht es einfach, das Konzept eines Punktes zu formulieren. beispielsweise, Teilen Sie die Linie in zwei Teile und nennen Sie jedes einen Punkt. Teilen Sie diese Stücke wieder, und wieder können wir die neuen teile punkte nennen. Usw. Dies sind verschiedene Implementierungen von diskret mit kontinuierlich. Natürlich, Dieses Beispiel ist begrenzt und erlaubt uns, weiter nur über Mengen von Stücken zu sprechen, nicht über Liniengeometrie. Hier gibt es zwei Seiten, es gibt eine Vorstellung vom umgekehrten Prozess, über das Bilden einer Linie aus Punkten. Dieser umgekehrte Prozess ist jedoch nicht sehr einfach., es braucht eine Beschreibung viele besondere Eigenschaften, benötigte Punkte, sodass das Ergebnis genau eine durchgehende Linie ist. Diese Komplexität ergibt sich gerade aus der Eigenständigkeit des Begriffs der Kontinuität, seine ursprüngliche Unabhängigkeit vom Konzept eines separaten Elements, Punkte. Daher ist es notwendig, alle notwendigen Eigenschaften von Punkten zu isolieren und zu beschreiben, die sie zu Elementen genau der kontinuierlichen Menge machen. Und dann, was sind eigenschaften es sollte möglich sein, zu formulieren folgt aus der Fähigkeit, Punkte als Teile eines Ganzen zu definieren. Diese Eigenschaften werden durch einen bestimmten Satz von Axiomen beschrieben (Definitionen von Eigenschaften von Punkten als Elemente von Mengen). Wie ich oben sagte,  Axiome schlagen eine Brücke von diskret zu stetig. Aber aus physikalischer Sicht lässt sich diese ganze komplexe verbale Konstruktion recht einfach vermitteln., Hervorhebung der Essenz der Idee der Kontinuität. Die durchgezogene Linie ist die Menge End-to-End-Stücke (verknüpft bedeutet, dass die Endpunkte der Teile gleichzeitig zu zwei Teilen gehören, Segmente),  immer welche haben Größe. Wenn wir uns vorstellen, dass die Stücke können endlos teilen, Also resultierende Größe Beenden Sie diesen endlosen Prozess wird streng gleich Null, такой вот последний кусочек мы и называем точкой. Отметим, da alle uns zur Verfügung stehenden Spaltungsprozesse endlich sind, Wenn wir dann diese Ideen anwenden, um die kontinuierliche reale Welt zu beschreiben, assoziieren wir notwendigerweise mit Punkten eine Vielzahl von Objekten und, Wie ist das, bilden ungefähre Beschreibungen der realen Welt. Aber in Mathematik, als die Sprache der reinen Ideen, wir stellen exakt imaginär perfektes Konzept über einen Punkt als Element der Kontinuität, unbemessen. Zur gleichen Zeit in der Mathematik solche Punkte, bilden eine durchgehende Linie, sind per definitionem gleich. Diese Einheitlichkeit kann gebrochen werden, wenn einige Punkte speziell zugewiesen werden, zusätzliche Etiketten, Kontinuität als solche nicht zerstören. Diese Idee verstehen wir auch. — z.B, Faden mit Knoten. Solche singulären Punkte können auch mit ganzen Zahlen beschriftet werden. In diesem Sinne, Linie mit singulären Punkten implementiert die Einbettung von ganzen Zahlen in Real. Außerdem, wenn die Idee eines Punktes, da ein Segment mit Nulldimension eine bestimmte Spannung erfordert, dann Darstellung einiger singulärer Punkte, aus dem einen oder anderen Grund unteilbar, aber immer verbunden, der Reihe nach verknüpft, viel einfacher für unseren Verstand zu verstehen. Letzten Endes, genau diese idee, die Idee einer Reihe von elementaren Ereignissen, eingesammelt Abfolge von Ursachen und Wirkungen, und wurde für mich zur Grundlage des Verständnisses als Physiker, sowie Mathematik. Fall, die wir keineswegs als die Vereinigung anderer Ereignisse darstellen können, ist für uns das Letzte, unteilbar, elementar. Dieses Ereignis verbinden wir mit dem mathematischen Konzept eines dimensionslosen Punktes.. Und das ist die neueste Annäherung, die uns zur Verfügung steht.. Jawohl, ein solches Bild eines Punktes ist keineswegs für alle Kontinuitätspunkte geeignet, die wir anrufen “unsere Welt”. Aber das ist alles, was uns zur Verfügung steht und wir müssen damit rechnen..

Nun möchte ich mich auf eine der wichtigsten Eigenschaften der obigen Beispiele konzentrieren., was bei der Darstellung von Ideen in der Mathematik immer übersehen wird. beachten Sie, zur Gegenwart des Wortes “Größe“. Das Wort ist in keiner Weise definiert., seine Bedeutung ist klar. Es gibt also etwas Wichtiges hinter den Kulissen. Nämlich, Konzept hinter den Kulissen gelassen “Messung“. Und es ist kein Zufall, dass wir bereits darüber gesprochen haben Geometrie des Raumes einer Dimension. Aber dann muss dieser Begriff klar definiert werden.. Allerdings bietet die Mathematik noch keine expliziten Definitionen für die Messung, obwohl er es mit Macht und Kraft einsetzt. Tatsächlich, wenn es um Zahlen geht, dann hinter ihnen Stets messenswert. Auch wenn es sich um natürliche Zahlen handelt.

Ich werde nicht versuchen, ein System von Axiomen für den Begriff zu entwickeln “Messung”.  Jeder Satz von Axiomen kann als Aufzählung der Eigenschaften des zu definierenden Konzepts betrachtet werden. Deshalb, Auch, was das konzept angeht “Element”, “Punkt”, Ich liste die Eigenschaften auf, vereint in diesem Konzept:

• Messung — Das Verfahren, Aktion (Aktionssatz, Operationen), kein Objekt. Dieser Vorgang ist sicherlich ein Gegenstand der Physik., als Abbild der realen Welt. In der Mathematik bleibt es in den meisten Fällen außerhalb ihres Begriffssystems., zumindest heute. Einerseits ist es nützlich., da es Ihnen ermöglicht, mit bereits formulierten Ideen zu arbeiten, ohne sich um ihre Grundlagen zu kümmern. Hier gibt es zwei Seiten, das Vergessen der Grundlagen verarmt die Mathematik selbst, und macht es schwierig, es in der Wissenschaft anzuwenden.
• Dieses Verfahren umfasst mehrere Komponenten., einige davon sind immer vorhanden, und der andere Teil trifft möglicherweise nicht zu. Darüber hinaus können Sie den zuvor aufgelisteten Eigenschaften neue hinzufügen, die das Messverfahren verfeinern. Auf diese Weise dieser Begriff repräsentiert auch eine gewisse Hierarchie von Begriffen, nicht unbedingt hintereinander verschachtelt (diese Hierarchie kann sich in bestimmten Stadien wie ein Baum verzweigen). Der Hierarchie gemeinsam sind die Komponenten, verfügbar Stets :

1. Jeder Messvorgang beginnt mit Einheitenauswahl. Beispiele von: Stein, Menschlich, beliebiges Thema (dh. Element, Punkt ist bereits ein mathematisches Konzept) oder Thema, einige spezifische Eigenschaften haben, z.B, “Größe”, “Wert”.
2. Ein weiteres obligatorisches Element im Messverfahren — Vergleich Das, was mit einer Maßeinheit gemessen wird, auch Waage genannt.

Vergleichsergebnisse werden nach Elementen einer speziellen Menge angezeigt, Mengen von Zahlen. Im einfachsten Fall der Messung wird nach dem skalenbestimmenden Merkmal verglichen — passt/passt nicht. Ergebnis — natürliche Zahl. 1, 2, 3, 4 Stein. 10 Artikel. Nur 10 oder einfach 1 sie sind nur symbole, keine Zahlen. Diese Symbole werden dann zu Zahlen, Wenn, zumindest implizit, Wir betrachten sie als Ergebnisse Zählen etwas. Ergebnis — bereits Messverfahren. Das einfachste, Ja. Aber für uns ist es ganz klar, normal für die reale Welt. aber, Die Mathematik versuchte, den Ursprung der Zahlen hinter den Kulissen zu lassen und konzentrierte sich auf Operationen mit ihnen. Für Operationen mit Zahlen spielt es keine Rolle., dass dies die Anzahl von Steinen oder beliebigen Objekten ist. Die Ergebnisse werden für alle Skalen korrekt sein, die bei der Bildung von Zahlen verwendet werden, sofern sie durch das gleiche Messverfahren gewonnen werden.  Und wenn wir dann mit Zahlen operieren, wir nehme es stillschweigend an. Wenn du wissen willst, wie viele gäste wirst du im haus haben, Sie werden genau die Leute zählen, die zu Ihnen gekommen sind, und nicht wegen irgendetwas in einen Haufen mischen — Menschen, Regenschirme, Hüte… In dieser Loslösung von Besonderheiten, “Universal-” Anwendbarkeit der Zahlenmathematik konzentriert sich ihre enorme Kraft. Aber ihre Schwäche ist in ihr konzentriert.,  wenn sie es vergessen,  dass Operationen mit Zahlen immer noch ihre Herkunft berücksichtigen müssen.

Apropos, wir sind nicht geneigt, das Zählverfahren als Maß zu betrachten, nicht nur in der Wissenschaft, sondern auch im Alltag. Maß für uns ist, vor allem, Längenmessung (Breite, Höhen), Dann, kann sein, Wiegen und Volumenmessung. Nun, die Messung der Zeit — Tag, Nacht, Tag, Jahr. Letztere steht etwas abseits, Weil. Der Maßstabsvergleich ist hier nicht ganz eindeutig. Außerdem, Inzwischen sind viele andere Messungen ziemlich alltäglich geworden — Druck, Netzspannung, Schallleistung und mehr. Dennoch, Ein Zählverfahren ist immer ein Messverfahren in seiner einfachsten Form. Also solche Zweige der Mathematik, wie Zahlentheorie, Die Mengenlehre und andere damit verwandte haben ihre Wurzeln in dieser einfachsten, aber immer noch das Messverfahren. aber, Geometrie zur Beschreibung von Kontinuitäten wird durch komplexere Messverfahren erzeugt.

