Que sont les symétries? Qu'est-ce que le concept mathématique d'un groupe a à voir avec eux?? Que sont les vues de groupe? Pourquoi la physique accorde tant d'attention aux symétries?

Parlons d'abord du ménage, proche de toute idée de symétrie. Comme toujours, afin de mieux comprendre de quoi il s'agit, je vais essayer de révéler le sens de ce mot lui-même. Comme pour beaucoup d'autres concepts, le sens de ce terme n'est en aucun cas le seul. Par conséquent, vous devez passer par toutes les significations (bien, ou au moins, pour leur part principale). Le sens littéral du mot “symétrie” dans son, pour ainsi dire, Version russe (bien que ce mot lui-même fasse depuis longtemps partie intégrante de la langue russe), cette co-dimension. C'est à dire. le sens original du mot implique une certaine connexion, compatibilité en taille, par la taille de quelque chose avec quelque chose. Bien que le premier, ce qui me vient à l'esprit, quand on entend ce mot, c'est une idée de quelque chose de beau, parfait. Visage symétrique — ce visage, dans lequel tout est équilibré, droite correspond à gauche, le haut et le bas ne créent pas de sentiment de contradiction entre eux. Une figure géométrique symétrique ne se compose pas de nombreux éléments liés de manière chaotique, et vice versa, est une collection d'éléments, éventuellement égal, montrant l'ordre. par exemple, cercle. Tous les points sont situés à égale distance du centre et en ce sens sont identiques, indiscernables les uns des autres. Ou un triangle équilatéral. Tous les côtés sont égaux. Tous les angles sont égaux. Vous pouvez tourner comme ça, que lorsque les sommets correspondent, alors le triangle est essentiellement inchangé, reste le même. Deux parties d'un triangle peuvent être inversées, obtenu en le divisant par n'importe quelle hauteur, les uns sur les autres et ils vont correspondre, et le nouveau triangle sera indiscernable de l'ancien.

Alors de quoi avons-nous besoin, pour que vous puissiez parler du sujet de la conversation, qu'il a une certaine symétrie?

La première. Le sujet de la conversation sur la symétrie, en général, devrait avoir une certaine complexité, consister en “détails”, être une collection d'autres objets, et ne pas être quelque chose d'unique. La simple existence d'un seul élément ne permet pas de parler de symétrie. Il n'y a rien de comparable avec, proportion. Je noterai, quoi ici, il est déjà approprié d'utiliser le concept mathématique “beaucoup de”. De nombreux éléments.

Deuxième. Pour que le concept de symétrie surgisse, il est nécessaire que les éléments d'un ensemble soient impliqués dans une sorte de relation les uns avec les autres, de sorte que le concept d'ensemble a été ajouté au concept d'opération  sur les éléments de cet ensemble. Seul le jugement sur le résultat d'une opération nous permet de dire, y a-t-il des éléments dans cet ensemble (chiffre, corps volumétrique, une phrase ou autre chose) signes de la présence ou de l'absence de symétrie, proportions. En raison de, de quoi parle-t-on de proportionnalité, cela pourrait sembler, qu'une telle opération doit nécessairement être liée d'une manière ou d'une autre à la mesure, au moins dans sa forme rudimentaire de comparaison. La comparaison est vraiment toujours faite, mais, d'habitude, à la toute dernière étape, après l'opération, qui est ici. Comparé alors, ce qui s'est passé avant l'opération, avec ça, ce qui s'est passé après l'avoir appliqué. Mais l'opération elle-même, dont parle ce paragraphe, pas nécessairement limité aux opérations de mesure. A titre d'exemple, je peux suggérer l'opération de permutation des éléments d'un certain ensemble.

