Que sont les tenseurs? Pourquoi les tenseurs sont le principal outil mathématique en physique?

Mot “tenseur” reste encore beaucoup pour de nombreux physiciens, et encore plus pour les non-physiciens, quelque chose de peu compris, abstraction mathématique. Et cela malgré le fait, que les tenseurs eux-mêmes sont utilisés en physique depuis plus d'un siècle. Qu'est-ce qu'un tenseur? La réponse à cette question est extrêmement simple. – cette collection d'ensembles de nombres, qui s'alignent sur certains objet physique, isolé du reste du monde réel, chaque procédure de mesure (c'est-à-dire en comparant cet objet entier à la fois, ou certaines de ses propriétés individuelles, avec des gammes sélectionnées) individuellement et par toutes ces procédures de mesure autorisées à la fois. Les tenseurs diffèrent par le nombre de nombres dans ces ensembles et les règles, qui relient leurs valeurs dans différents systèmes de coordonnées.

Ces règles sont simples, classification des tenseurs aussi, mais cette simplicité nécessite des précisions sur des exemples illustratifs.

Commençons espace de prix unidimensionnel, utilisé comme exemple lors de la discussion du concept relativité. Choisissons comme valables deux monnaies (deux systèmes de coordonnées) rouble et dollar, et l'objet physique sera un pain.

La première, tenseur le plus simple, qui apparaît dans un tel espace – cette scalaire 1, attribuée à une telle propriété des objets physiques, comme quantité: 1 la mariée. Du choix de l'unité de prix (si le rouble, si le dollar) cette propriété ne dépend pas, est invariant et nombre sans dimension. Le scalaire est aussi appelé tenseurOMG zéro rang. Un scalaire peut prendre une valeur numérique arbitraire – 2, 3, 1.5 (mariées). Noter, que bien que les scalaires soient sans dimension, mais une trace de dimension rudimentaire qu'ils ont – les petits pains sont différents des saucisses, par exemple, bien qu'en termes de prix ils soient tout à fait compatibles. Nous pouvons parler du prix total des petits pains et des saucisses ensemble. C'est à dire. la différence entre les scalaires est en quelque sorte extraite des mathématiques. Un scalaire est défini dans l'espace avant même l'introduction de toute procédure de mesure, il surgit dès que nous distinguons des parties individuelles de notre monde. Mais même après avoir défini les systèmes de coordonnées, il ne disparaît pas. C'est l'ensemble de nombres le plus simple. Composant dans un ensemble ” scalaire” toujours seul. Sa valeur est la même dans tous les systèmes de coordonnées. Ce fait, évidemment, ne dépend pas du nombre de dimensions de l'espace, car. le scalaire lui-même à partir de la procédure de mesure, cette dimension définissant, ne dépend pas.

Tenseur suivant, que l'on voit tout de suite, appelé vecteur, ou le tenseur de premier rang. Ce n'est rien d'autre que le prix d'un objet physique (roule dans ce cas). Puisque notre espace est unidimensionnel, propriété d'un objet dans cet espace ne décrit qu'un seul, alors il n'y aura aussi qu'un seul composant dans le vecteur. Mais! Si un scalaire a toujours une composante, pour un espace de n'importe quel nombre de dimensions, puis le nombre de composantes d'un vecteur est strictement égal au nombre de dimensions. C'est ce que veut dire l'énoncé “tenseur de premier rang“. Lors de la mesure, chaque échelle associe l'objet sélectionné à un dimensionnel composant – Numéro, indiquant combien de ces échelles sont nécessaires, reproduire un objet. Dimension des différents composants en général différent et coïncide avec le nom de l'unité de mesure correspondante. Dans notre cas particulier, ce sera, par exemple, 25 roubles. Le prix d'un rouleau en roubles, X^p=25 (roubles). Et en dollars (dans un autre système de coordonnées) Cette volonté 1 dollar, X^ré=1 (dollar). Noter, que les coefficients de transition entre les systèmes de coordonnées (devises) deux. Des roubles aux dollars, le rapport du dollar au rouble sur ce marché (est^ré/est^p=1/25 dollar/rouble) et vice versa (est^p/est^ré=25 roubles/dollar). Les coefficients de transformation des coordonnées sont également dimensionnels, et ont des cotes des deux systèmes de coordonnées. Les valeurs vectorielles sont converties d'un système de coordonnées à un autre à l'aide de la formule X^ré=est^ré/est^p•X^p. Formule entièrement naturelle. Pour obtenir les valeurs des composants vectoriels dans un nouveau système de coordonnées par rapport à l'unité “dollar” vous devez multiplier la valeur du vecteur dans l'ancien système de coordonnées par rapport à l'unité “roubles” d'attitude Nouveau unités k Agé de. Remarquer, les dimensions sont également transformées! Règle générale – les composantes d'un tel vecteur sont transformées lors des transitions entre systèmes de coordonnées à l'aide de la matrice de transformation des coordonnées elles-mêmes (unités sélectionnées), matrices de dérivées de nouvelles coordonnées en fonction des anciennes. Dans notre exemple, la matrice est réduite à un seul nombre, mais clair, qu'en cas d'unités multiples (des espaces à plusieurs dimensions) ce sera une table de nombres (dimensionnel!).