Die wichtigste Eigenschaft von Zahlen, Ergebnis von Messverfahren ist ihre Abmessungen. Die Dimension ist der Name der Skala, diese Maßeinheit, als Ergebnis des Vergleichs, mit dem diese Zahlen erhalten wurden. Ich möchte betonen — diese Tatsache wird von der modernen Mathematik völlig ignoriert, das funktioniert nur mit “nackt” Zahlen. Aber das kann die Physik nicht.. Und viele Probleme der heutigen Physik, wenn nicht alle, erzeugt durch diese völlig ungerechtfertigte Abstraktheit der Mathematik. Im Folgenden werde ich näher auf das Problem der Dimensionen mathematischer Objekte zurückkommen.. Jetzt widmen wir der Beschreibung der Messverfahren selbst etwas mehr Aufmerksamkeit..

Schauen wir uns das einmal ausführlich an. Dies ist eine der Hauptmessungen., auf die der ganze Rest reduziert werden kann (außer dem Messen der Zeit und dem Zählen der Tatsachen von Ereignissen, wie ein Geigerzähler; die letzte Art der Messung reduziert sich auf das grundlegende Zählverfahren). Wirklich, Alle anderen Messungen werden auf die eine oder andere Weise darauf reduziert, Messwerte von einer Skala mit aufgedruckten Teilungen abzulesen. Und was ist das, wenn nicht Längenmessung?

Auch die Längenmessung beschränkt sich in der einfachsten Variante auf die ersten beiden Komponenten des Messvorgangs. Nur die Maßeinheit muss eine bestimmte Eigenschaft haben. — “Größe”, “Größe” oder “Länge”. Durch diese Eigenschaft werden alle anderen Teile der Welt mit der Maßeinheit selbst verglichen.. Alle anderen Weltteileigenschaften werden ignoriert. Geräteabmessungen (Rahmen) wird immer als Stück betrachtet, Teil der Kontinuität, Sammlung von zwei nicht übereinstimmenden, aber verwandten Punkten. Für Geometrie, Längenmessung, oder Entfernungen zwischen den Punkten wurde zur Grundlage einer der grundlegenden Ideen, erlauben beschreiben Kontinuitäten als Mengen einzelner Punkte. Es handelt sich dabei um Idee eines Koordinatensystems. Diese Idee ist die letzte in der Definition des Konzepts “vielfältig“, es ist die Hinzufügung dieser Idee, die das Konzept transformiert “Topologischer Raum” in das Konzept “vielfältig”. Tatsächlich, und bis zu einem gewissen Grad die Vorstellung eines topologischen Raums (durch den Begriff einer Umgebung eines Punktes) bereits mit dem Begriff der Messung verbunden. Ich möchte nicht alle diese Axiome im Detail diskutieren. Ich werde nur sagen, dass sie alles enthalten, was das Kontinuierliche vom Diskreten unterscheidet, und diese Konzepte sind vom Konzept des Zahlenstrahls isoliert. Wort “gerade” hier nicht wichtig, könnte man sagen durchgehende Linie, deren Punkten reelle Zahlen zugeordnet sind. Die übliche Art, Mathematik zu sagen, hört hier auf. “Einige Mengen sind reellen Zahlen zugeordnet”. Ein Satz oder mehr. Wie es gemacht wird — Mathematiker interessiert das nicht. Es ist ein Axiom, ohne Nachweis und ohne eine konstruktive Beschreibung, wie eine solche Korrespondenz umzusetzen ist, akzeptiert. klar, dass ein solcher Ansatz eine Daseinsberechtigung hat. Außerdem, Es ist sehr effektiv, den Geist mit verschiedenen Ideen zu spielen. Doch um später von diesem Spiel profitieren zu können, ist es erforderlich, dass jede der dem Design zugrunde liegenden Ideen eine zumindest annähernde Umsetzung in der realen Welt findet. EIN in der realen Welt kann diese Korrespondenz hergestellt werden nur mit dem Messverfahren. Auch wenn Sie einfach in beliebigen Abständen Markierungen auf der Linie setzen und benennen “0”, “1”,”2″ usw., damit setzen Sie bereits ein bestimmtes Messverfahren um. Dabei kann sich die Maßeinheit von Punkt zu Punkt ändern. Und die wirklichen Zahlen sind nichts als, als Koordinatensystem. Zweig der Mathematik “Topologie” kein Interesse an Markierungen, sondern nur für Ordnung sorgen, Kontinuität selbst. Daher wird bereits im folgenden Konzept eine direkte Betonung des Koordinatensystems gemacht, Konzept der Vielfalt. Normalerweise sagen sie, dass die Mannigfaltigkeit topologisch ist (kontinuierlich) Raum, die sich in der Nähe des Punktes wie ein euklidischer Raum verhält in Bezug auf das Vorhandensein eines Koordinatensystems. Aus Gründen der Allgemeinheit wird auf den euklidischen Raum zurückgegriffen, um eine beliebige Anzahl von Dimensionen zuzulassen. Und der Begriff selbst kann aus einer Dimension gebildet werden (nicht von Grund auf Messungen!), mit Zahlenstrahl. Gleichzeitig zieht es die Mathematik vor, den Zahlenstrahl selbst nicht als Gegenstand der Geometrie zu betrachten., und hebt diese Probleme in einem separaten Abschnitt hervor, теорию чисел. В школе геометрию начинают учить с двух измерений, aus der ebenen Geometrie. Der Grund ist einfach — Ohne in zwei Dimensionen einzudringen, ist es unmöglich, eine Idee zu formulieren Gerade Linien, которая является одним из основных понятий геометрии Евклида. Однако, in dieser Ideenhierarchie, die durch die Beschreibung der Eigenschaften von Messverfahren in die Geometrie eingeführt wird, die meisten lassen sich bereits für den eindimensionalen Fall leicht erkennen, für nur eine Zeile, als ein einziger Satz von Punkten. Derselbe Fall liegt der Umsetzung geometrischer Vorstellungen durch Beispiele aus der Physik zugrunde., aus der realen Welt. Und das ist wichtig für die Physik.. Daher werde ich mich vorerst auf die Diskussion der Eigenschaften eines eindimensionalen Koordinatensystems konzentrieren (und Messverfahren, es ist generativ).

• Bei der Organisation von Compliance “Linienpunkt — reelle Zahl” Unter Verwendung des Messverfahrens müssen vier weitere Elemente zu seiner Beschreibung hinzugefügt werden, vier Eigenschaften , für den Zählvorgang nicht erforderlich:

1. Punktauswahl, von denen Entfernungen gemessen werden, dh. Auswahl Anhaltspunkt, er zeigt, denen eine Nummer zugewiesen wird (Distanz) “Null”.
2. Auswählen einer Einheiteneigenschaft, Skala, dem die Größe zugeschrieben wird, Größe gleich eins. Für die Linie wird der Maßstab ausgewählt Satz aus zwei Punkten, unbedingt voneinander trennbar (dh. nicht überschneidende Nachbarschaften haben), die auch Liniensegment genannt wird. Ein Punkt (Größe Null) Skala kann nicht sein.
3. Maßstab hängt von der Verfügbarkeit ab, an jedem Punkt vorhanden. Hier liegt schon ein gewisser Widerspruch vor. — einerseits, Maßstab ist der Abstand zwischen zwei verschiedenen Punkten, andererseits konzentriert es sich auf einen einzigen Punkt. Auf der Stufe der Vielfalt als eine bestimmte Reihe von Ideen eines Mathematikers (und Physik) Dieser Widerspruch kann nur aufgelöst werden Anerkennung der Fremdheit des Maßstabs der Linie selbst. Er ist extern, zusätzliches Element zur Linie. Seine zwei Punkte, definierende Einheit, sind keine Linienelemente. Krankenwagen, das wir etwas messen, ist immer davon getrennt, was messen wir. Diese Skaleneigenschaft kann sein (dann kann der Energie-Impuls-Tensor selbst sein!) nimm es als axiom. aber, wenn wir den Maßstab nur aus den inneren Eigenschaften der Linie bestimmen wollen (und es wirkt sehr natürlich), dann ist es unerträglich, einen Widerspruch in den Grundlagen zu haben. Dieser Widerspruch lässt sich auflösen, aber dafür müssen Sie den Satz von Ideen erweitern, Wechseln Sie vom Konzept der Vielfalt zu einem anderen Konzept, Vorstellung von einem Raum mit Konnektivität und noch weiter, zum Konzept eines Faserraums. Was sind das für Konzepte, wir werden später diskutieren.
4. Die Richtung ist gewählt, wobei Punkten positive Zahlen als Koordinaten zugewiesen werden (natürlich, gleichzeitig das Negative Richtung). Es stellt sich heraus, dass diese Richtung nicht nur den Punkten der Linie innewohnt, die beschrieben werden (sind digitalisiert, aufgeführt sind, werden arithmetisiert). Es wird auch das zweite (nach Größenordnung) Scale-Eigenschaft, Weil. und die zwei Skalenpunkte werden geordnet — Anfang und Ende, null und eins. Auf diese Weise, schon im eindimensionalen Fall, Skala hat zwei Eigenschaften — Größe und Richtung. Die Skalenrichtung wird zwar auf eine Ordnungsrelation reduziert, und die Richtung im eindimensionalen Raum wird auf das Vorzeichen der resultierenden Koordinate reduziert.

Den Begriff der Mannigfaltigkeit von dem ihm folgenden Begriff in der Hierarchie der geometrischen Konstruktionen zu unterscheiden erscheint erst dann, in Verbindung gebracht (im allgemeinen Jargon werden nur solche geometrischen Mengen als Räume bezeichnet) wichtig, dass jedem Punkt der Mannigfaltigkeit ein Existierendes zugeordnet ist (im mathematischen Sinne, aus der Zeit, aber eben “Es gibt, verfügbar”) seine Maßeinheit, Rahmen. Und per Definition ist es das auch 1 (seine Größenordnung) überall. UND, a-priorat, es wird kein weiterer Vergleich zwischen Skalen an verschiedenen Punkten vorgenommen. Sie, und Messergebnisse, mit ihrer Hilfe erhalten, an verschiedenen Punkten sind in keiner Weise verbunden.

Ich betone, Dies ist eine Beschreibung von Ideen. Wie lassen sich diese Ideen in reale Beispiele umsetzen?, was sehr wichtig ist, я буду обсуждать ниже. Полезно также поговорить о смысле слова “Koordinate”. Es kommt von der Idee der Ordnung. “Ordnung” in Latein. Dh. Punkte werden als geordnet angenommen. “WHO” Das “allgemein”, “gemeinsam” Befehl. Punkte sind beschriftet (beschrieben) solche Symbole (Zahlen), die es ermöglichen, ihre Reihenfolge unter einer solchen Beschreibung beizubehalten. Punkte sind unterscheidbar, sondern werden durch ihre Bezeichnungen nicht getrennt voneinander beschrieben, und alle zusammen, als Sammlung, System. Dies ist die Bedeutung des Begriffs “Koordinatensystem”.