La troisième. La symétrie implique, quoi l'utilisation d'une certaine opération laisse une certaine propriété (ou plusieurs propriétés) multitudes (le sujet en discussion dans son ensemble) inchangé. Quelque chose est invariant de l'opération. Reste une propriété inchangée de l'ensemble dans son ensemble (ou ces éléments, auquel l'opération a été appliquée). Peut-être, en raison de, que les deux premières propriétés vont de soi pour nous, disponible par défaut, cette propriété prévaut dans nos idées sur la présence ou l'absence de symétrie.

Il est accepté de considérer, qui est la base pour décrire les symétries en utilisant comme, concepts mathématiques est le concept d'un groupe. C'est juste, mais pas vraiment. Disons d'abord, quel groupe — est un ensemble d'éléments avec une opération définie en elle, dont l'application laisse les éléments d'un ensemble dans cet ensemble lui-même. Cette partie de la définition du groupe correspond exactement à nos idées sur les propriétés de symétrie. Mais dans la définition d'un groupe il y a aussi des conditions importantes sur les éléments de l'ensemble et les propriétés de l'opération. Nous les clarifierons plus tard.. Ces conditions sont importantes pour le concept de groupe, mais souvent excessif pour décrire les symétries. Un autre concept mathématique est légèrement plus large — présentation de groupe. Il fournit quelques propriétés supplémentaires, que l'on s'attend à trouver dans la description formelle du concept intuitif de divers types de symétries. D'un point de vue purement formel, il est plus pratique de discuter du concept de représentation de groupe sur la base du concept déjà décrit, grouper. En général, certaines de nos intuitions de base sur la symétrie doivent être décrites dans un langage cartographique, et en aucun cas des groupes et leurs représentations. mais, puis l'idée de symétries, qui s'est formé en physique, est le plus directement lié au concept de groupe. Donc, je, principalement, Je suivrai cette ligne et ci-dessous j'essaierai d'expliquer, à quoi est-ce lié.

Définition (mathématique) grouper. Ensemble non vide avec un donné binaire  (c'est à dire. appliqué à deux éléments de l'ensemble) opération (et le résultat de l'opération est également un élément du même ensemble, et pas un autre) appelé un groupe, si les conditions suivantes sont remplies:

1. L'ensemble a élément neutre, souvent appelé une unité, tel, que sa participation comme l'un des opérandes (éléments de l'ensemble impliqués dans l'opération) partout (le résultat d'une opération dans le cas général peut dépendre de la place de l'opérande dans une opération binaire) ne change pas le deuxième opérande. C'est à dire. opération, qui inclut cet élément entraîne le deuxième élément impliqué dans l'opération. Nom “unité” historiquement lié à, que les idées de base sur les propriétés des groupes sont souvent dérivées de l'étude d'un groupe de nombres avec l'opération de multiplication. D'ailleurs, donc très souvent, l'opération de groupe elle-même est appelée “multiplication”. quoi, naturellement, n'est rien d'autre que du jargon, à portée limitée. Ces noms (“unité”, “multiplication”) très conditionnel. Les nombres sont un groupe et en relation avec l'opération d'addition (et dans un sens plus strict, en raison de la mise en œuvre stricte d'un autre, en dessous de la condition 2, que par rapport à la multiplication). Dans ce cas, l'élément neutre est le nombre zéro, pas une unité.
2. Chaque élément de l'ensemble peut être associé à retour élément, tel, que l'opération avec ces deux éléments (direct et inverse), quelle que soit leur place dans l'opération, se traduit par un élément neutre. Ces deux conditions peuvent être définies comme une condition d'existence de l'opération inverse. (Une addition — soustraction, multiplication — division).
3. Condition d'associativité. L'opération peut être appliquée séquentiellement. Puisque le résultat d'une opération binaire est à nouveau un élément de l'ensemble, alors trois éléments ou plus de celui-ci peuvent y être impliqués. Dans ce cas le résultat de l'opération ne doit pas dépendre de, comment les paires sont sélectionnées dans cette chaîne (parce que l'opération est fondamentalement binaire!). Ça n'a pas d'importance, que d'abord l'opération du premier est effectuée avec les seconds opérandes, puis le résultat devient le premier opérande de l'opération avec le troisième. Ou d'abord le second avec le troisième, puis le résultat devient le deuxième opérande dans l'opération avec le premier. Mais la place de tous les éléments de la chaîne ne doit pas changer..

