Quelle est la différence entre les deux? Pourquoi cela vaut-il la peine d’en parler ??

Il est difficile d'éviter d'en parler systèmes de coordonnées et systèmes de référence, si nous discutons de problèmes d'espace-temps. Et dans la vie de tous les jours, présenter une variété d'informations dans certaines coordonnées est pour nous la chose la plus courante., même si souvent on ne s'en rend pas compte. Il n’est pas nécessaire de chercher bien loin des exemples.. Année, mois, jour, temps, minutes, deuxième — qu'est-ce que tu penses que c'est? Coordonnées. Coordonnées temporelles. Un côté, ville, rue, numéro de maison? Coordonnées spatiales. Voulez-vous rencontrer quelqu'un? Il n'y a pas d'échappatoire à ça, pour décrire d'une manière ou d'une autre l'heure et le lieu de la réunion, et sous la forme, compréhensible pour vous et votre partenaire. Vérifiez également vos montres, si le temps est important pour toi. Souhaitez-vous envoyer une lettre – prendre soin du droit, courrier connu, adresses. Tu n'enverras pas de lettre “au village, grand-père”. Bien que ce soient aussi des coordonnées. Et même les bons.

Pourquoi je dis des choses aussi banales ?? Et pour souligner, quoi, un côté, les systèmes de coordonnées font depuis longtemps partie intégrante de nos vies, et d'autre part, ils nécessitent une manipulation assez prudente, pour ne pas avoir d'ennuis. La science, bien sûr, ne gère pas les coordonnées avec autant de négligence, comment nous nous permettons parfois dans la vie de tous les jours, mais même dans l'approche scientifique des systèmes de coordonnées, certaines choses restent silencieuses, ce qui peut parfois induire en erreur les personnes peu méticuleuses. Oui et méticuleux aussi. La simplicité suffit à tout sage. La raison n’en est pas l’intention malveillante des mathématiciens ou des physiciens., mais dans un simple fait, quoi “pas de très bonnes coordonnées” peut être extrêmement pratique dans de nombreux cas, convient pour décrire un phénomène particulier. Et leur “pas très bon” semble être connu depuis longtemps, alors que retenir d'elle? Mais nous devons nous rappeler. Oh comme c'est nécessaire. Souvent, si vous vous souvenez de quelque chose sur le système de coordonnées utilisé, beaucoup de choses peuvent devenir plus claires.

Recommençons avec des choses qui nous sont proches, qui semble compréhensible à tout le monde. Toujours la même feuille de papier. Traçons une ligne droite dessus. Quels sont les systèmes de coordonnées régulier, ordinaire – acceptable – sur cette ligne? Qu'est-ce qu'un système de coordonnées sur une ligne? Pour définir un système de coordonnées, vous avez besoin d'un point, pris comme point de départ, zéro. Et l'unité de mesure, à l'aide duquel nous attribuons des coordonnées à tous les autres points dans les deux directions à partir de l'origine. Telle que mesurée par cette unité, la distance jusqu'au point de départ (à laquelle la coordonnée zéro est attribuée). Disponible en ligne et direction, comme signe dièse, spécifier la coordonnée. Ce signe indique, où est le point par rapport à zéro – gauche ou droite. Tous systèmes de coordonnées, ne différant que par la taille de l'unité de mesure, choix de l'initiale (nul) point et choisir une direction positive (gauche ou droite) sont assez réguliers, acceptable systèmes de coordonnées. Ils permettons-nous de décrire tous les points notre direct tout aussi complet. Et quel système de coordonnées serait inacceptable dans ce sens ?? Il n'y en a pas? il y a. Si, contrairement au bon sens, nous décidons de choisir une unité de mesure de longueur nulle, alors on ne pourra pas décrire tous les points d'une droite. Nous ne pouvons décrire qu'un seul point, point de référence. Oui, cet exemple est très loin du bon sens, mais c'est pourquoi je l'ai amené, attirer l'attention là-dessus, quoi “recevabilité” (régularité) ou “inadmissibilité” (pas régulier, ou autrement, singularité) le système de coordonnées est associé précisément à l'absence de dégénérescence d'un espace donné en un espace de dimensions inférieures uniquement en raison du choix de certaines propriétés de la procédure de mesure, produire un système de coordonnées. Dans l'exemple donné, il s'agit de la dégénérescence d'une droite en point due à un mauvais choix d'unité de mesure. Maintenant je vais te montrer, que mon exemple n'est pas si naïf, comme cela peut paraître à première vue. Ayons un bon système de coordonnées sur notre ligne (c'est à dire. point de référence sélectionné, unité et direction positive). Considérons toutes sortes d'autres systèmes de coordonnées sur cette ligne, qui diffèrent de celui donné uniquement par l'unité de mesure. Si la nouvelle unité est la même pour tous les points de la ligne, et est différent de zéro, alors le nouveau système de coordonnées sera également bon, acceptable. Et si sa valeur peut changer d'un point à l'autre? Au fait, ce n'est pas une opportunité si étrange. par exemple, nous voulons avoir une échelle logarithmique sur la ligne. Arrive? Arrive. C'est là que le danger nous attend. Nous devons garder une trace, pour qu'à aucun moment la nouvelle unité de mesure par rapport à l'ancienne ne se transforme en zéro, ni à l'infini. Et si cela pouvait arriver à un moment donné ?? Vous pouvez utiliser ce système de coordonnées? Cela semble être une bonne chose dans d'autres domaines? L'échelle logarithmique n'est que cela.! Et nous l'utilisons souvent. La réponse est claire. Vous pouvez l'utiliser, mais qualifie-le de tout à fait bon, acceptable, les systèmes de coordonnées réguliers ne peuvent pas. C'est système de coordonnées singulier. C'est important, quoi aucun point sur une ligne n'est spécial en soi. La caractéristique d'un point particulier sur une ligne est artificielle, en raison du choix spécifique de l'unité de mesure qu'il contient. C'est donc le système de coordonnées qui est appelé singulier. Et tu dois te souvenir de ça. Ainsi, déjà dans le cas unidimensionnel, nous rencontrons des cas d'utilisation non seulement de, mais aussi des coordonnées singulières.