Es ist auch nützlich zu beachten, dass die bereits beschriebenen Ideen als Wurzel angesehen werden können, sehr viele Zweige der Mathematik hervorbringen, mit Geometrie verwoben, sondern auch unabhängig davon, допускающие самостоятельное развитие. Это не значит, dass diese Abschnitte nur diese Wurzeln haben, in diesem Sinne, dass ihre (Zweige der Mathematik) kultiviert werden kann (wenn auch nicht vollständig!) und basierend auf den Ideen von rein diskret. Aber die in der Formulierung geometrischer Begriffe auftretenden Wurzeln genügen für das Wachstum, Formulierung aller dieser Abschnitte bereits in ihrer Gesamtheit.

beispielsweise, das ist Mapping-Theorie, Transformationen von Koordinaten und Funktionen. Здесь возникают также непрерывные группы и их представления. Алгебра матриц. Und vieles mehr. Wie kommt es dazu?

Punkten können Nummern auf unterschiedliche Weise zugewiesen werden.. Welche Freiheitsgrade gibt es bei der Wahl dieser Methoden?? Ein offensichtlicher Freiheitsgrad ist die Wahl des Referenzpunktes.. Nullpunktverschiebung entlang der Linie. Schicht. Für eine beliebige Entfernung. Jede Zahl, entsprechend irgendwelchen Punktänderungen. Nämlich, um den Verschiebungsbetrag erhöht oder verringert.

Hier 2 Anzeige — auf einen anderen Punkt verweisen und Zahlen, entsprechenden Punkt zu einer anderen Nummer, bezieht sich auf denselben Punkt.

Es gibt bereits hier und Funktion (im einfachsten Fall konstant), der Betrag der Änderung der Koordinaten eines Punkts, wenn zu einer neuen Methode zum Zuweisen von Koordinaten gewechselt wird.

Hier Koordinatentransformationen, Wie Funktionen neuer Koordinaten aus alten, und alte Koordinaten von neuen.

Es gibt einige Gruppen (definiert als eine Menge von vielen Elementen und einer Operation, die diesen Elementen so ausgesetzt werden können, dass sie im selben Satz bleiben und einige zusätzliche Bedingungen erfüllen), dessen Gruppenoperation Addition ist. Basisgruppe, Gruppe von Messverfahren, unterscheiden sich in der Herkunftswahl. Diese Gruppe, wie das Konzept mehr zur Physik gehört, keine reine Mathematik. (die Mathematik versucht, diesen Begriff implizit zu halten, außer Betracht). Jedoch, hier gebe ich ausdrücklich eine Diskrepanz zwischen meinem Jargon und dem exakten mathematischen Konzept einer Gruppe zu. aber, für “Gruppe” in der Mathematik gibt es keine geeigneten Messverfahren präzise Konzepte, Deshalb, dass sich die Mathematik nie wirklich mit Messverfahren beschäftigt hat. Verzeihen Sie mir also bitte diesen Jargon. “Gruppe” Koordinatensysteme, die diesen Prozeduren entsprechen. Gruppe von Transformationen von einer Koordinate zu einer anderen. Das ist jetzt eine richtige Gruppe., Wir sind ein Zitat. Matrixgruppe (hier in der Tabelle zum Singular degenerieren, aufgrund der Beschränkung der Betrachtung auf eine einzige Dimension), Beschreibung dieser Transformationen. Aber diese Gruppe kann berücksichtigt und vergessen werden, was sind umwandlungen. Nur eine Gruppe reeller Zahlen (oder Matrizen) durch Zusatz. Letzte Eigenschaft, die Fähigkeit, vom Ursprung zu abstrahieren, macht Matrixtransformationsgruppen (im Allgemeinen kontinuierlich) ein Schlüsselwerkzeug für die Theorie der Gruppen und ihrer Repräsentationen. EIN Gruppenvertretung Sie können jede der oben genannten Gruppen benennen. Es ist die Verbindung zwischen all diesen Gruppen, die sich bildet die Idee verschiedener Darstellungen des Gleichen Gruppe. Usw.

Hier wird sofort ein sehr wichtiges Konzept definiert. — Konzept Vektor. Immerhin die Waage, bestehend in der einzigen (beliebig) Punkt, seine zusätzliche Eigenschaft, Dies ist ein sehr spezifischer Artikel., требующий отдельного своего рассмотрения и точного формулирования как идея. Вспомните, weil die Skala, einem Punkt zugewiesen hat bereits zwei Eigenschaften auf einmal — Größe (Größe) und Richtung. Mit zunehmender Anzahl von Messungen an einem bestimmten Punkt (als vorhanden definiert) zusätzliche Skalen, andere Richtung, und, kann sein, und Größe auch. Außerdem, Von hier aus liegt der Weg zu einem solchen Konzept, Wie Metriken. Obwohl die Ursprünge dieses Konzepts bereits hier liegen (erinnern — Die Maßeinheit für eine Linie ist definiert als der Abstand zwischen ihren beiden Punkten), seine vollständige Formulierung ist nur für die Räume möglich, in dem die Verbindung definiert ist — Beziehung zwischen Skalen an verschiedenen Punkten. Aus dem einfachen Grund, dass wir im Begriff einer Metrik über genau zwei Punkte sprechen (auch bei ihrer unendlichen Nähe). Wir werden auf diese beiden Richtungen in der Entwicklung der Hierarchie der geometrischen Begriffe zurückkommen., Schauen wir uns zunächst einmal das Konzept einer Gruppe genauer an..

Gruppenidee, die aus der Möglichkeit geboren wird, das Messverfahren unterschiedlich zu wählen, ist eine der zentralen für die Physik (und auch für Mathe, natürlich). Und sie ist hier geboren, am Anfang, beim Erstellen einer Kontinuitätsbeschreibung mit Labels, seine Elemente zuzulassen und zu unterscheiden, Punkte, und halte sie zusammen,  Ordentlichkeit, Verbindungen zwischen ihnen. Das Koordinatensystem wird durch die folgenden Bezeichnungen gekennzeichnet (setzt, viele Etiketten). Und Messverfahren sind die Mittel, mit dem Sie diese Etiketten erstellen können, Zahlen. Und viele Konzepte, auf die reale Welt übertragen werden kann, als Weltbeschreibung (fast alles)  haben als Quelle Eigenschaften von Messverfahren. Aber gleichzeitig nicht vergessen, dass die Messverfahren selbst in der Physik (und auch in Mathe) sollte reale Implementierungsbeispiele enthalten, nicht nur eine Idee. Eigentlich, Die Idee einer Gruppe kann nach der Definition des Begriffs einer Menge formuliert werden — Set mit einer gegebenen Operation, das keine Elemente daraus entfernt und einige zusätzliche Eigenschaften von Elementen (binärer Betrieb, die Existenz von neutralen und inversen Elementen in Bezug auf die Operation).  Auf dieser Ebene können jedoch nur diskrete Gruppen betrachtet werden.. Hier wird der Begriff einer Gruppe auf die Geometrie erweitert (Theorie der Kontinuitäten), mit seiner Hilfe wird es möglich, die geometrischen Strukturen selbst zu betrachten, Raum genau aus der Sicht dieser Eigenschaften, die unter den Gruppenbegriff fallen. Aber auch das Gegenteil ist der Fall, Gruppeneigenschaften können durch Methoden berücksichtigt werden, für Geometrie ausgelegt, Funktionstheorie, Zuordnungen usw..  Auf diesem Weg wurde die Theorie der kontinuierlichen Lie-Gruppen entwickelt, als Räume mit einer Anzahl von Dimensionen (Anzahl der Gruppenparameter, die als Koordinaten auf der Gruppe verwendet werden, als Integrität angesehen, Kontinuität, dh. wie geometrischer Raum). In der Tat, Bei der Beschreibung von Gruppeneigenschaften wurde wieder die Methode zur Beschreibung von Gruppenelementen mit Koordinaten verwendet. Und im Kern dieser Möglichkeit liegt das Verständnis dafür, dass der Übergang von einem einzigen Messverfahren (Koordinaten neu berechnen) nur machbar Messung eine Skala zur anderen. Fast alle Gruppen sind kontinuierlich “Gruppe” Messverfahren und deren Darstellung, Weil. fast alle Möglichkeiten, Charakterisierung des Messverfahrens (das sind die Parameter, Charakterisierung der Position des Ursprungs und Beschreibung der Skala, dh. ihre Größen und Richtungen) можно по-определению изменять непрерывно. Исключение составляют только группы по изменению знака координат, ändern Sie die Richtung ihrer positiven Lesung in das Gegenteil. Dies sind diskrete Gruppen. aber, manchmal, an eine Reihe von Bedingungen geknüpft, und diese Gruppen können als Spezialfall in stetig eingeschlossen werden. In diesem Sinne, dass der Übergang zwischen den Elementen der Gruppe, gegensätzliche Richtungen können manchmal mit Hilfe eines kontinuierlichen Richtungswechsels realisiert werden, und nicht nur das Vorzeichen von Zahlen ändern.

Für die Grundlagenphysik ist das Konzept einer Gruppe grundlegend, weshalb. Gruppen von Messverfahren (Dann lasse ich die Anführungszeichen weg, vor allem weil, dass wir fast immer über mögliche Transformationen sprechen werden, Übergänge zwischen Messverfahren, das sind genau die Gruppen) fallen natürlich in Untergruppen, die sich auszeichnen, dass ein Satz von Verfahrensparametern festgelegt ist, und nur der Rest ändert sich. (ein oder mehr). beispielsweise, die Gruppe der Verschiebungen des Ursprungs ist völlig unabhängig, obwohl es organisch in die vollständige Gruppe der Transformationen von Messverfahren aufgenommen wird (und auch Koordinatentransformationen). Diese Gruppe von Transformationen steht uns in ihrer Gesamtheit zur Verfügung., ohne Einschränkungen. So kann die von uns erstellte Beschreibung von der Wahl des Ursprungs und seiner Verschiebungen abhängen? Vielleicht, natürlich. Aber! Diese Art von Abhängigkeit, dass wir verpflichtet sind, davon auszugehen, dass es den Wesensgehalt der Beschreibung nicht ändert, die Identität davon nicht ändern, was beschreiben wir. Alle Unterschiede in der numerischen Beschreibung der Punkteigenschaft (oder komplexeren Teil der Welt), aufgrund der unterschiedlichen Bezugspunktwahl müssen wir als interpretieren einzige Darstellung dieser Eigenschaft (aus verschiedenen Blickwinkeln).