Voyons à quoi cela ressemble sur des, tous les exemples clairs, et que dans le concept de groupe, il peut être superflu de décrire la symétrie.

Visage symétrique. Ici, l'ensemble se compose de deux moitiés du visage, gauche et droite. Chacune des moitiés comprend un sous-ensemble d'éléments très différents. — les yeux, des joues, les sourcils, les moitiés du nez et de la bouche, front menton. Vous pouvez affiner davantage la description du visage, mais ça suffit, pour voir l'essence de l'idée. Et l'idée d'un visage symétrique est, que chaque élément de la moitié gauche du visage correspond exactement au même élément de la moitié droite (bien et vice versa, bien sûr). De plus, cette correspondance est fournie par l'opération de réflexion du miroir selon les lignes, perpendiculaire à l'axe du visage — droit lignes, passant par le centre du front, bout du nez et bout du menton. Beaucoup de, décrivant cette symétrie au sens mathématique, se compose d'au moins trois éléments (un axe de symétrie a été ajouté aux moitiés du visage, plus précisément, points, ou de très petites zones, situé dessus) et les opérations de mise en miroir des éléments les uns dans les autres. De gauche à droite et vice versa, et l'axe avec cet affichage reste inchangé (peut aussi être dit, ce qui est affiché en soi).  Mais il y a une question — et est-ce que l'ensemble décrit avec l'opération satisfait toutes les conditions ci-dessus pour être appelé un groupe au sens mathématique? ne pas. Et c'est pourquoi. L'opération de réflexion n'est en fait pas binaire, mais unaire. Il s'applique à un seul élément de l'ensemble. La réflexion associe n'importe quel élément à un autre élément. Ou le même, si l'ensemble contient un élément neutre par rapport à l'opération (la coïncidence du résultat avec l'opérande lui-même est dans ce cas la définition de la neutralité).  La présence d'un élément neutre n'est également pas nécessaire dans ce cas.. Après tout, vous pouvez tronquer la description d'un visage en deux moitiés, qui se reflètent les uns dans les autres. Et l'idée de symétrie reste encore explicite dans cette description.. Pour décrire ce type de symétrie, le concept mathématique suffit “affichage”.

Cercle. Cet exemple est beaucoup plus riche. Il vous permet déjà de voir comment apparaît le concept de groupe mathématique.. Cette symétrie, qui est apparu lors de la discussion des propriétés du visage, évident immédiatement — il apparaît au même moment, comment nous complétons (au moins imaginaire) cercle de n'importe quel diamètre, c'est à dire. ligne droite, passant par le centre du cercle. C'est à dire. un cercle est symétrique par rapport à l'un de ses diamètres. Mais! S'il n'y a qu'une seule ligne de symétrie pour le visage, puis pour un cercle de telles lignes, il existe déjà une infinité de diamètres et il est possible de tourner le cercle (et n'importe quel diamètre sélectionné) autour du centre à n'importe quel angle. Et en même temps d'une part, la symétrie gauche / droite par rapport à ce diamètre est préservée, et, outre, le cercle lui-même coïncide avec lui-même (plus précisément, n'importe quel moment, couché sur un cercle dessus et reste). Une nouvelle opération apparaît, plus précisément, une infinité d'opérations, leur collection continue,  tourne d'un certain angle. Dans le langage courant nous dirons, qu'un cercle est comme une figure géométrique, plus symétrique, qu'un visage. Essayons de décrire cette nouvelle richesse dans le langage des mathématiques.