Il s'avère que, que dans notre espace unidimensionnel il y a aussi d'autres tenseurs du premier rang, des prix très similaires au vecteur. Ils ont également les mêmes composants., combien d'unités de mesure dans un espace donné. C'est pourquoi on les appelle aussi vecteurs.. Mais ils expriment une propriété complètement différente de l'objet.! Distinguer ces deux types de vecteurs, elles sont appelées vecteurs contravariants (comme vecteur de prix) et vecteurs covariants. Ces noms signifient “contre-transformant” et “transformer”. Facile à comprendre, quel est le lien avec les formules de transformation de leurs composants lors des transitions entre les systèmes de coordonnées. Nous allons maintenant introduire un vecteur covariant pour le roulis, et tu verras la différence. Combien de rouleaux peut-on acheter par unité de mesure (dans ce cas, des prix – pour un rouble ou un dollar)? La question est tout à fait raisonnable., on leur demande souvent. C'est exactement ce que propriété de l'objet, “être en telle ou telle quantité par unité de mesure” et exprime le vecteur covariant. Pour un chignon ce sera X_p=1/25 (1/roubles). C'est à dire. sur 1 рубль можно купить 1/25 часть булки. Remarque, l'indice monétaire est en bas et la dimension de la composante vectorielle covariante est l'inverse de la dimension de l'unité correspondante. Dans un autre système de coordonnées X_ré=est^p/est^ré•X_p. Les composantes du vecteur covariant sont multipliées par le rapport Agé de unités k Nouveau.Règle générale, qui distingue un vecteur covariant d'un vecteur contravariant – ses composants sont transformés à l'aide de la matrice de transformation des coordonnées inverses, matrices des dérivées des anciennes coordonnées par rapport aux nouvelles.

Pourquoi avons-nous besoin de tous ces vecteurs? Dans la vie, on additionne les prix, multiplier, je partage… Droit, je dois entrer (décris) opérations avec des tenseurs. Voici un exemple de multiplication, qui porte un autre nom spécial, convolution. X^p•X_p= 1. Que s'est-il passé à la suite de cette opération, le produit du prix d'un pain et du prix unitaire du même pain? Droit, scalaire, le nombre de rouleaux, à savoir, ce très chignon. Voici un autre rapport – Avec^p=X^p + et^p. Ça dit quoi? Des biens X a un certain prix en roubles, des biens et une autre. Le prix total du nouvel article Avec, composé de deux marchandises ensemble, noté comme Avec^p. Que pouvez-vous dire d'un tel Avec^p=X^p + et^ré somme? Ou à propos de tel Avec^p=X^p + et_p? Ou à propos de tel Avec_p=X^p + et^p? stupidité, je ne peux pas le dire comme ça – roubles avec des dollars, ou prix avec prix unitaire. Et vous ne pouvez pas ajouter deux prix pour obtenir un prix unitaire. Ajouter des prix donne toujours un prix. Voilà pour vous la règle principale des opérations avec les tenseurs, que vous connaissez peut-être comme l'exigence que les lois de la physique soient covariantes. Une addition, la soustraction et l'égalité ne peuvent relier que des tenseurs de même structure dans le même système de coordonnées. Et cette règle est tout à fait naturelle., il se contente de formuler rigoureusement les exigences de bon sens décrites ci-dessus.

Prix ​​de l'espace, que j'ai choisi pour mes exemples, trop simple, puisqu'il est unidimensionnel et de ce fait, y introduire des tenseurs plus complexes (deuxième, et ainsi de suite) pas assez facile (officiellement, mais ils n'ont pas beaucoup de sens.). Mais c'est très visuel., compréhensible, les opérations qu'il contient sont familières à presque tout le monde. Je tiens à souligner une autre chose importante, que j'ai essayé de vous expliquer, Naturel. Tenseur, peu importe à quel point c'était difficile au début, deuxième et troisième regard, il n'y a toujours rien d'autre, comme une expression numérique de certaines propriétés mesurées d'un certain, objet physique dédié. Et, à ce niveau (pour un tenseur de rang donné) autant de chiffres, combien de propriétés d'un objet sont considérées. Et il y a tellement de propriétés à considérer, combien d'unités indépendantes différentes avez-vous. Ou mieux encore, mettez-le dans l'autre sens. – pour bien décrire un objet, il faut prendre autant d'unités de mesure indépendantes, combien de propriétés indépendantes l'élément a-t-il. Dans notre cas particulier, nous nous intéressons à une seule propriété, le prix. Ici, nous avons une unité de mesure.