Und jetzt die Frage. Wir haben hier Ideen diskutiert. Einschließlich, Vorstellung vom Messverfahren. Bist du dir sicher, dass alle unsere Ideen ohne Einschränkungen durch Objekte oder Aktionen in der realen Welt realisierbar sind?  Erstens, exakt ob alle gewünschten Messverfahren? sollte dich traurig machen, wenn du dir sicher bist. Oft ist es mir aufgefallen, dass das Konzept der Kontinuität, so wie wir es beschrieben haben (wie eine Idee), beinhaltet den Begriff der tatsächlichen Unendlichkeit, die erreichte Grenze des unendlichen Spaltungsprozesses. Jawohl, Die reale Welt gibt uns viele Beispiele für Beweise, dass eine solche Grenze existiert (zumindest manchmal). Aber wir können kein nahezu unendliches Verfahren implementieren, und wir können niemals. Dies ist eine natürliche Einschränkung.. Wofür? Erstens, auf unsere Fähigkeit, die Welt genau und eins zu eins zu beschreiben (so dass jedes Element in der Beschreibung einem und nur einem Element der realen Welt entspricht und die Welt vollständig erschöpft). Zweitens, auf unsere Fähigkeit, all diese Messverfahren umzusetzen, notwendig für eine solche Beschreibung der Welt, deren Ideen wir formuliert haben (als ganzheitlich, kontinuierliches Objekt). dann impliziert Isotropie das Vorhandensein von Verbindungen zwischen Punkten, in der Gruppe all dieser Messverfahren (Koordinatensystem, Koordinatentransformationen) fallen natürlich auf diese Untergruppen, die wir vollumfänglich umsetzen können und ihnen,  die wir nur annähernd oder gar nicht erkennen können. Deshalb, dass die Darstellungen dieser Untergruppen, die wir vollumfänglich umsetzen können, wir sollten eine Eigenschaft eines Punktes der Welt von verschiedenen Gesichtspunkten aus betrachten. Aber um von einer solchen Darstellung zu einer anderen zu gelangen, müssen wir eine Transformation verwenden, die uns nicht zur Verfügung steht, dann werden diese beiden Ansichten für uns wie unterschiedliche Objekte aussehen. Viele haben wahrscheinlich gehört, dass Elementteilchen heute als Repräsentationen verschiedener Gruppen beschrieben werden — Poincaré-Gruppen, verschiedene Einheitsgruppen. Von hier kommt die Beschreibung.. Welche exotischen Strukturen wir auch immer den Elementen zuschreiben würden (Punkte) Frieden, die Punkte selbst, als Elemente der Integrität, Kontinuität, wir beschreiben in Form von Koordinaten, die wir bekommen, Anwendung von Messverfahren auf die Welt. Alle unsere Messgeräte, aus Notwendigkeit, an massive Körper gebunden, zeitlich vorhanden (sogar zu uns selbst). Wir können die Parameter dieser Geräte ändern. Aber es gibt oft objektive Einschränkungen. (und einige dieser Einschränkungen sind immer da), die wir nicht stornieren können, obwohl unsere Ideen diese Grenzen leicht überschreiten. Deshalb Alle Strukturen, die wir verwenden, zerfallen in Repräsentationen dieser Transformationsgruppen, die wir in jeder Situation beschreiben, entsprechen den für diese Situation verfügbaren Messverfahren. Obwohl aus Sicht der breiteren Gruppen von allen denkbar Transformationen, diese unterschiedlichen Ansichten, verschiedene Objekte können zu einer Darstellung eines einzigen Objekts kombiniert werden.

Beispiele für Einschränkungen.

  Einige der Beschränkungen sind künstlich, verdankt seine Existenz unserer Wahl, Bequemlichkeit. Englischsprachige Länder verwenden Füße, und die restlichen Meter. Aufgrund dieser Präferenzen ergeben sich unterschiedliche Darstellungen der Beschreibungen der Welt. — в футах или в метрах. Но можно измерить одно другим и пересчитать. Dies ist ein Übergang zu einer breiteren Gruppe von Transformationen, zu einer breiteren Gruppe von Messverfahren. Unterschiedliche Darstellungen von Körpergrößen oder Entfernungen können korreliert und verstanden werden, dass wir über dasselbe reden. Dasselbe gilt für Gewichtsmaße und andere Dinge..

Einschränkungen können auch ganz objektiv sein, durch bestimmte Umstände verursacht, unter anderen Umständen können sie jedoch vermieden werden. So, bei der kartographie haben alle messverfahren ggf. zwei skalen, notwendigerweise in der beschriebenen Oberfläche befinden. Und beim Navigieren von Flügen sind alle drei Raumrichtungen nahezu gleich.

Es gibt auch absolute Grenzen., die wir nicht durchqueren können. Die Idee, die Richtung des Zeitflusses zu ändern (Abfolge der Ereignisse, Einige davon sind Ursachen für andere) steht uns zur Verfügung. Das ist nur, um solche Messverfahren zu implementieren, in der Ursachen mit Wirkungen vertauscht sind, kann das keiner von uns. Über diese Einschränkungen, die dazu führen, dass unsere Welt lokal durch den pseudoeuklidischen Raum beschrieben werden muss, kann im entsprechenden nachgelesen werden Artikel.

Wir wenden uns nun einer Diskussion des Konzepts zu Vektor, die einem riesigen Zweig der Mathematik zugrunde liegt. Sowie für die Konzepte von Menge und Gruppe,  Die Verfeinerung bestimmter spezifischer Eigenschaften in der Idee eines Vektors führt zu seinen unterschiedlichen Anwendungen, Platzierung unterschiedlicher Akzente in diesen Anwendungen, aber das Konzept, seine Grundzüge werden für sehr unterschiedliche Zweige der Mathematik vereinheitlichend, Erlaube dir, ihre Einheit zu sehen. Welche Merkmale im Konzept eines Vektors können als grundlegend definiert werden?? Die anfängliche Prämisse im Konzept eines Vektors ist die Verabsolutierung einiger Eigenschaften einer der Grundkomponenten des Messverfahrens, Skaleneigenschaften. Etwas präziser, Konzentration nur auf bestimmte Eigenschaften.

Dienen “Gut” Maßeinheit im Alltag, Jede Waage sollte immer zur Hand sein (dh. gibt es überall, wo es gebraucht wird) und unverändert sein, das gleiche, selbstidentisch, wieder überall. Diese Eigenschaften im Alltag (dh. bei der praktischen Umsetzung beliebiger Messungen in der realen Welt) selbstverständlich. In der Mathematik bildet diese Gegebenheit die Vorstellung eines solchen Unabhängigen, absoluter Maßstab. Etwas präziser, die Idee vieler solcher Waagen, denn Verständnis ist auch alltäglich gegeben, Was man als Skala wählen kann, haben wir die Möglichkeit von vielen verschiedenen (aber ähnlich in den erforderlichen Qualitäten) Objekte. Für eindimensionale Geometrie, wenn nur eine Skala ausgewählt ist, seine grundlegenden Eigenschaften sind noch nicht vollständig hervorgehoben. Diese Vollständigkeit ist bereits in der zweidimensionalen Geometrie erreicht. Die Entwicklung der Idee geht weiter mit einer Erhöhung der Anzahl der Dimensionen, aber im quantitativen Sinne. Alle qualitativen Skaleneigenschaften, als absolute Einheit (Ideen), bereits für zwei Dimensionen deutlich zu sehen, zwei gleichzeitig verwendete Skalen. In diesem Sinne sind zwei schon viel., genug dafür, die richtigen Ideen klar zu formulieren. Die Nummer zwei ist kein Zufall. Es steht in einer Eins-zu-Eins-Korrespondenz mit zwei zusammenhängenden Skaleneigenschaften — Größe und Richtung. Diese beiden Eigenschaften sind untrennbar mit dem Maßstabskonzept verbunden., als Aggregate zwei verbundene bestellt  Elemente, Punkte, Skala endet. Wenn genau zwei solcher Skalen verwendet werden, um Kontinuität zu beschreiben, beide dieser Eigenschaften sind vollständig manifestiert. Außerdem, und mit einer Zunahme der Dimensionen der betrachteten Räume, eine Menge zweidimensionale Unterräume und zweidimensionale Transformationsuntergruppen erweisen sich als die effizientesten Mittel zur Beschreibung aller Eigenschaften von Räumen.

Das Konzept eines Vektors als solches, vollständig erscheint, wenn die Skala klar gerichtet wird, wenn es endet (und der Maßstab in der Geometrie hat immer eine Größe, was bedeutet, dass es auch im eindimensionalen Fall eine Strecke ist und zwei Enden hat) ungleich werden. Es scheint, Richtungsbestimmung, die durch das Herstellen einer Ordnung zwischen Punktpaaren durchgeführt wird, entspricht nicht der Skala selbst, und diese Kontinuität, die digitalisiert ist (bekommt Noten, Koordinaten) mit dieser Skala. Aber! Jeder Maßstab in der Geometrie ist ein Stück derselben Kontinuität (oder etwas anderes, sondern Kontinuität), kohärente Integrität. Daher ist es für uns extrem einfach und natürlich, den Begriff der Richtung zur Definition des Maßstabs hinzuzufügen.. Allerdings nicht vollständig. Und deshalb. Die offensichtlichsten Beispiele für Skalen sind für uns Lineale.. Und wir sind es gewohnt, sie beim Messen zu handhaben, indem wir sie nach Bedarf drehen.. In diesem Fall sieht die Richtung wie eine Eigenschaft außerhalb der Skala aus, ihm nicht eigen. Ich merke jedoch, dass es auch hier implizit bleibt. Immerhin kombinieren wir beim Drehen des Lineals immer noch die Nullmarke darauf mit einem Punkt, und lesen Sie dann die Messergebnisse ab. Hier ist Ihre Richtung, внутренне присущее именно линейке как масштабу. А в случае измерения времени вопроса и вовсе нет. Nur eine Reihe von Ereignissen, streng nach Richtung organisiert, in einer Folge von der Vergangenheit in die Zukunft steht uns als Grundlage unserer Skalen zur Verfügung Zeit. Die Richtung ist nativ in die Zeitskala integriert.  Und da in Wirklichkeit alle unsere Messungen in der Geometrie sind, einschließlich Messungen mit Linealen, auf der Grundlage der Zeitmessung (cm. Artikel über Pseudo-Euklidisch), dann hat der Maßstab in der Geometrie immer zwei Eigenschaften — Größe und Richtung. Und er ist das Hauptbeispiel für einen Vektor. Nicht ohne Grund setzen sie bei der ersten Untersuchung dieses Konzepts auf die Idee eines gerichteten Segments, einen besonderen Namen gegeben, Radius-Vektor.