Arrêtons-nous aux virages. Les virages peuvent être effectués sous différents angles. Cela signifie que cette opération a un paramètre qualifiant — angle de rotation. Plus loin, les virages peuvent être faits deux, un par un et le résultat sera également une rotation d'un certain angle (comme nous le savons, les coins s'additionnent; cette propriété est essentiellement une définition en tant que paramètre de rotation, et l'opération de pivot elle-même). Où sont les deux tours, il y en a trois et plus. Et le résultat global sera toujours un tour. Faisons maintenant un pas en avant dans nos constructions. Pas même en avant, mais tu peux dire, construire un étage de plus au-dessus de notre structure. Rez-de-chaussée — ensemble de points de cercle et d'opérations de rotation, préserver ce cercle dans son ensemble. Le deuxième étage sera beaucoup d'opérations — se tourne. Chaque tour, correspondant à une valeur de paramètre, l'angle sera considéré comme un élément du nouvel ensemble, beaucoup de rebondissements. Et déjà dans cet ensemble, nous introduisons l'opération, combiner deux tours consécutifs quelconques. Appelons ça “multiplication”. Bien qu'ils auraient bien pu appeler “une addition” (ne serait-ce que sur la base, que les angles de virages dans notre cas, par définition, s'additionnent). Regardez de près ce nouveau plancher. Après tout, cette construction correspond exactement à la définition mathématique du groupe. Il y a beaucoup de. De nombreuses opérations sur autre chose? et alors? L'opération est. Opération sur opérations? Et qu'est-ce qui ne va pas? Y a-t-il un élément neutre, “unité”? il y a. Rotation à angle nul (pas de retournement). Un peu bizarre? Pas plus étrange que zéro pour l'ensemble vide. En fait, c'est ça.. Le même visage de profil. Éléments inverses? Fait des allers-retours. Autoriser les angles de rotation positifs, et négatif. Eh bien, il y a aussi de l'associativité dans la séquence des tours.. Le groupe de tours s'avère être identique au groupe de nombres réels avec l'opération de groupe “une addition”. Avec une différence significative. Pas tous les nombres, et les nombres dans l'intervalle de 0 à 360 (si les angles sont mesurés en degrés), ou de 0 jusqu'à 2π (mesuré en fractions de la longueur du rayon, c'est à dire. en radians).

Nous avons vu, comme tentative de décrire un certain type de symétrie d'une figure particulière, cercles, nous a conduit au concept de groupe. Groupes de transformation, dans ce cas tourne. Et vous pouvez faire pivoter d'autres chiffres? Pouvez, bien sûr. Et ils coïncideront tous avec eux-mêmes en même temps? ne pas, bien sûr. Et ils, qui correspondra, même si pas à chaque tour, et pour certains — par exemple, formes telles qu'un segment de ligne, triangle équilatéral, carré, pentagone régulier et tous les autres réguliers “carrés”.  Nous les appelons symétriques. C'est à dire, il s'avère que, si le chiffre ne change pas après avoir tourné d'un certain angle (ou coins), alors il a une certaine symétrie. Le groupe de virage nous a aidés à voir cette symétrie. Pour différentes formes. Et le groupe est un (bien, ou différents échantillons de celui-ci, sous-groupes). C'est ainsi que notre bâtiment se transforme, deuxième étage (groupe de transformation, se tourne) devient le principal, fondation. Et en plus, vous pouvez attacher différents sols spécifiques (Les figures).

Quelles conclusions peut-on tirer des exemples ci-dessus?

Concernant la description des symétries, on peut observer, que bien que le concept de groupe ne corresponde pas entièrement au concept de symétrie, mais les groupes de transformation vous permettent de décrire assez complètement (et identifier la présence) sinon toutes les symétries sans exception, puis, Probablement, Tres beaucoup. Au moins tous ceux, auquel on peut associer les invariants disponibles dans ce groupe (c'est à dire. constructions, laissé par toutes les transformations de ce groupe inchangé). Différents groupes — différents invariants — différents types de symétries.

