warum ist sie wahr ?

На этот вопрос можно отказаться отвечать – мир так устроен и всё. Jawohl, мир так устроен. Но ведь мир не знает, что-такое “псевдоевклидово” Raum. Да и мы до Г.Минковского этого не знали. Большинству и сейчас слово это мало что говорит. Так что же стоит за утверждением “Пространство-Время псевдоевклидово в окрестности точки“?

Я постараюсь показать, что за этим утверждением стоит один весьма тривиальный факт, allgemein gesagt, являющийся не свойством (“законом”) мира как такового, а вполне понятным свойством имеющихся ограничений в возможности описывать этот мир.

Наверное, указание на то, что мы – любой экспериментатор, живой ли субъект, неживой ли объект – nicht wichtig – являемся частями мира, но никак не эквивалентны ему как целому, является достаточно общим местом. Но как много следует из этого общего места! Insbesondere, также и то, что мы называем псевдоевклидовостью пространства-времени.

Чтобы лучше понять, что такое псевдоевклидовость , разберёмся сначала, что такое евклидовость.

Понятие о Евклидовом пространстве мы получаем ещё в школе. Для простоты будем говорить о двумерном пространстве, не представляющем проблему ни для воображения, ни для немедленной реализации. Наверное, любой человек в качестве примера области в евклидовом пространстве предложит посмотреть на лист бумаги. И будет прав, но не полностью! Tatsächlich, лист бумаги является примером вложенной в друг друга иерархии некоторых, более общих чем евклидово, пространств – многообразия, пространства аффинной связности, Риманова пространства, аффинного (линейного) erscheint erst dann и только уже потом евклидова. Да и то, если только мы уже подразумеваем, что положение точки на листе описывается с помощью каким-то образом определённых координат.

В чем заковыка? Die Sache ist, Was множество точек становится пространством только с помощью указания некоторого вполне определённого способа (Wege!) приписывать этим точкам числа – “адреса” – которые позволяют их (Punkte) различать друг от друга.

Как мы это делаем? Нет ничего проще! Берём прямоугольный треугольник, выбираем на листе точку, называем её началом координат (отсчёта) und проводим через неё две перпендикулярные линии – оси системы координат. Откладываем на каждой из осей от начала отсчёта одинаковые промежутки, скажем, в один сантиметр и готово! Мы сделали евклидово пространство на этом листе бумаги. Из каждой точки можно опустить на обе оси перпендикуляры и приписать точке две координаты – количество единиц на каждой из осей, отделяющих проекцию точки от начала координат. Можно сказать также, что в нашей конструкции через каждую точку проходят две взаимно перпендикулярные оси. Заодно, как доказал Пифагор, мы имеем хорошо определённое евклидово расстояние от нашей точки до начала отсчёта, а вместе с ним и евклидово расстояние между двумя любыми точками на листе бумаги. Ich möchte betonen – именно всё вышесказанное вместе делает лист бумаги примером области в евклидовом пространстве.

А если вместо обязательного прямого угла между осями мы разрешаем любые углы (но всегда одинаковые в данной реализации системы координат)? Лист, разлинованый в линеечку с наклоном. Чего проще? Кто постарше, может ещё помнить такие тетрадки для чистописания в начальной школе. Kann? Да конечно можно. Остаётся такой лист примером евклидова пространства? Nein. Das будет уже пример аффинного (линейного) erscheint erst dann. Более общего.

Раз более общего, значит мы что-то потеряли. Dann, что есть в евклидовом пространстве и чего ещё нет в аффинном. Что это? Теорема Пифагора и евклидова метрика, иносказанием наличия которой и является теорема Пифагора. Мы потеряли евклидово расстояние между точками. А вот вполне определённое линейное расстояние между любыми двумя точками, dh. линейную метрику мы пока ещё имеем. Только расстояние вычисляется не с помощью теоремы Пифагора.