Sehen wir uns nun die Skalierungseigenschaften an, Möglichkeiten, diese Eigenschaften aus einem etwas anderen Blickwinkel zu beschreiben. Lass uns erinnern, dass die Gesamtheit der Messverfahren eine Gruppe bildet. Betrieb, bilden eine Menge von allen (oder Teile) möglichen Messverfahren ist die eigentliche Messung, den Umfang eines Verfahrens mit dem Umfang eines anderen Verfahrens vergleichen. Für jede der Skalen gibt es genau so viele solcher Vergleiche, wie viele Waagen in das Messverfahren einbezogen werden. Lassen diese Nummer wird durch die Nummer angezeigt N. Das nichts anderes, Wie die Anzahl der Dimensionen dieser Kontinuität, zu deren Beschreibung diese Verfahren dienen.. Lassen Sie uns betonen: Abgesehen von der Kontinuität, wir können die ihm zugeordneten Skalen messen. Jede Skala ist auch mit beschrieben N Zahlen, Skalierungskomponente. Diese Komponenten werden manchmal auch als Koordinaten bezeichnet.. Aber nicht die Koordinaten der Kontinuitätspunkte, und Objektkoordinaten (Skala), damit verbunden (und oft mit jedem) Punkt dieser Kontinuität. Beim Messen jeder der Skalen eines bestimmten Messverfahrens mit den Skalen desselben Verfahrens, Komponentensätze, ihre Beschreibung sind sehr einfach — es sind alles Nullen, andere als das Ergebnis der Messung der Skala selbst. Und dieses Ergebnis, offensichtlich immer gleich eins. Aber beim Messen mit Waagen aus einem anderen Verfahren können die Komponenten recht beliebig sein. Betrachten Sie die Situation, wenn die Waagen eines festen Messverfahrens von zwei anderen gemessen werden, grundsätzlich anders, Skalensätze. Aus zwei Sätzen von Komponenten können Sie bauen, zwei Sätze von Koeffizienten bilden, um diese Komponenten ineinander umzuwandeln. Diese Umrechnungsfaktoren sind normalerweise bequem in Tabellenform organisiert., in der die Zeilen die Skalennummer des ersten Messvorgangs tragen, und die Säulen — Skalennummer aus dem zweiten Verfahren. Solche Tabellen nennt man Matrizen.. Ja, und die Sätze von Skalenkoordinaten selbst sind bequem nach demselben Prinzip organisiert. — als Spalten oder Zeilen, bei dem die Bauteilnummer mit der Waagennummer übereinstimmt, Vergleich mit dem gab seine Bedeutung. Spalten und Zeilen werden auch als Matrizen bezeichnet., wie jeder andere Tisch, so organisiert. Unsere Umrechnungsfaktoren sind Matrizen der besonderen Art. Sie haben immer die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten., wenn die Anzahl der Skalen in verschiedenen Messverfahren gleich ist. Vom Studium (Beschreibungen, Überweisungen) möglichen Eigenschaften von Matrizen wächst eine riesige Anzahl von Zweigen der Mathematik, ihre Konzepte, die verschiedene solcher Zweige durch eine gemeinsame Wurzel vereinen. Eines dieser Konzepte ist Konzept der linearen Unabhängigkeit (oder Abhängigkeiten) zwischen Spalten und Zeilen. Das hat seine eigene Darstellung in der Theorie der Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen, und in der Transformationstheorie, und in der Theorie der Matrizen selbst, und in der Theorie der Vektoren und Vektorräume. UND, natürlich, in der Theorie kontinuierlicher Räume als solcher. Der eigentliche Begriff der Quantität ist untrennbar mit diesem Begriff verbunden., числа измерений любого пространства. Вырастает это понятие из анализа возможности или невозможности измерить один набор масштабов другим. Bisher reicht eine einzige Waage, um den Messablauf zu organisieren, alles scheint einfach zu sein — alle Tische, Verbindung verschiedener Waagen, auf einen reduziert. Diese Zahl für eine Gruppe von Skalen charakterisiert die paarweisen Verhältnisse ihrer Werte. Wenn die Gruppe auf einen einzigen Vektor reduziert wird, es ist nur seine Größe. Gibt es eine Begrenzung für diese Anzahl?? Jawohl, Es gibt! Er kann naturgemäß nicht Null sein.. Mit einer Erhöhung der Anzahl der erforderlichen Skalen (N, die Anzahl der Dimensionen eines mathematischen Raums) diese Einschränkung wird in die Anforderung verschoben (Axiom!) lineare Unabhängigkeit der Koordinaten genau N Skala, in einer quadratischen Matrix gesammelt, begleitet von der Forderung nach einer obligatorischen linearen Abhängigkeit von Any N+1 Skala. Und die gleiche Anforderung für Matrizen, Verknüpfung beliebiger Paare solcher unterschiedlicher Skalensätze. Die Formulierung dieser Anforderung führt zur Betrachtung Determinanten von Koordinatentransformationsmatrizen und Bände (im allgemeinen Sinn, einschließlich der Größe eines einzelnen Vektors und der Fläche als Eigenschaft eines Vektorpaars), wie nötig, natürliche Eigenschaften des Skalensatzes, als Ganzes genommen.

einfach zu sehen, die auf diese Weise eingetreten sind Vektorkonzept beruht An die Idee, mehrere Zahlen zu einem Ganzen zu kombinieren (Vektorkoordinaten), Gut und zwei Operationen mit diesen Zahlen — komponentenweise Addition und Multiplikation aller Komponenten auf einmal mit einer Zahl. Plus die Idee der linearen Unabhängigkeit, als Fixer für eine bestimmte Anzahl von Koordinaten (Komponente) Vektor, ein Fixierer der notwendigen und ausreichenden Anzahl von Vektoren, um die gegebene Kontinuität zu beschreiben (Basis oder Rahmen im Raum)  und ein Fixer der zulässigen Nichteindeutigkeit solcher Basen. Es sind diese Eigenschaften, die in der Mathematik der Vektorräume als Axiome formuliert werden (oft angegeben — lineare Vektorräumev, da es nur auf linearen Operationen mit Vektoren basiert — Addition und Multiplikation). Nur die Verbindung dieser Axiome mit den Eigenschaften von Messverfahren bleibt in mathematischen Lehrveranstaltungen meist hinter den Kulissen.. aber, Solche Vektoralgebra-Kurse findet man oft (sonst sehr gut!), in der die Darstellung mit der Definition eines Vektors als Erweiterung in Bezug auf die Basis beginnt. In diesem Fall ist die Definition der Basis selbstverständlich. Außerdem, Dies ist der Ansatz, der normalerweise an erster Stelle gegeben wird., und in der Regelschule, und höher. Dies schafft auch für die Mathematik ein kolossales Problem., und für Physik.

An sich würde eine solche Präsentation keine Probleme verursachen., wenn als Element der Basis, separate orta,  nur als Sonderfall des Vektors betrachtet, mit einer einzigen Identitätskomponente und allen anderen Komponenten gleich Null. Dh. Zuerst wird eine bestimmte Anzahl bestimmt (Genau genommen, Anzahl der Messungen) Vektoren eines bestimmten Typs und dann mit ihrer Hilfe Vektoren eines allgemeinen Typs definiert werden. Aber der Standard ist ein ganz anderer Weg., von Skalarprodukt irgendein Vektor mit unklarem wie bestimmtem Ort, was als Projektion auf den gegebenen Vektor bezeichnet wird (in diese Richtung). Zum, um es zu sortieren, was sehe ich hier falsch, müssen diskutierenwelche Konzepte, als invariante Größen, Spezifisch (geometrisch) Mengen, Umrechnungsfaktoren, Koordinaten verknüpfen, durch verschiedene Messverfahren erhalten (Koordinatentransformationen), Konjugierte Vektoren und resultierende Dimensionsbeziehungen.

Beginnen wir mit dem letzten. Ich habe bereits erwähnt, welche Zahlen, die als Ergebnis von Messungen erhalten wurden, haben natürlich die Abmessungen — muss angegeben werden, welche Einheit gemessen wurde. beispielsweise, Koordinatenpunkte auf x-Achsen gleich 1. Was bedeutet das? Entfernung vom Punkt, als null markiert, Herkunft, bis dahin ist gleich 1. Aber was? Meter, Zoll, Arschin, Zentimeter? Oder vielleicht Füße? Für mathematische Verhältnisse spielt es keine Rolle.? Das denken heute die meisten.. Und falsch. Also das für mathematische Beziehungen (zwischen Zahlen) es war egal, welche Maßeinheiten verwendet werden Arithmetisierung einer gewissen Integrität, Kontinuität diesen Verhältnissen überlagert Voraussetzung ihrer Kovarianz. Dh. только ковариантные соотношения имеют право на существование и никакие иные. Смысл этого термина весьма прост. Kovariant ≡ kotransformierbar. Denn Integritätsbeschreibungen sind auf vielfältige Weise möglich, mit unterschiedlichen Maßstäben, dann gelten nur solche Beziehungen zwischen Zahlen für alle möglichen Beschreibungen, die Zahlen verbinden, mit der gleichen Waage erhalten. Alle anderen Verhältnisse sind bedeutungslos.. In der Physik werden dieselben Forderungen als Unzulässigkeit des Mischens bei Rechenoperationen formuliert (Zusatz, Subtraktion, Gleichwertigkeit) Werte unterschiedlicher Dimensionen — Meter und Kilogramm stimmen nicht und sind nicht vergleichbar.