En ce qui concerne les groupes eux-mêmes, nous avons mis l’accent sur le rôle spécial des groupes., dont les éléments sont des transformations, de plus, des transformations actives. Respectivement, ils révèlent des symétries dans ces objets, sur lesquelles agissent ces transformations. Cependant, c'est assez clair, que les propriétés du groupe elles-mêmes ne sont pas strictement liées aux transformations de certains objets spécifiques. Les mêmes propriétés, entièrement ou partiellement, peut avoir des groupes de transformation, agissant sur de nombreux objets complètement différents. par exemple, sur des formes géométriques (se tourne) et nombres (groupe de pliage). Etc. C'est là qu'intervient l'idée d'introduire un groupe. Grouper, comme abstrait, concept parfait, peut être mis en œuvre par une variété de groupes de transformation. Exactement ou avec certains, écarts bien décrits. Une telle implémentation est appelée une représentation de groupe.. À peu près le même, comment un ensemble de cinq éléments peut être réalisé avec cinq pierres ou cinq doigts.

Самым удобным для изучения представлением групп преобразований является их представление матрицами. Причиной того, que les groupes matriciels sont au centre de la théorie des groupes est suffisamment simple et en même temps fondamentale. Cela rend également l'utilisation de la théorie des groupes en physique inévitable et englobante., pénétrer dans différents coins de la physique. Et les mathématiciens aussi. Et avec les groupes, le concept de symétries est naturellement introduit dans la physique. La vérité doit être dite, quoi exactement parce que, que pour la physique ces deux concepts deviennent presque synonymes, le concept de symétrie en physique est quelque peu différent de ce concept quotidien, dont nous avons discuté ci-dessus.   Quelle est la raison de faire des groupes de transformation et, en particulier, groupes de matrices donc dédiés à la physique?

Plusieurs fois dans mes articles j'ai écrit, que toute description du monde, en utilisant comme mathématiques du langage, repose sur la procédure de mesure. Les nombres en eux-mêmes ne sont que des symboles dénués de sens. Ils acquièrent leurs valeurs seulement alors, lorsque ces caractères sont associés aux résultats du comptage ou de la comparaison de quelque chose avec quelque chose, pris comme base, échelle. Et c'est la procédure de mesure. But — sa forme la plus simple. Après tout, il y a une échelle ici — besoin d'indiquer, que pensons-nous exactement. Et la procédure de mesure n'est en aucun cas la seule. Beaucoup d'entre eux. Et ils diffèrent, d'abord, leurs séries d'échelles, leurs bases. Les procédures de mesure elles-mêmes, utilisé pour décrire le monde sont définis, qui peut être décrit, spécifier les propriétés de ses éléments, similitudes et différences entre eux. ET la portée de certaines procédures peut être mesurée par d'autres. Et vice versa aussi. Et donc ces mesures croisées donnent lieu à l'idée de transformations et sont décrites par elle. Conversions de nombres, résultats de mesure, en d'autres nombres, aussi les résultats de mesure, mais obtenu d'une manière différente. Transformations d'échelle, transformations de coordonnées, conversions de tous les résultats de mesure. Ainsi, les transformations font partie intégrante de toutes nos descriptions du monde, prétendant être. Les très nombreuses transformations, au moins, certaines parties de celui-ci, peut également être décrit par une idée. À savoir, idée de groupe (différents groupes, pour différents sous-ensembles de transformations).

Je veux noter, quoi ces transformations sont par nature passives, décrivant le changement du point de vue de l'objet sélectionné, changer la façon dont il est décrit. Et en discutant des symétries, nous sommes arrivés à des transformations actives, manipuler un objet ou des parties de celui-ci. Mais y a-t-il une différence? Et cela, et non.

Du point de vue de l'application de la théorie des groupes, du point de vue d'une idée mathématique abstraite, il n'y a pas de différence. Ces deux transformations sont des représentations, implémentations des mêmes groupes abstraits, considéré comme purement mathématique, concepts idéaux. Tout, ce qui peut être décrit à l'aide d'un point de vue passif peut être pleinement découvert et dans la transition vers des transformations actives. Et vice versa, bien sûr.

