В чём разница между теми и другими? Почему об этом стоит поговорить?

Трудно избежать разговора о системах координат и системах отсчёта, wenn wir irgendwelche Raum-Zeit-Probleme diskutieren. Und im Alltag ist es für uns am häufigsten, vielfältige Informationen in bestimmten Koordinaten darzustellen, даже если мы часто и не отдаём себе в этом отчёта. За примерами далеко ходить не надо. Год, месяц, Tag, час, минута, zweite — что это по вашему? Координаты. Временные координаты. А страна, город, улица, номер дома? Raumkoordinaten. Möchten Sie jemanden treffen?? Daran gibt es kein Entrinnen, um irgendwie die Zeit und den Ort des Treffens zu beschreiben, und in der Form, sowohl für Sie als auch für Ihren Partner verständlich. Überprüfen Sie auch Ihre Uhren, wenn Ihnen Zeit wichtig ist. Möchten Sie einen Brief senden? – Achten Sie auf das Richtige, bekannte Post, Adressen. Du wirst keinen Brief verschicken “zum Dorf, Großvater”. Obwohl dies auch Koordinaten sind. Und sogar die richtigen.

Warum sage ich so banale Dinge?? Und um es zu betonen, Was, einerseits, Koordinatensysteme sind seit langem ein fester Bestandteil unseres Lebens, und andererseits, Sie erfordern eine recht sorgfältige Handhabung, um nicht in Schwierigkeiten zu geraten. Natürlich geht die Wissenschaft nicht so leichtsinnig mit Koordinaten um, wie wir uns im Alltag manchmal erlauben, Aber auch in der wissenschaftlichen Herangehensweise an Koordinatensysteme gibt es einige Dinge, die schweigen, die keine sehr akribischen Menschen sind, kann manchmal irreführen. Ja, und auch akribisch. Für jeden Weisen ist ziemlich Einfachheit. Der Grund dafür ist nicht bösartig für Mathematiker oder Physiker, aber in einer einfachen Tatsache, Was “keine sehr guten Koordinaten” kann in vielen Fällen äußerst praktisch sein, geeignet, ein bestimmtes Phänomen zu beschreiben. Und ihnen “nicht ganz gut” scheint schon lange bekannt zu sein, Woran sollte man sich also über sie erinnern?? А помнить-то надо. Ох как надо. Часто, если помнить кое-что такое об используемой системе координат, многое может стать понятнее.

Начнем опять с вещей близких, которые представляются понятными каждому. Всё тот же лист бумаги. Проведём на нём прямую линию. Какие системы координат являются регулярными, обычными – zulässig – Auf dieser Linie? Was ist das Koordinatensystem in der Linie?? Um das Koordinatensystem zu bestimmen, benötigen Sie einen Punkt, Für den Beginn der Referenz, null. Und eine Abmessungseinheit, mit denen wir die Koordinate auf beiden Seiten des Beginns der Referenz zuordnen. Als Abstand, gemessen von dieser Einheit zum Startpunkt (которой приписана координата нуль). Verfügbar online und in der Direktion, als Zahlenzeichen, Angabe der Koordinate. Dieses Zeichen weist darauf hin, Wo ist der Punkt relativ zu Null? – links oder rechts. Alle Koordinatensysteme, отличающиеся лишь величиной единицы измерения, выбором начальной (нулевой) точки и выбором положительного направления (налево или направо) являются вполне регулярными, zulässig Koordinatensysteme. Sie Erlauben Sie Ihnen zu beschreiben Alle Punkte unsere gerade Linie gleichmäßig. Und was ist das Koordinatensystem in diesem Sinne inakzeptabel? Es gibt keinen solchen? es gibt. Wenn wir uns entgegen dem gesunden Menschenverstand dazu entschließen, eine Maßeinheit mit der Länge Null zu wählen, dann können wir nicht alle Punkte einer Geraden beschreiben. Wir können nur einen Punkt beschreiben, Beginn der Zählung. Jawohl, этот пример весьма далёк от здравого смысла, но я его привёл для того, чтобы заострить внимание на том, Was “допустимость” (регулярность) oder “не допустимость” (не регулярность, или иначе, сингулярность) Das Koordinatensystem ist genau mit dem Fehlen einer Degeneration eines bestimmten Raums in einen Raum mit weniger Dimensionen verbunden, nur aufgrund der Wahl einiger Eigenschaften des Messverfahrens, Erzeugungskoordinatensystem. Im obigen Beispiel ist dies die Degeneration einer geraden Linie in einen Punkt aufgrund einer unsachgemäßen Auswahl einer Messeinheit. Jetzt werde ich zeigen, что пример мой не такой уж и наивный, как может показаться с первого взгляда. Пусть у нас есть одна хорошая система координат на нашей прямой (dh. выбраны начало отсчёта, Messeinheit und positive Richtung). Betrachten Sie alle möglichen anderen Koordinatensysteme in dieser Linie, die sich von dieser einzigen Messeinheit unterscheiden. Wenn die neue Einheit für alle Punkte auf der Linie gleich ist, und ist von Null verschieden, dann wird das neue Koordinatensystem auch gut sein, akzeptabel. Und wenn sich sein Wert von Punkt zu Punkt ändern kann? Übrigens ist es keine so seltsame Gelegenheit. beispielsweise, Wir möchten eine logarithmische Skala auf der Linie haben. Passiert? Passiert. Hier erwartet uns Gefahr. Wir müssen den Überblick behalten, so dass nirgendwo auf der Linie die neue Maßeinheit im Verhältnis zur alten zu Null wird, noch bis ins Unendliche. Aber was wäre, wenn das irgendwann passieren könnte?? Sie können ein solches Koordinatensystem verwenden? Es scheint an den anderen Punkten zu sein, es ist gut? Die logarithmische Skala ist genau die gleiche! Und wir benutzen es oft. Die Antwort ist klar. Sie können etwas verwenden, но относить её к совершенно хорошим, допустимым, регулярным системам координат нельзя. Das сингулярная система координат. Важно то, Was никакая точка линии сама по себе особенной не является. Die Besonderheit eines oder anderen Punktes auf der Linie ist künstlich, Aufgrund einer bestimmten Wahl der Messeinheiten darin. Daher ist es das Koordinatensystem, das als Singular bezeichnet wird. И об этом нужно помнить. Auf diese Weise, уже в одномерном случае мы встречаем случаи использования не только регулярных, но и сингулярных координат.