Den Übergang von einer Beschreibung zur anderen nennen wir Koordinatentransformation, die dem Ersatz beiliegt (Transformation) Skala. Betrachten Sie zwei Linienbeschreibungen — mithilfe der Waage e mit dem Wert 1 M (Koordinate x)  und mit der Skala e’ mit dem Wert 1 cm (Koordinate x’). Der Ursprung liegt an der gleichen Stelle. Ein anderer Punkt wird Koordinaten in verschiedenen Systemen haben, z.B, x=1 [M] und x’=100[cm]. Eine ziemlich häufige und offensichtliche Situation.. Was sind die Koeffizienten zum Umwandeln einer Koordinate in eine andere?? Offensichtlich, Es gibt zwei solche Koeffizienten — aus p Zu p’ umgekehrt. Nämlich, das sind Zahlen 100 und 0.01. Alle Koordinaten p muss multipliziert werden 100, Koordinaten zu bekommen p’. Frage, Diese Zahlen haben Dimensionen? Natürlich. Nummer 100 hat die Dimension [sm/m], und die Nummer 0.01 hat die Dimension [m/cm]. Diese Zahlen sind Skalenverhältnisse, Messergebnisse der alten Waage mit der neuen und umgekehrt. Diese Zahlen beziehen sich nicht auf die alten, noch auf neue Linienbeschreibungen. Sie sind intermediär, keine Linie beschreiben, und die Skala, verwendet, um die Linie zu beschreiben. UND, gleichzeitig, diese Koeffizienten, die im allgemeinsten Fall von einem Punkt auf der Linie abhängen kann (oder alt, oder neue Dimensionen, oder beide Sätze zusammen, kann sich prinzipiell ändern, wenn man sich entlang der Linie bewegt, es ist nicht verboten, abgesehen von Bequemlichkeit), sind zusätzliche Merkmale jedes Punktes in jeder Linienbeschreibung. Besonders, wenn wir nicht zwei mögliche Beschreibungen der Linie berücksichtigen, und alle diese möglichen Beschreibungen ohne Ausnahme. Nun, oder ein Teil von ihnen, etwas bequemeres für uns. beispielsweise, Beschreibung Gruppe, alle Maßstäbe davon sind für alle Punkte der Linie gleich. Mit jedem Punkt der Linie, zusätzlich zu Koordinaten in einem bestimmten System, der gesamte Satz der an dieser Stelle möglichen Transformationen in andere Koordinatensysteme ist zugeordnet. Ich werde es bemerken, dass schon hier der Weg zum Konzept geschichteter Raum. Base — Linie, Schichten der ersten Ebene — Skala (Vektor) in verschiedenen Koordinatensystemen, mehr Schichten — Matrixräume zulässiger Transformationen zwischen Koordinatensystemen, auf die reale Welt übertragen werden kann.

Beachten Sie auch, dass die Koeffizienten der Koordinatenumrechnung sind, zusätzlich zu den Ergebnissen der Messung einer Skala durch eine andere, auch in gewisser Weise spezifische Werte. Und sind immer präsent Paare konjugieren. Es gibt zwei davon — man sagt, wie viele neue Waagen auf eine alte fallen, und zweitens, und einige Konzepte in Komponenten zerlegen, wie viele alte gibt es für neue.

Es kann den Eindruck erwecken, Was, da alle Zahlen ausnahmslos nur als Messergebnisse gewonnen werden, dann alle Nummern, Zeilen, die in der Beschreibung erscheinen (oder Kontinuität von mehr Dimensionen) hängt unbedingt davon ab, welche Skalen werden für den Aufbau einer Beschreibung gewählt. Hängt vom verwendeten Koordinatensystem ab und ist dimensional, mit Maßen, bestimmt durch die zur Beschreibung verwendeten Skalen. Das ist der falsche Eindruck., und deshalb.

Betrachten Sie die Beschreibung der Linie mit hervorgehoben darauf speziell Punkte. beispielsweise, Faden mit Knoten. Diese besonderen Punkte können beschriftet werden. anders. Einschließlich, und ganzen Zahlen. Auswählen eines Punktes für Null, Als nächstes weisen wir Nummer eins zu und so weiter. Oder wir können sie einfach zählen.. Und erhalten Sie eine Anzahl solcher Punkte (z.B, Knoten) in einem bestimmten Bereich (Stück) Linien. Jawohl, und diesen Zahlen müssen wir die Dimension zuordnen. Diese Dimension wird benannt “singulärer Punkt”, oder “Knoten”, oder etwas ähnliches. Aber hängt diese Dimension mit der Dimension der Koordinate entlang der Linie zusammen?? Im Allgemeinen nein. Immerhin der Maßstab, um die Linie zu beschreiben, Zuweisen zu Labelpunkten, Koordinaten, habe nichts damit zu tun, Es gibt spezielle Punkte, oder sie sind es nicht, und werden bei der Beschreibung der singulären Punkte selbst überhaupt nicht verwendet..

Die Anzahl der Punkte in einem ausgewählten Bereich der Linie bleibt unverändert, egal welches Koordinatensystem auf der Linie wir wählen. Genau wie ihre Zahlen, wenn sie Punkten zugeordnet wurden. Solch Mengen, die nicht von der Wahl des Koordinatensystems abhängen (Skala) genannt unveränderlich (nicht ändern) oder Skalare. Skalare in Bezug auf die Auswahl von Skalen zur Beschreibung der Kontinuität haben keine Maße. Dies sind dimensionslose Zahlen in der Beschreibung der Kontinuität. Ihre Abmessungen sind außerhalb der Beschreibung und werden von der Beschreibung nicht berücksichtigt., ignoriert.

Skalare Größen können nicht nur einzelnen Punkten zugeordnet werden, sondern auch zu allen Kontinuitätspunkten. Ihre Werte gelten dann als Skalar Feld, auf der Linie definiert (oder in der Kontinuität mehrerer Dimensionen). Oder wie Skalar Koordinatenfunktion. Diese Funktion kann stetig und differenzierbar sein (es darf nicht sein). Für den eindimensionalen Fall, für Linie, die Ableitung einer solchen Funktion ist jedem Punkt zugeordnet. Und bei mehreren Koordinaten ist dies der Gradient der Funktion (im eindimensionalen Fall, natürlich, es ist auch ein Farbverlauf). Was ist das für eine Konstruktion? Welche Dimension hat es und wie verändert es sich bei Übergängen zwischen Koordinatensystemen??

Die Dimension des Gradienten einer Skalarfunktion ist ziemlich offensichtlich — jede Komponente hat die reziproke Dimension der entsprechenden Skala. Schließlich ist dies die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments. Die Funktion ist dimensionslos, Argument hat Skalendimension. Der Wert in seiner Bedeutung ist spezifisch — wie viele skalare (z.B, singuläre Punkte) pro Maßeinheit. Und Gradiententransformationen sind leicht zu bekommen. Sie sind gleich, wie der Vektor, nur die Umwandlungskoeffizienten müssen konjugiert genommen werden — nicht von alten Koordinaten zu neuen, und umgekehrt. Auf diese Weise, In der Geometrie gibt es zunächst zwei Arten von konjugierten Vektoren — diese geometrischen Objekte, das sind die ideen von waagen, und diese geometrischen Objekte, die die Idee ihrer konjugierten spezifischen Mengen sind. Konjugiert durch den Produktbetrieb, was zur Invariante führt, Skalar. In diesem Teil der Mathematik, die sich ausschließlich mit Vektorräumen beschäftigt, wird auch diese Idee der Konjugation von Anfang an eingeführt, mit dem passenden Satz von Axiomen. Hier habe ich versucht, seine Entstehung zu beschreiben, die Gründe und die Notwendigkeit für die Existenz dieses Konzepts (Konjugation) und dann, wie seine Beispiele umgesetzt werden, was sind seine Ursprünge in der realen Welt. Und in der Mathematik ist die Idee der Konjugation sehr weit verbreitet., und nicht nur in der Theorie der Vektorräume. beispielsweise, Fourier-Transformationen, direkt und umgekehrt. Wichtiger Hinweis — Die Konjugation von Vektoren erfordert nicht die Einführung eines metrischen oder Skalarprodukts von Vektoren. Obwohl es der Punktproduktoperation sehr ähnlich ist. Es geht alles um, dass die Konjugation ein Produkt ist, gefolgt von einer Summation verschiedene Arten von Vektoren, nicht Vektoren der gleichen Art.

Kommen wir zurück zu den beiden Arten von Vektoren. Und die Ähnlichkeit und der Unterschied zwischen ihnen konzentriert sich auf das Gesetz der Transformation, Neuberechnung von Komponenten bei Übergängen zwischen Koordinatensystemen. Die Ähnlichkeit ist, dass die Neuberechnung durch Multiplizieren einer einzelnen Matrix durchgeführt wird, Verknüpfung von Koordinaten in verschiedenen Systemen (Waagen in diesen Systemen)  pro Spalte oder Reihe von Vektorkomponenten. Der Unterschied zwischen diesen Vektoren ist, dass in einem Fall die Übergangsmatrix von alten Koordinaten zu neuen verwendet wird, und in einem anderen — ihr Rücken. Und kennzeichnen Sie diesen Unterschied, indem Sie dem Wort einen speziellen Zeiger hinzufügen “Vektor” — kontravariante (anti-transformativ) für Vektoren, ähnlich dem Skalenvektor, und kovariant (transformierbar) für konjugierte Vektoren, analog zum Gradientenvektor der Skalarfunktion. Beim Schreiben mathematischer Formeln werden anstelle von Namen unterschiedliche Positionen von Komponentenindizes verwendet.. Bei einem kontravarianten Vektor werden sie oben rechts geschrieben — Q^ich, und für die Kovariante unten rechts — P_ich. Dabei wird auch stillschweigend von einer anderen Regelung ausgegangen. (auf und ab) Indizes von Zeilen und Spalten beim Schreiben der Koordinatentransformationsmatrix und die Entsprechung des Hochgestellten zur Zeilennummer der Matrix, Und niedriger — Spaltennummer. In Verbindung mit dieser Regel sehen Matrizen kontravarianter Vektoren wie Spalten aus, und kovariante Matrizen — wie Saiten. Betrachten wir kovariante Vektoren als Zeilen, dann wird ihre Transformation durch Multiplizieren der Matrix auf der rechten Seite durchgeführt, den Regeln des Matrixprodukts zu folgen, Zeile pro Spalte. Muss es merken, dass sich nicht alle Autoren von Lehrbüchern der Geometrie an diese Konventionen halten, was sich negativ auf das Verständnis des Themas auswirkt.