Physiquement, il y a une différence et c'est fondamental. Dans le cas des transformations passives, des changements interviennent dans la manière de décrire, grosso modo dans les propriétés d'un observateur, pas dans l'objet décrit. Mais avec des transformations actives, des changements, si ils sont, ce sont des changements dans l'objet décrit (parties du monde).

Pour cette raison, lors de l'application du concept de symétrie en physique, deux idées sur les symétries possibles surgissent.

L'un d'eux, basé sur des transformations actives, a la même genèse, comme notre idée de tous les jours et, il est donc assez facile de percevoir. Nous avons quelque chose. Tournant, réfléchir, bouge toi — allumettes (reste invariant sous les transformations) — signifie symétrique. Plus le groupe a d'invariants, plus il y a de symétries. J'appelle tel symétrie symétries premier genre.

 Mais lors de l'application de transformations passives, changement de point de vue, une compréhension complètement différente des symétries vient au premier plan. Il semblerait, ici aussi, plus le groupe d'invariants a, plus l'objet est symétrique. En ce sens, tout est correct. Mais prêtons attention à cela.:  Lorsque le groupe de transformation (c'est à dire. points de vue pris en compte) devenir de plus en plus large (le nombre de ses invariants diminue et diminue) puis des descriptions d'objets, avec des points de vue limités (groupes de transformations admissibles) qui semblait complètement différent, incompatible, deviennent évidemment des descriptions différentes du même objet. Réflechir! L'objet est le même (symétrie!), toute la raison de ça, que nous considérions un certain ensemble d'objets comme étant différent, réside en cela, que cet objet nous est visible (nous décrivons) de différents points de vue. Et l'unification de ces différents points de vue en un seul groupe est difficile pour une raison ou une autre., subjectif ou objectif. Ce genre de symétrie que j'appelle symétrie du second type. Pour la physique, leur recherche et la présence de symétries du second type sont bien plus importantes., que le premier type habituel. La présence de symétries du premier type rompt les symétries du second type. Les symétries du second type ne se trouvent qu'alors, quand les symétries du premier s'éteignent.

Exemples de.

Si l'on considère uniquement les rotations orthogonales sur le plan (garder la longueur, calculé par le théorème de Pythagore), alors seuls les cercles de même rayon avec un seul centre à l'origine vont l'un dans l'autre. C'est à dire. juste un seul cercle. Ajouter des décalages par une coordonnée — tous les cercles avec des centres sur cet axe de coordonnées deviennent des images d'un seul. Ajouter des décalages dans deux coordonnées — sur un plan, tous les cercles de même rayon sont des images d'un. Ajouter une mise à l'échelle générale, changement simultané dans la même proportion d'échelles dans les deux coordonnées (c'est à dire. changement de longueur) — en général, tous les cercles se révèlent être des images d'un seul. Et si nous résolvons différentes échelles en deux coordonnées, alors nous pouvons réaliser, quelle est la différence entre toutes sortes d'ellipses (y compris les cercles) se produit ou peut être compensé par un simple changement de point de vue, procédures de mesure.

Voici un exemple à la fine pointe de la science. Il y a assez longtemps, en physique, la compréhension de, que les particules élémentaires sont des représentations du groupe de Poincaré. Posons une question, quelle est la largeur de ce groupe, inclut-il toutes les transformations admissibles des procédures de mesure sans exception?, changements de point de vue acceptables? Dégager, quoi non. À tout le moins, nous pensons à une transition vers la transformation de groupes beaucoup plus larges, inclus l'un dans l'autre, jusqu'au groupe le plus général de transformations localement non singulières, ne conserver que le nombre de dimensions de l'espace-temps. Cependant, un tel élargissement du groupe doit être analysé du point de vue non seulement de l'admissibilité d'une conception concevable, mais aussi du point de vue de nos possibilités réelles il (expansion) réaliser. Sur ce chemin, vous pouvez obtenir (comprendre) raisons de combiner des particules élémentaires en familles, ainsi que les raisons de la différence dans les caractéristiques des particules individuelles, unis dans ces familles. Puis, ce qu'on appelle maintenant en physique les symétries internes brisées.