Посмотрим теперь двумерный случай. Одна точка выбрана за начало отсчёта. Ей присваиваются нулевые значения обеих координат. Выбраны две ортогональные координатные линии, две единицы измерения, два положительных направления. Dies ist unser reguläres Koordinatensystem. Offensichtlich ziemlich offensichtlich, Was ist, wenn wir in einigen Fällen in ungleichmäßigem Maßstab brauchen, Eins nach dem anderen, oder auf beiden Koordinatenlinien, Dann unter vielen auf diese Weise erhaltenen Koordinatensystemen gibt es in einigen Punkten auch Singular für die Ebene. Deren Singularität, Wie in einem Fall, обусловлена вырождением в нуль единицы измерения в этих точках. aber, в двумерном случае имеется ещё одна возможность вырождения двумерного пространства в пространство меньшего числа измерений за счёт “плохого” выбора процедуры измерений, порождающей систему координат. Довольно часто мы пользуемся не ортогональными системами координат, а такими, координатные линии которых сходятся в точке под некоторым произвольным углом. Solche Koordinatensysteme werden manchmal als gekrümmt oder krummlinig bezeichnet. Etwas später werde ich mich auf andere konzentrieren, sehr häufig verwendete nichtkartesische Koordinaten. Сейчас же хочу обратить ваше внимание на очевидный факт. Dort, где угол схождения координатных линий обращается в нуль, опять имеет место вырождение. Двумерное пространство изображается как одномерное, всего лишь одной координатой. Потому что нулевой угол между координатными линиями и означает, что линия-то в этом месте всего лишь одна. Das heißt, das Koordinatensystem wird an diesem Punkt dadurch einzigartig sein, dass anstelle der beiden verschiedenen Einheiten, die für seine Regelmäßigkeit erforderlich sind, zwei Kopien verwendet werden (может быть отличающихся по величине) одной и той же единицы измерения.