Ich werde Ihre Aufmerksamkeit auch auf die offensichtliche Unlogik der Namen lenken. Es scheint, co-transformierbar (zusammen mit Maßstab) diese Vektoren sollten aufgerufen werden, die als kontravariante bezeichnet wurden. Nun, es gibt nichts, was Sie dagegen tun können, es ist teurer, Namen neu zu machen. Ich werde nur erklären , Warum ist das geschehen. Der Punkt ist genau das, das ursprünglich (ja, das wird immer noch gemacht) Vektoren wurden als Erweiterungen in Basisvektoren eingeführt, und mit Hilfe des Skalarprodukts. Dh. Vektorkomponenten sind als Projektionen auf die entsprechenden Basisvektoren definiert (als Skalarprodukte mit jedem der Orte). Dieser Ansatz macht den Basisvektor und den Einheitsvektor automatisch zu konjugierten Vektoren, und nicht durch Vektoren des gleichen Typs. Jawohl, All dies geschieht normalerweise im euklidischen Raum, wobei der Unterschied zwischen kovarianten und kontravarianten Vektoren durch das Vorhandensein der Metrik ausgeglichen wird, Dies ermöglicht die Definition des Skalarprodukts für zwei Vektoren desselben Typs (als Kovariante, und kontravariante). Aber ein solcher Vektorraum ist ein ganz besonderer Fall.. Ein gemeinsamer Vektorraum ermöglicht es Ihnen, einen Skalar nur zu erhalten, wenn Sie zwei Vektoren unterschiedlichen Typs falten. Und dann, dass man, um den Begriff eines Vektors zu definieren, bereits eine Basis von Vektoren haben muss und führt völlig in eine Sackgasse — und die Vektoren dieser Basis, sie sind was? Dennoch, es wurde oft gemacht und gemacht. Und nachdem der Unterschied zwischen den beiden Arten von Vektoren entdeckt wurde, spielte die Namenswahl eine Rolle, dass aufgrund der oben erwähnten Konjugation, die so definierten Vektoren werden mit Hilfe der Matrix transformiert, inverse Transformationsmatrix von Basisvektoren. Hier werden sie gerufen “kontravariante”…

Ein weiterer Nebeneffekt ist die oben erwähnte Methode des Einbringens von Vektoren. Bei vielen Mathematikern bin ich auf die Idee eines Tensors im Allgemeinen gestoßen (und der Vektor ist das erste Beispiel eines solchen mathematischen Objekts mit mehreren Komponenten wie Tensor) Wie wäre es mit einem Skalar, erhalten durch Faltung aller Tensorindizes mit Basisvektoren. Genug zu verstehen, was deswegen, dass die Basisvektoren selbst nur zu einem sehr geringen Teil mit sich selbst kollabieren können der spezielle Fall der Anwesenheit im Vektorraum des Skalarprodukts, dh. Konzept komplementär zum Konzept eines Vektors (was früher war, Vektor oder Skalarprodukt von Vektoren?), um die ganze Bodenlosigkeit einer solchen Idee über die Natur des Tensors zu sehen (und Vektor, insbesondere).

Ich möchte ein wenig auf das obige Beispiel eines Skalars auf einer Linie eingehen, basierend auf der Zuordnung von Nummern zu speziellen Punkten, ganze Zahl. Nichts steht der Verwendung eines solchen Verfahrens zur Beschreibung einer Linie neben anderen Messverfahren entgegen., deren Skalen diesen singulären Punkten genau ganzzahlige Werte geben. Es stellt sich heraus, diese Zahlen können gleichzeitig als Skalarfunktion betrachtet werden, und als Koordinate entlang der Linie. Hier entsteht ein solcher für die Geometrie grundlegender Begriff als skalarer Parameter. Dieses Konzept wird überall in der Geometrie verwendet., und, meiner Meinung nach, auch ohne Erklärung. Der skalare Parameter wird normalerweise verwendet, um eine einzelne Linie in einem mehrdimensionalen Raum hervorzuheben, Weg, oder Pfadfamilien. Solche Parameter, natürlich, vielleicht mehr als einer, Dann sprechen wir von Oberflächen. (zwei Parameter) und Unterräume mit mehr Dimensionen. Es ist wichtig zu verstehen, dass die skalaren Geometrieparameter auch das Ergebnis bestimmter Messverfahren sind. Aber! Diese Vorgänge sind aus der Gruppe aller möglichen Raumpunkte zu beschreiben ausgeschlossen. Auch wenn die Gruppe der Möglichen auch sie einschließt (und das, allgemein, findet immer statt). Das heisst, dass die Messergebnisse, die wir als skalare Parameter verwenden, werden festgelegt, wenn sich die allgemeine Beschreibung ändert, sie stehen für sich. Schnitzel separat, fliegt separat…

Alles, was oben gesagt wurde, bei der Beschreibung von Strukturen, entstehen in der Geometrie, ging nicht über den Begriff der Diversität hinaus, jenseits seiner Axiomatik. Natürlich, in einigen anmerkungen wurden auch weitere richtungen zur bereicherung geometrischer begriffe skizziert., aber nur. Jetzt die Frage —  Vielleicht reicht diese Reihe von Konzepten bereits aus, um Integrität zu beschreiben, Kontinuitäten? Das war schließlich das Ziel. — Erstellen Sie eine Konzeptstruktur, beschreiben lassen alle Eigenschaften integraler Objekte, die zusätzlich als ein Satz separater Teile betrachtet werden können. Wir brauchen mehr als nur eine Beschreibung, eine Beschreibung notwendig und ausreichend, der Welt als integralem Objekt angemessen.

Die Antwort auf diese Frage lautet wie folgt — Reihe von Konzepten, durch ein Wort vereint “vielfältig” nicht genug für unsere Zwecke. Der Grund ist, dass die Ergebnisse von Messungen an verschiedenen Kontinuitätspunkten, egal welche geometrischen Objekte sie beschrieben werden, mit einer einzigen Ausnahme — Skalar — vergleichen, was bedeutet, dass Sie nicht addieren oder subtrahieren können.. Das Ergebnis wird keinen Sinn ergeben., bis eine Beziehung zwischen den Skalen an diesen Punkten hergestellt ist. Der Skalar ist eine Ausnahme, weil, Was sein Messverfahren ist außerhalb der Beschreibung der Kontinuität, fixiert und nimmt per Definition an allen Punkten die Identität seiner Skalen an.  Diese Annahme gilt auch für jedes einzelne Messverfahren., Erzeugen eines bestimmten Koordinatensystems (Beschreibung) für eine gegebene Kontinuität. Aber für die ganze Reihe von Beschreibungen, wenn die zulässigen Umwandlungen auch solche umfassen, die der Skalenänderung von Punkt zu Punkt entsprechen (aus einem anderen Koordinatensystem betrachtet), es gibt keine Struktur in der Verteilerkonstruktion, die eine solche Änderung berücksichtigen würden. Sie können dieses Problem lösen, indem Sie alle diese deaktivieren, создающие проблемы процедуры измерения. Фактически, in der Darstellung der Geometrie von Euklid wird dies getan. Über alle Arten von krummlinigen usw.. Koordinaten werden einfach nicht genannt. Die Ausnahme ist Polar Koordinaten,  die der euklidischen Geometrie keineswegs ganz adäquat sind, aber es hat damit zu tun, dass euklidische Räume auch tatsächlich weit über die mannigfaltige Axiomatik hinausgehen. Jawohl, es ist möglich, dies zu tun. Apropos, dieser Weg wurde in Kleins Erlanger Programm vorgezeichnet, wer aufmerksam gemacht hat, dass die Konzepte der Geometrie in direktem Zusammenhang mit diesen Einschränkungen stehen, die der Gruppe der zulässigen Transformationen auferlegt werden (nicht nur darauf, natürlich). Aber man kann es definitiv sagen, dass eine solche Beschreibung weder notwendig wäre, noch ausreichend. Erstens, weil, dass es keinen Grund gibt, etwaige Messverfahren zu ignorieren, aber es gibt auch kein Priori (Dazu müssen Sie angeben, Warum werden sie von der Berücksichtigung ausgeschlossen?). Und das zweite liegt fast daran — Ausreichend bedeutet, alle Möglichkeiten auszuschöpfen. Und hier werden nicht wenige Möglichkeiten einfach außer Acht gelassen.. Wir kommen also nicht umhin, eine zusätzliche Struktur zu definieren.

Das Die Struktur sollte Skalenwerte verknüpfen (dh. Basisvektoren) zumindest an unendlich nahen Punkten. Vielfalt hat bereits ein Werkzeug, Beschreibung der Nähe von Punkten. Dies ist das Konzept eines infinitesimalen Verschiebungsvektors. Sie müssen also Struktur hinzufügen, das beschreiben, Was passiert mit der Skala bei einer solchen Verschiebung und wir werden in der Lage sein, alle Strukturen zu verbinden?, erhalten durch Messungen an verschiedenen Punkten, sogar abgelegen (Daher sprechen wir von unendlich nahen Punkten, Weil. Als Besonderheit erweist sich der Fall der gelöschten; aber umgekehrt wird es nicht sein). Mindestens, in Bezug auf Additionsoperationen (Subtraktion) und Vergleiche. Diese Struktur dient der Geometrie, als eine Reihe von Ideen, ist in der Tat ein anderes Axiom (etwas präziser, einige davon) und es heißt affine Verbindung. Und die entsprechenden Beschreibungen von Kontinuitäten werden aufgerufen Räume mit affiner Verbindung. Abhängig von spezifischen Eigenschaften, aus der Konnektivität erforderlich, Diese Räume fallen in verschiedene Klassen — mit und ohne Drehung, den Zutritt erlauben metrisch (Riemannow) oder nicht, auf die reale Welt übertragen werden kann. Unter den Riemannschen Räumen nehmen affine Räume einen besonderen Platz ein, und unter ihnen — Euklidisch. Durch die Konnektivität können Sie viele verschiedene zusätzliche Strukturen definieren, Teile davon befinden sich im Abschnitt “Lautes Denken” spezielle Artikel. Man kann sagen, Was wenn Konnektivität eingestellt ist, bekannt als der Funktionsumfang für die gesamte Integrität, dann ist alles über diese Integrität als Kontinuität bekannt.