Et maintenant sur la raison de trouver des groupes matriciels au centre de la théorie des groupes. Elle est transparente — les transformations passives génèrent localement des matrices de transition d'une coordonnée à une autre (d'une procédure de mesure à une autre, d'une description du monde à une autre). Dans le cas d'une échelle unique dans la procédure de mesure, la matrice est réduite à un seul nombre, le rapport de l'échelle des différentes procédures. S'il y a deux échelles, ces nombres deviennent quatre et ils sont combinés dans un tableau, matrice carrée 2x2. Carré parce que, que le nombre d'échelles dans chaque procédure de mesure devrait être nécessaire et suffisant pour une description complète de l'objet mesuré, ce qui signifie la même chose. Plus d'échelles sont nécessaires pour décrire l'objet — plus de nombres dans la colonne et la ligne de la matrice. 3x3, 4x4, etc.. Respectivement, numériquement, les groupes de transformation sont des groupes matriciels. C'est l'implémentation la plus importante de tout groupe., vous permettant d'étudier directement ses propriétés.

En mathématiques et physique, En plus des concepts de symétrie discutés ci-dessus, il y a un autre, apparemment formel, mais en fait, aussi une notion très importante de symétrie (et antisymétrie) objets mathématiques et physiques représentés par eux. Cela revient au concept d'immuabilité (ou la présence de changements d'un type donné) tout objet composite lors de la réorganisation de ses parties. Un exemple simple — l'objet est un ensemble de deux (ou plus) exactement les mêmes articles. Comment ne pas échanger ces éléments, l'objet lui-même (ensemble complet, dans son ensemble) ne change pas.

Objets géométriques, sauf pour le plus simple, scalaire, sont ce genre d'ensembles, ensembles de résultats de mesure. Pour, pour les distinguer les uns des autres, chaque composant est attribué indices. En même temps, l'objet lui-même est marqué d'une lettre, étiqueter. Et à cette lettre à droite, en haut et (ou) en bas ajouter un index, qui peut avoir une valeur de numéro d'échelle, auquel la mesure de cette propriété particulière est associée, ce composant objet. Il existe deux types de mesures. Direct, dire dans quelle relation une propriété donnée est (composant) objet à l'échelle spécifiée, Grosso modo, combien de fois l'échelle tient-elle dans cet objet. Dans ce cas, l'index, numéro d'échelle, mis sur le dessus et le composant acquiert la dimension de l'échelle donnée. par exemple, mètre, centimètre, deuxième. Cet indice est appelé contravariant.. Il y a aussi conjugué, mesures spécifiques, parler de, combien d'un composant donné, de cette propriété de l'objet tombe sur l'échelle unitaire correspondante. Dimension, convenablement, 1 divisé par mètre, par centimètre ou seconde. Tout à fait compréhensible, que les mesures directes et conjuguées sont conjuguées par multiplication. par exemple, si nous parlons d'une seule échelle, alors les objets les plus simples auront chacun un composant et le produit des composants conjugués du même objet, mesuré différemment, donnera un (adimensionnelle! un sujet, peu importe ce que) à n'importe quel choix d'échelle. Distinguer les mesures directes et conjuguées, l'indice de ce dernier est toujours écrit ci-dessous et est appelé covariant.