Prenons un exemple plus complexe, mais toujours proche de notre expérience directe. ET, bien sûr, lié à ce site. Un tel exemple peut nous fournir un espace à 3 dimensions. A l'école, le premier concept de tenseur (vérité sans mention, qu'est-ce qu'un tenseur exactement) nous obtenons par exemple vecteur vitesse. Vecteur de vitesse ponctuelle (dans le cursus scolaire de physique et tout solide) le corps a 3 Composants, par le nombre de dimensions de l'espace. Il est généralement représenté par une flèche., attaché au corps et le rayon vecteur dans les figures. Besoin d'expliquer, que la notion de rayon vecteur n'est pas un équivalent exact de la notion de vecteur, car. rayon vecteur associé à plusieurs points, mais toujours à deux. mais, la notion de vecteur en un point donné est obtenue par passage à la limite de la notion de rayon vecteur lorsque le second point tend vers le point choisi. ET, outre, dans l'espace euclidien, les deux concepts sont souvent interchangeables, по крайней мере при графическом изображении. Можете проверить, que la règle du parallélogramme de l'addition vectorielle donne exactement le même résultat qu'explicitement (par composant) leur somme écrite dans l'algèbre standard des tenseurs. Ajout de deux vecteurs vitesse (ce sont des vecteurs contravariants): v^je=tu^je + w^je , i=1,2,3. Для трёхмерного пространства уже намного легче дать примеры тензоров и следующих рангов. L'un de ces importants tenseurs de second rang pour l'espace euclidien familier est tenseur métrique  g_je, ayant une forme diagonale dans tous les systèmes de coordonnées orthogonales: g_je=1 à je=k et =0 à je≠k . Ce tenseur est utilisé pour calculer la valeur de tout vecteur contravariant, y compris, bien sûr, et vecteur vitesse:  v² =∑g_je v^je v^k , où la sommation est effectuée sur toutes les valeurs des deux indices, et la taille c (ainsi que v²) est un scalaire. Cette formule n'écrit rien de plus que le théorème de Pythagore par rapport au vecteur vitesse tridimensionnel.

Mon premier exemple ne m'a pas laissé montrer, que des ensembles de nombres, apparaissant à la suite de mesures, ne peut pas constituer un tenseur, et restent significatifs précisément et uniquement en tant qu'ensemble. Le nombre de composants, constituant un objet géométrique signifiant, identique dans différents systèmes de coordonnées. Mais la loi de leur transformation lors des transitions entre systèmes de coordonnées est plus compliquée, que tenseur. Un exemple est les coordonnées elles-mêmes.. Ils sont toujours au même nombre., mais les coordonnées d'un observateur peuvent être des fonctions non linéaires des coordonnées d'un autre. La seconde nous permet d'introduire et de discuter également d'autres objets géométriques., mais j'ai un article, dédié à juste le plus significatif pour la physique un tel objet — connexion affine. Par conséquent, la, qui veut approfondir sa compréhension de cette question, mieux lire cet article.

Certainement, les tenseurs sont aussi des objets géométriques, seulement certains de leurs cas les plus particuliers. Ici, je veux vous expliquer, quelle est exactement la sélection des tenseurs de tous ces ensembles de mesures significatifs, objets géométriques. Les tenseurs sont toujours associés à un objet spécifique. Objets géométriques avec loi de transformation, autre que tenseur associé à des objets variables, en une seule procédure de mesure (système de coordonnées) ils parlent du même objet, et dans un autre – à propos d'autres. Les tenseurs et les opérations avec eux fournissent un moyen, sans trop réfléchir et toujours raison, fonctionner avec les résultats de la mesure des propriétés des objets sélectionnés. Certainement, si nous comprenons correctement la signification de chaque tenseur que nous utilisons. Mais ce n'est pas une question de mathématiques., et interprétations, appliquer les mathématiques au monde réel.

Voici, semble être l'idée générale du tenseur et pourquoi leur utilisation est pratique, et, surtout, important et incontournable, j'ai précisé.

© Gavryusev V.G.
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