А теперь дозволим углам между осями меняться при переходе от точки к точке. Что произойдёт? Наш лист перестал быть примером и аффинного пространства тоже! Но ведь вот он, никуда не делся! Чего же примером он теперь является? Легко догадаться, Was примером некоторого ещё более общего пространства – Риманова. А расстояние между точками есть ещё или уже нету? Ещё есть, метрика ещё существует. Но это уже не прежнее линейное расстояние, для вычисления которого достаточно было знать координаты только двух любых точек. Jetzt расстояние нужно вычислять интегрируя вдоль пути (dh. накапливать по чуть-чуть, смещаясь вдоль некоторой линии, ведущей из одной точки в другую). Расстояний оказывается столько же, сколько и путей! Aber! Среди всех расстояний оказывается одно – наибольшее (или наименьшее). Путь, который даёт такое расстояние называют геодезическим.

Но оставим пока эту увлекательную дорожку. Она нас уведёт в сторону от нашей цели – псевдоевклидовости. Легко понять, приставка псевдо- dass die Proportionalitätskoeffizienten den Tensor bilden, что евклидовость как-бы есть. А мы её здесь уже давно потеряли, ещё на первом шаге к свободе. Значит, мы пошли немного не тем путем, когда занялись углами между осями (но иллюстрацию того, что всякое соглашение крайне важно для конечного результата мы получили!)

So, углы между осями остаются прямыми! Ich betone – это соглашение, не более! Но что при этом ещё важно – мы имеем практическую возможность придерживаться этого соглашения. У нас есть прямоугольные треугольники. Fest, хорошие, совершенно неизменные прямоугольные треугольники. Правда есть? Правда неизменные? Ну ладно, оставим это тоже “на потом”.

Так что же мы ещё можем легко и сразу поменять в нашей конструкции координат для евклидова пространства? Как что – Einheiten. Сантиметры, дюймы, локти, сажени. Да и метры и километры – тоже другие единицы, не сантиметры же.

Кто нам велел по обеим осям откладывать одинаковые единицы? Будем всегда по одной оси откладывать сантиметры, по другой дюймы. Во как, согласуем наконец Европу с Англией и Америкой. Имеем право? Да почему нет? Имеем! Вот только…. Jawohl, мы точно кое-что потеряли. И что? Ну конечно, опять расстояние… Причём, теперь уже капитально. Не только евклидово, а и вообще, метрическое расстояние. Tatsächlich, много ли смысла смешивать дюймы с сантиметрами в какой-нибудь формуле? Ну сложим 5 дюймов с 3 сантиметрами. И что получим? Jawohl, нехорошо. Но отсутствие расстояния в данном пространстве не закрывает возможности описывать точки на листе бумаги и таким образом. Вот только это опять уведёт нас от псевдоевклидовости. Значит, расстояние мы должны сохранить. А это значит, Was единицы по всем осям должны быть одинаковы!

Хорошо, единицы по обеим осям выбираем одинаковые. А что тогда освободим? Brunnen, z.B, пусть оси будут кривыми, а не прямыми. Ой, опять расстояние потеряем… А если дозволим единицам (вместе, для обеих осей одновременно) меняться при переходе от точки к точке, как было дозволено углам, и что привело к Риманову пространству? Nein, опять расстояние пропадёт. Так что же ещё можно освободить?! Ведь больше ничего не осталось, всё попробовали!

Nein, кое-что мы упустили. UND связано это действительно с выбором единиц измерения по разным осям, только посложнее, чем делали мы до сих пор.

Notiz, как нам хорошо, удобно манипулировать листом бумаги. Прикладываем наш треугольник и так, и этак. Поворачиваем его как хотим, переносим. А почему это возможно? warum ist sie wahr, Was треугольник существует вне листа бумаги. Не является частью того пространства, для описания которого применяется. Накладывает ли это какой-нибудь отпечаток на результат? Накладывает, да ещё какой!