Si un objet géométrique a deux ou plusieurs indices du même type (contravariant ou covariant, mais pas mélangé), alors il devient possible de construire deux nouveaux objets géométriques à partir des composants de cet objet. Ces deux objets sont appelés les parties symétriques et antisymétriques de l'objet d'origine.. par exemple, prendre un objet B^je_jk. Deux objets peuvent être formés à partir de ses composants,  S^je _jk = 1/2 ( B^je_jk + B^je_kj) et UNE^je_jk = 1/2 ( B^je_jk – B^je_kj),  donc l'objet original est leur somme:   B^je_jk = S^je_jk + UNE^je_jk. Toutes ces formules doivent être comprises comme suit, et si au lieu des index j et k mettre leurs valeurs spécifiques, alors pour toutes ces valeurs, les égalités écrites tiendront. par exemple, S^je₁₂ = 1/2 ( B^je₁₂ + B^je₂₁)  pour toute valeur je. ObjetsS^je_jk etUNE^je_jk avoir des noms spéciaux — partie symétrique   et partie antisymétrique objet B^je_jk. Ces noms sont équivalents aux relationsS^je_jk=S^je _kj      etUNE^je_jk= –UNE^je_kj    , qui sont évidemment remplies pour eux en raison de leur structure. Les opérations de sélection des parties symétriques et antisymétriques sont généralement appelées symétrisation et antisymétrisation. Puisque ces opérations sont invariantes par rapport aux transformations de coordonnées (choix de la procédure de mesure), c'est à dire. les relations sont préservées dans tous les systèmes de coordonnées, s'ils sont corrects dans l'un ou l'autre, alors l'égalité à zéro de l'une des parties est un fait absolu, indépendamment du choix du système de coordonnées. C'est à dire. si un objet est symétrique (la partie antisymétrique est nulle), alors c'est vrai pour n'importe laquelle de ses descriptions. Il en va de même pour l'antisymétrie. À vrai dire, ces deux parties ne dépendent pas l'une de l'autre. Symétrisation (sélection d'une pièce symétrique) les objets géométriques ne peuvent être dessinés qu'en utilisant un nombre pair d'indices du même type. Mais l'antisymétrie peut être effectuée en utilisant un nombre arbitraire de tels indices (si seulement,bien sûr), ajouter à la formule définissant cette opération les termes avec des indices cycliquement permutés et un signe plus pour un nombre total pair de permutations et un signe moins pour un nombre impair. outre, au lieu d'un multiplicateur 1/2 le nombre de permutations uniques possibles doit être utilisé comme facteur de pondération, c'est à dire. vous devez diviser la somme obtenue par la factorielle du nombre d'indices du même type participant à l'opération. Par exemple, il y a trois contravariants (ou covariant) indice. Ensuite, la somme comprendra des termes avec des indices de la forme: +ijk -ikj +kij -kji +jki -jik, Le total 6. Et le facteur de pondération sera 1/3!= 1/6. Ce n'est pas une différence accidentelle entre ces deux opérations.. Quelque peu, l'antisymétrie est une opération plus fondamentale, il traite même d'une branche spéciale des mathématiques, théorie des formes. Il y a des faits très importants dans la géométrie proprement dite, concernant des objets totalement antisymétriques. En particulier, antisymétrisation par le nombre d'indices, dépassant la dimension de l'espace donne automatiquement zéro. Et avec égalité — ou le volume (pour les indices contravariants), ou sa quantité conjuguée, densité apparente.   La symétrisation est également une opération très importante., mais c'est en quelque sorte plus privé, a un peu plus spécifique, pas de sens universel. par exemple, quand espaces métriques. Bien que ces remarques soient assez relatives. Après tout, l'une des directions de classification des structures les plus importantes pour la géométrie, connexion affine et tenseur de courbure repose précisément sur la séparation de leurs parties symétrisées et antisymétrisées.

Ces opérations apparemment purement formelles avec des indices nous permettent en fait de décrire certaines propriétés très fondamentales des objets du monde réel.. En utilisant ces concepts, il devient possible de classer, lister ces propriétés.

© Gavryusev V.G.
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