Сингулярными в некоторых точках могут стать и вполне обычные, “ортогональные” überall Koordinaten, не только за счёт “неправильного” Auswahl der Größe oder Richtung der Skalen, aber eben aufgrund einiger Eigenschaften des Raumes selbst (ziemlich regelmäßig!), nicht zu beschreiben erlauben alle diesen Raum der Einzige Regelmäßiges Koordinatensystem. Ein Beispiel für einen solchen Raum in einem Fall ist eine geschlossene Linie, Und in zwei -dimensional – Sphärische Oberfläche. genau Die Isolation des Raums und ist das Eigentum, Dies verhindert die Möglichkeit, das einzige reguläre Koordinatensystem einzuführen, Den gesamten Raum bedecken. Wenn Sie immer noch versuchen, mit einem einzigen Koordinatensystem auszukommen, Alle Koordinaten oder ein Teil davon erhalten einen begrenzten Grundänderungsbereich, Zeitraum. Es können auch einzelne Punkte auftreten, in dem die Koordinaten wieder entarten, Wie, z.B, in den Polen auf der Kugel. Das Raster aus Parallelen und Meridianen funktioniert überall hervorragend, außer zwei Punkten, wo die Parallelen in einem Punkt zusammenlaufen, Simulation des Verschwindens einer von zwei Maßeinheiten, notwendig für die korrekte Beschreibung einer zweidimensionalen Oberfläche. Auf diese Weise, Koordinatensystem, базирующаяся на описании сферы с помощью параллелей и меридианов (именно та, которой мы пользуемся для ориентации на поверхности Земного шара) по природе своей является сингулярной. Это свойство отнюдь не мешает использовать её вполне успешно в повседневной жизни. А вследствие того, что Земля ещё и вращается, у нас появляется очень привлекательная возможность приписать этим фиктивным особенным точкам, полюсам некий мистический смысл. И даже организовывать экспедиции, чтобы их достигнуть. Wer die Grenzen des vorhandenen Wissens sprengen will, der schafft ein gewisses Problem, с точки зрения вращения Земли действительно имеются две особенные точки, через которые проходит воображаемая ось вращения. А кроме того, точки эти труднодоступны. Однако то, что полюса системы координат, базирующейся на параллелях и меридианах также помещены именно в эти точки земной поверхности, для самой системы координат факт не существенный. Der Pol eines solchen Koordinatensystems auf der Kugel könnte durchaus in zwei Punkten platziert werden, an den Enden des gleichen Durchmessers.

Schauen wir uns nun eine andere Klasse singulärer Koordinatensysteme an, auch weit verbreitet. Ich möchte darüber reden полярных координатах на плоскости и сферических полярных координатах в трёхмерном пространстве. Эти координаты в физике применяются очень широко. Да и обычному человеку они вполне привычны. Каждый из нас достаточно часто рассматривает себя как центральную точку системы координат, в которой всё что он видит располагается на некотором расстоянии (радиусе) от него, und, возможно, в разных направлениях, которые отмечаются поворотом на некоторый угол от какого-то выбранного направления. Такая система координат сингулярна уже потому, что одна (или две) Koordinaten, углы, являются периодическими, denn irgendwann (Zeitraum) die Richtung stimmt wieder mit der ursprünglich gewählten überein, daraus wird der Drehwinkel berechnet. Es enthält aber auch einen wichtigeren Sonderpunkt, само начало координат. В этой точке, dh. при значении радиуса равном нулю, все направления вырождаются, их нельзя определить однозначно. Любое направление можно приписать этой точке. По простейшей причине – для однозначного выбора направления нужно иметь хотя бы две точки, а не одну. Dann, что эта особенность сугубо координатная, обязанная своим существованием только способу построения системы координат, ziemlich offensichtlich. Полярные системы координат весьма полезны и эффективны в тех случаях, когда главную роль играет только расстояние между объектами. In der Tat, это способ описания, который выделенным obwohl Formeln nicht vollständig vermieden werden können вписывает одномерное описание во внешний мир большего числа измерений. При этом внимание акцентируется на единственной существенной координате – расстоянии, радиусе.

Понимание таких вот свойств сингулярных систем координат позволяет не только избежать неверного толкования некоторых “besonders” явлений в получающемся описании мира. Оно позволяет также и лучше понимать законы природы. Возьмём например закон гравитации Ньютона. Что он гласит? Что между массивными телами действует притягивающая сила, die nur von der Masse der Körper und vom Abstand abhängt. Warum kommt es im dreidimensionalen Raum nur auf eine Größe an?? In Polarkoordinaten – nur von einer von drei Koordinaten? Да по простейшей причине. В приближении Ньютона тела рассматриваются как точки. И если у вас есть только две точки, то у вас на самом деле нет никакого трёхмерного пространства. У вас только одномерное пространство, в котором выделены две точки. А если вы рассматриваете общее движение двух точек, то автоматически получаете плоскость, заметаемую соединяющей их прямой (и один из законов Кеплера в придачу). Und alle. В системе двух точек есть только одна существенная координата, расстояние между этими точками. Силе просто больше не от чего зависеть. Beziehungsweise, в приближении Ньютона именно полярные координаты будут особенно удобными для описания, скажем системы, состоящей из звезды и одной планеты. Несмотря на их очевидную сингулярность для трёхмерного пространства. Natürlich, при отказе от такого простейшего приближения, при учёте влияния всего остального мира, гравитационная сила в любой данной точке будет определяться уже гораздо более сложной структурой, кривизной erscheint erst dann (Freizeit) в данной точке. И полярные координаты, вполне вероятно, перестанут быть более удобными, чем, sagen wir, декартовы. Хотя бы уже потому, что имеют встроенную сингулярность.

© Gavryusev V.G..
Die auf der Website veröffentlichten Materialien können gemäß den Zitierregeln verwendet werden.