Dann, что единицы измерения находятся вне моего листа бумаги, позволило мне избежать многих оговорок в предыдущих рассуждениях, которые должны были бы неизбежно появиться, если бы я изначально подразумевал, что единицы измерения суть внутренние объекты на этом листе. In der Tat, я впечатывал в этот лист, то что хотел – какие единицы, как они меняются от точки к точке, не заботясь, существуют они там на самом деле такие или нет. Я неявно навязывал в ту область пространства, которую моделировал листом бумаги, определённую структуру, о которой даже и не упоминал. Структура эта называется объектом affine Verbindung, имеет смысл скорости относительных изменений единиц измерения, реализующих данную систему координат (в ней же) при смещении от точки к точке. UND пространство становится, z.B, евклидовым не просто Deshalb, что мы не допускаем не-декартовы координаты. А потому, что в нём существуют объекты, которые можно использовать как единицы измерения, производящие декартовы координаты и в которых (в декартовых координатах) вот эта структура, аффинная связность, всюду, в каждой точке нулевая. Was bedeutet das, нулевая аффинная связность? Да очень просто – все эти единицы всюду одинаковы. Dh. при полностью самосогласованном, внутреннем описании геометрии некоторого пространства, главное – есть ли такие координаты, как нам нужно, можно ли их реализовать внутренними объектами. А нам – in unserem Fall, когда на лист бумаги мы наносим единицы измерения извне, такие как хотим – можно всё.

Insbesondere, мы используем треугольник – dh. сразу оба масштаба вместе, с заданным углом между ними в данной точке и подразумеваемым равенством единиц по обеим осям. Des Weiteren, наш треугольник можно переносить без изменения этих соотношений в любую точку листа бумаги и поворачивать как угодно, в том числе, So, что одна ось может быть совмещена с другой (как бы два экземпляра треугольника сразу в одном месте) и единицы их при этом можно сравнить непосредственно. Возможность переносить весь репер (треугольник) без изменения означает, что связность нулевая и пространство евклидово. А возможность поворачивать даёт возможность подтвердить, то что подразумевалось – выбор одинаковых единиц, гарантирует его. А вот если такой возможности (поворачивать) у вас Nein? Что будет? Тут-то мы, наконец, и нащупываем тропинку к пониманию того, откуда появляется приставка псевдо.

Представьте себе, что вы живёте внутри этого листа бумаги, вы его часть, линия в нём. UND, natürlich, вы считаете себя прямой. (Mindestens, прямее всех остальных. А что? Имеете право, пока не доказано противоположное.) Ваше существование реализует ваше время (не чувствуете связи – время существования – самое привычное словосочетание, не так ли?). Ваше существование – это прямая на (v) листе бумаги. Есть другие прямые. И кривые тоже. Вы даже как-то с ними общаетесь. Mindestens, иногда пересекаетесь или обмениваетесь чем-то (отправляете некую точку, welche, уткнувшись в другую линию, возвращается назад к вам). Auf diese Weise, вы знаете, что мир ваш двумерен, по-крайней мере. Вы – одно измерение, есть ещё что-то – значит измерений больше одного. Так вы строите образ вашего мира как двумерное пространство. Какое? Ваша единица измерения, ваш масштаб времени всегда с вами und, само собой, вы считаете его одним и тем же во все моменты своего существования. Das реализуемый вами Rahmen. Вот здесь уже появилась идея евклидовости. Не заметили? А как же – масштаб то ваш неизменен, один и тот же, a-priorat. (По вашему определению, но вам-то что за дело, если другие имеют свои определения? Пока вы для себя стараетесь, с другими потом договоримся.) Но измерений-то два! В репере нужно иметь два одинаковых (и неизменных) Skala. Вот тут вы мне должны позавидовать. Сижу я над листом бумаги со своим треугольником, и в ус не дую. А вам то что делать? Где взять второй масштаб? Нету ведь его на вашей линии и всё тут! keine Freiheit mehr für den Flug der Fantasie und Mythenbildung zu lassen – a придумать. Пусть будет. И не какой нибудь завалящий, a именно такой, как вам нужно – dh. ортогональный (перпендикулярный) к вашему масштабу времени, und, natürlich, постоянный всюду. Хозяин – барин. Что хочет, то и придумывает. Ваш родной, реализуемый масштаб постоянен. А уж придуманный хуже не должен быть. Вот и стал ваш мир (двумерный) евклидовым. Где бы вы не оказались, у вас есть два прекрасных масштаба для его описания. Один временной и один, скажем, пространственный… Was? Ах, вы не везде бываете? Ну ладно, умерим претензии – всё это так красиво только в ваших окрестностях, dh. мир (его описание двумерным пространством-временем) евклидов локально, в окрестности каждой точки вашего (Linien) Existenz.