Es ist hilfreich, die Bedeutung des Namens dieser Struktur zu erklären, so wichtig für die Geometrie. Konnektivität — ganz offensichtlich, worum geht es Skalenbeziehungen an zwei unendlich nahen Punkten. Erläuterung “affin“, was heißt das auf russisch “linear” dass die Proportionalitätskoeffizienten den Tensor bilden, dass dieser Zusammenhang unter bestimmten Bedingungen postuliert wird. Die erste dieser Bedingungen, welches mit dem Wort gekennzeichnet ist “affin” spricht, Was beschreibt diesen Teil der Maßstabsänderung, was proportional zur infinitesimalen Verschiebung ist, dh. hängt in erster Linie von ihm ab. Diese Einschränkung fällt nicht wirklich ins Gewicht., Deshalb, dass die Koeffizienten, Wenn man diese Abhängigkeit als Funktion eines Punktes beschreibt, kann es durchaus sein, dass sie selbst nichtlineare Funktionen eines Punktes sind. Dies bedeutet, dass es in diesem Sinne keine wirkliche Einschränkung der Beziehung zwischen Skalen gibt.. Die zweite Konnektivitätsbedingung ist tatsächlich restriktiver., obwohl es nicht im Fokus steht. Affine Konnektivität, wie es definiert ist, führt Buch relative Änderungen im Maßstab, dh. Abhängigkeit vom Punkt des Verhältnisses der Skalenänderung zur Skala selbst. Für diesen Ansatz gibt es gute Gründe.. Allerdings unter dem Gesichtspunkt der Konstruktion von Ideen,  beide dieser Bedingungen können im Prinzip irgendwie modifiziert werden. Was wird daraus — die Frage ist ganz anders. Du kannst es einfach tun. Physisch, es ist der affine Zusammenhang, den die reale Welt erzeugt, wenn man sie mit Hilfe von Messungen beschreibt.

So, wenn der Zusammenhang bekannt ist, dann ist alles über den Weltraum bekannt. In der Geometrie, zusätzlich zur Algebra der Tensoren an jedem Punkt, Tensoranalyse erscheint ebenfalls, ermöglicht die Berücksichtigung von Tensoränderungen (Messergebnisse) beim Bewegen von Punkt zu Punkt, Bereiche beschreiben, Teile des Raumes als Ganzes usw.. aber, Die Entwicklung des mathematischen Konzepts der Integrität endet hier nicht. Habe ich bereits bemerkt, die von allen denkbaren Messverfahren keinesfalls von uns umsetzbar sind. Es gibt viele Gründe, aber die hauptsache ist, dass wir nicht einmal den Prozess der potentiellen Unendlichkeit realisieren können, ganz zu schweigen von der aktuellen. Was sagt es? Darüber, Was Unser Anspruch, eine völlig ausreichende Beschreibung zumindest eines Teils der Welt als Ganzes zu erstellen, ist überzogen. Dafür fehlen uns die Mittel. (Möglichkeiten, die notwendigen idealen Messverfahren umzusetzen). Aber ich möchte die Welt trotzdem so genau wie möglich beschreiben. Hier kann die folgende Konstruktion in der Hierarchie der Geometrie helfen — geschichteter Raum. In diesem Konzept ist es möglich, mehr als einen separaten Raum affiner Verbindung zu kombinieren, und zwar unendlich viele davon, irgendwie verschieden voneinander, aber in den für uns entscheidenden Merkmalen der Beschreibung übereinstimmend. Was sind diese kritischen Funktionen?? Die reine Mathematik kann jeden verfügbaren Begriff als solchen betrachten oder einführen (bestimmen) neu. Aber für die Physik, Verknüpfung dieser Ideen mit der realen Welt (Verwenden Sie diese Ideen, um es zu beschreiben) das ist mein Ernst, kritische Frage. Verlinkung (Beschreibung Konstruktion) auf Basis und durch Experimente durchgeführt, unter Verwendung dieser Fakten, die bereits vorhanden sind oder mit den uns vorliegenden Messungen und deren konsistenter Interpretation garantiert erhalten werden können. Eine Darstellung dieses Problems aus physikalischer Sicht findet sich in meinem Bücher. Und hier werde ich nur eine allgemeine Vorstellung eines Faserraums skizzieren.

Die Ergebnisse der Messungen dieser Eigenschaften werden einfach gruppiert, Bereits ein separat genommener Raum affiner Verbindung ist ein Beispiel für einen Faserraum. In welchem ​​Sinne. Skalen in der Mathematik sind Objekte, dem Beschriebenen fremd (arithmetisierbar) Kontinuität. Für die Physik ist diese Situation inakzeptabel., Physik braucht interne Skalierung, in ihrer obligatorischen Zugehörigkeit zur beschriebenen realen Welt. nur weil, dass wir Teil dieser Welt sind und nicht außerhalb davon sein können. Dennoch, Maßstab als Idee, als ultimativen Übergang von einem Stück Welt zu einer idealen Struktur, Wir sind uns ganz klar darüber im Klaren, dass wir an einen einzigen Punkt auf der Welt gebunden sind. Und nicht als Idee eines einzelnen Vektors, a als Idee des Raumes aller solchen möglichen Vektoren. Dieser Raum heißt Tangentenraum. Erinnerung an die Existenz von Vektoren, konjugierte Skalen, wir können über den zweiten natürlichen Vektorraum sprechen, jedem Kontinuitätspunkt zugeordnet. Er heißt Kotangensraum. Hier sind diese beiden Vektor  erscheint erst dann, an jedem Punkt der Kontinuität vorhanden, aber nicht eindeutig ihr Eigentum, und geben Sie Beispiele für Schichten über dieser Kontinuität. Affine Verbindung ist das Werkzeug, wodurch Sie mit diesen spezifischen arbeiten können, Vektorebenen, auch wenn sie verschiedenen Punkten der beschriebenen Kontinuität zugeordnet sind. Wenn du darüber nachdenkst, es wird klar werden, dass in diesem Sinne Felder beliebiger Größe über Kontinuität als Fasern betrachtet werden können. Insbesondere, und Matrixräume, содержащие всевозможные допустимые преобразования. И поле связности тоже. Auf Wunsch können Sie beliebig viele solcher Schichten aufhängen, sobald du willst. Das ist reine Physik, und Mathe auch, sollten versuchen, sich auf natürliche Strukturen zu beschränken, Gründe für ihre Einführung haben. Dennoch, Aus den allgemeinsten Überlegungen ist es klar, dass die Mengen, Die Bildung solcher Schichten ist im allgemeinsten Fall auch nicht erforderlich, um sich unter Koordinatentransformationen zu transformieren, wie Tensoren oder verwandte Tensordichten. Würde gerne mit ihnen zusammenarbeiten. Dieses Problem wird gelöst, indem für jede Schicht einzeln eine Verbindung bereits im Schichtraum eingeführt wird. Die Grundlage für eine solche Einführung ist der Mechanismus, Getestet an einem Spezialfall von Vektorebenen, dh. affine Verbindung. Lediglich das Vertrauen liegt nicht auf dem Vektortransformationsgesetz, und auf dieser Gruppe von Transformationen, was in der untersuchten Schicht funktioniert. In diesem Fall wird die Beschreibung einer solchen Gruppe selbst explizit als ein bestimmter parametrisierter Raum verwendet. Ich werde nicht weiter auf Details eingehen., Für einen allgemeinen Überblick über das Thema reicht meiner Meinung nach das bereits Gesagte aus.

Abschließend über, warum unsere physikalische Beschreibung der Welt als Raumzeit die Verwendung eines präzise geschichteten Raums erfordert. Und was ist die Schicht, zusätzlich zum natürlichen Tensor, Schichten, die als Ergebnis von Messungen auftreten, müssen berücksichtigt werden. Der Kern der Sache ist genau, dass wir nicht die Maßstäbe haben und nicht haben können, die wir brauchen, um die Welt an jedem ihrer Punkte zu beschreiben, weil wir selbst zu dieser Welt gehören, Beschreibe es von innen, nicht draußen. Unsere Experimente, egal wie viel wir tun, wird uns nicht gleichzeitig Informationen über alle Punkte der Welt geben. Information, uns zur Verfügung, ist gewissermaßen ein diskreter Bestandteil aller möglichen Informationen, die mit Hilfe der von uns entwickelten mathematischen Konzepte mit einer idealen Beschreibung der Welt als Ganzes gewonnen werden könnte. Der Ausweg aus dieser Situation ist, Ehrgeiz zu mäßigen und zu berücksichtigen Egal wie viele Dimensionen ein gegebener Raum hat Beschreibungen der Welt, diese hervorzuheben, die alle experimentellen Daten enthalten, die wir angesammelt haben (oder zumindest einige von ihnen). Hier kommt die Schicht ins Spiel., der als Zustandsraum bezeichnet werden kann. Skalenzustände, Das hier, was wir tatsächlich umsetzen können, Zeitstrahl. Diese Zustände können durch die Matrix beschrieben werden, Und zwar von ganz besonderer Art.. Sprechen wir also über den Zustandsraum., Wie wäre es mit dem Raum solcher Matrizen?, die Darstellungen einer genau definierten Gruppe sind. Um Zustände an anderen Kontinuitätspunkten zu definieren (Frieden) basierend auf bekannten Zuständen in einigen, eingeführt (natürlich erzeugt) Konnektivität in dieser Schicht, was auch durch gleichartige Matrizen beschrieben wird, die dieselbe Gruppe repräsentieren. Das ist eigentlich alles. Solch, Vielleicht kennen Sie die Begriffe der Physik, wie bei Messgerätfeldern geht es in dieser Schicht nur um die Konnektivität. Und die Wellenfunktion, Spinoren usw.. — es geht um Staatsvertreter in der Schicht selbst.

Die moderne Mathematik ist eine riesige Sammlung sehr unterschiedlicher Konzepte., meist nur teilweise systematisiert, in Ihrem speziellen Bereich. Querverbindungen zwischen solchen Bereichen werden selten beschrieben.. klar, dass ich nur einen relativ kleinen Teil all dieser Konzepte ansprechen konnte, nur diejenigen, die an meiner eigenen Arbeit interessiert waren. Ja, es ist sehr oberflächlich.. Aber, In meinem, etwas ist besser, als gar nichts. Vielleicht hilft dieser Artikel jemandem bei seiner Arbeit oder einfach nur, um sein Interesse zu befriedigen. Abschließend möchte ich Sie darauf aufmerksam machen, wie wichtig ein äußerst sorgfältiger Wortgebrauch ist., Bedingungen. Hinter jedem dieser Begriffe muss man eine klar definierte Bedeutung sehen., sonst Ärger…

 

© Gavryusev V.G..
Die auf der Website veröffentlichten Materialien können gemäß den Zitierregeln verwendet werden.