Евклидов?! Lassen, я со своим треугольником могу удостовериться, что мои единицы для обеих осей равны, поворачивая треугольник. А вы так можете? Nein? А почему? Ах, у вас только одна реализуемая единица, масштаб времени. И как вы там внутри листа бумаги не крутитесь, она таковой единственной и останется. Ну никак нельзя совместить реализуемый масштаб с воображаемым. Тот всегда должен быть ортогональным к масштабу времени. Ведь мы его таковым вообразили. И точка. Ну не одинаковые ваши масштабы! UND это необходимо признать явно. Не может в вашем математическом образе пространства-времени масштаб времени превращаться в масштаб пространства ни в каком случае. А в евклидовом пространстве может. Как же это можно изобразить математически? Вот тут и появляется псевдоевклидовость. Она и изображает неравноправие масштабов в репере. Их принципиальное отличие друг от друга.

So, имеем два принципиально разных масштаба. Значит и соответствующие координаты желательно изображать разными числами. И какой выбор у нас есть? Правильно, действительные и мнимые числа – как раз то самое и обозначают названия, что нам надо. Мнимые=воображаемые. Пусть временная координата будет изображаться действительным числом (измерена реализуемым масштабом), а пространственная – мнимым числом (измерена воображаемым масштабом). Пространство-время обладает свойствами евклидовости в том смысле, что между любыми двумя точками можно определить инвариантным образом (относительно всей группы наших декартовых координат) Distanz, вычисляемое согласно теореме Пифагора: r²=t²+x²

Вот только x здесь число мнимое, а нам это никак не видно. Сделаем запись явной – пусть пространственная координата в явном виде содержит мнимую единицу : ichx . Тогда расстояние, вычисленное буквально как евклидово, оказывается фактически иным: r²=t²-x² поскольку квадрат мнимой единицы даёт минус единицу. Вот и получили мы вроде и евклидово пространство, ан нет, другое – псевдоевклидово.

Хотя использование мнимых чисел напрашивается само, но оно не обязательно, если мы сфокусируем внимание, как это очень часто делается, на сохранении инвариантной формы для вычисления квадрата расстояния с использованием знака минус вместо плюса (чтобы не путать с чисто пространственным расстоянием, его обычно называют интервалом) при преобразованиях координат. Но тогда становится не очевидной разница между пространственной и временной координатами как измеренными принципиально разными масштабами. Na und, J. P. Wigner, можно ещё напомнить, что исторически в физике мнимой координатой обычно полагают время. Уж очень мы привыкли рисовать пространственные координаты на бумаге и полагать их действительными. Что как называть, для результата, в общем-то, не так важно, лишь бы интервал вычислялся правильно. aber, перевёрнутая терминология никогда не способствует лёгкому пониманию существа дела.

Хорошо, выяснили мы, что линии, существующие в листе бумаги и желающие его описывать изнутри, будут вынуждены локально использовать псевдоевклидово пространство как образ своих ближайших окрестностей. Ну а наш физический мир? Jawohl, он посложнее будет, natürlich. Нам пришлось придумать себе аж три дополнительных пространственных единицы. А в остальном мы ничем не лучше линий на бумаге и возможности наши не больше. Вот потому-то и мы тоже описываем наш мир локально псевдоевклидовым пространством.

Sagen – неправда все это! Вот, смотри есть у меня хорошие треугольники, чтобы измерять пространственные промежутки! Реализованные предметами из нашего мира. Хочешь – hölzern, хочешь – металлические, а хочешь – пластмассовые. Jawohl? А вы не забыли, что чтобы узнать это самое расстояние, вам нужно посмотреть на два конца метки, изображающей единицу? UND между этими событиями пройдёт промежуток времени, как вы не ловчите. А настоящая, не воображаемая единица должна вам давать пространственную координату (где бы то ни было далеко от начала отсчёта) мгновенно, в любой заданный, единственный момент времени. Так что слово “смотри” в вашем утверждении важнее прочих. И его наличие опровергает само утверждение. Не можете вы мгновенно приписать пространственные координаты ничему в этом лучшем из миров.

© Gavryusev V.G..
Die auf der Website veröffentlichten Materialien können gemäß den Zitierregeln verwendet werden.