Regardons maintenant le cas bidimensionnel. Un point est choisi comme origine. On lui attribue des valeurs nulles pour les deux coordonnées. Deux lignes de coordonnées orthogonales sélectionnées, deux unités de mesure, deux directions positives. Ceci est notre système de coordonnées habituel. Assez évident, et si nous avions besoin d'échelles inégales dans certains cas, un à la fois, ou le long des deux lignes de coordonnées, alors parmi les nombreux systèmes de coordonnées ainsi obtenus, il y en aura aussi qui seront singuliers en certains points du plan. dont la singularité, comme dans le cas unidimensionnel, est causé par la dégénérescence de l’unité de mesure à zéro en ces points. mais, dans le cas bidimensionnel, il existe une autre possibilité de dégénérescence de l'espace bidimensionnel en un espace de dimensions moindres en raison de “mauvais” choisir une procédure de mesure, générer le système de coordonnées. Très souvent, nous utilisons des systèmes de coordonnées non orthogonaux, et comme ça, dont les lignes de coordonnées convergent en un point sous un angle arbitraire. De tels systèmes de coordonnées sont parfois appelés curvilignes ou curvilignes. Un peu plus tard je me concentrerai sur les autres, coordonnées non cartésiennes très couramment utilisées. Maintenant, je veux attirer votre attention sur un fait évident. Là, où l'angle de convergence des lignes de coordonnées disparaît, la dégénérescence a lieu à nouveau. L'espace bidimensionnel est représenté comme unidimensionnel, juste une coordonnée. Parce que l'angle zéro entre les lignes de coordonnées signifie, qu'il n'y a qu'une seule ligne à cet endroit. Autrement dit, à un tel point, le système de coordonnées sera singulier du fait, qu'au lieu des deux unités de mesure différentes nécessaires à sa régularité, deux exemplaires sont utilisés (peut varier en taille) la même unité de mesure.

Singulier à certains moments peut devenir tout à fait ordinaire, “orthogonal” partout coordonnées, non seulement à cause de “faux” sélectionner l'ampleur ou la direction des échelles, mais juste en raison de certaines propriétés de l'espace lui-même (assez régulier!), ne permettant pas de décrire Tous cet espace le seul système de coordonnées régulier. Un exemple d'un tel espace dans un cas unidimensionnel est une ligne fermée, et en deux dimensions – surface sphérique. Exactement espace fermé et est-ce une propriété, ce qui empêche la possibilité d'introduire un seul système de coordonnées régulières, couvrant tout l'espace. Si vous essayez toujours de vous contenter d'un seul système de coordonnées, toutes les coordonnées ou une partie d'entre elles acquièrent une zone de base de changement limitée, période. Des points singuliers peuvent également apparaître, dans lequel les coordonnées dégénèrent à nouveau, comment, par exemple, dans les pôles de la sphère. La grille de parallèles et de méridiens fonctionne très bien partout, sauf deux points, où les parallèles convergent vers un point, simuler la disparition d'une des deux unités de mesure, nécessaire à la description correcte d'une surface bidimensionnelle. Ainsi, système de coordonnées, basé sur la description de la sphère à l'aide de parallèles et de méridiens (exactement elle, que nous utilisons pour nous orienter sur la surface du globe) est de nature singulière. Cette propriété ne l'empêche pas d'être utilisée avec beaucoup de succès dans la vie de tous les jours.. Et en conséquence, que la terre tourne aussi, nous avons maintenant la possibilité très attractive d'attribuer à ces points singuliers fictifs, les pôles ont une signification mystique. Et même organiser des expéditions, pour les atteindre. car, du point de vue de la rotation de la Terre, il y a en réalité deux points particuliers, par lequel il passe imaginaire axe de rotation. Et en plus, ces points sont difficiles à atteindre. Cependant, alors, que les pôles du système de coordonnées, basés sur des parallèles et des méridiens sont également placés précisément à ces points de la surface de la Terre, pour le système de coordonnées lui-même, le fait n'est pas significatif. Les pôles d'un tel système de coordonnées sur la sphère pourraient très bien être placés en deux points quelconques., situés aux extrémités de même diamètre.

Regardons maintenant une autre classe de systèmes de coordonnées singulières, également largement utilisé. je veux parler de coordonnées polaires sur le plan et coordonnées polaires sphériques dans l'espace tridimensionnel. Ces coordonnées sont très largement utilisées en physique.. Et ils sont assez familiers à la personne moyenne. Chacun de nous se considère bien souvent comme le point central du système de coordonnées, dans lequel tout ce qu'il voit se trouve à une certaine distance (rayon) de lui, et, Peut être, dans des directions différentes, qui sont marqués en tournant selon un certain angle à partir d'une direction choisie. Un tel système de coordonnées est singulier car, Celui-la (ou deux) coordonnées, angles, sont périodiques, parce qu'à un moment donné (période) la direction coïncide à nouveau avec celle initialement sélectionnée, à partir duquel l'angle de rotation est calculé. Mais il a aussi un point particulier plus important, origine uniquement. À ce point, c'est à dire. lorsque la valeur du rayon est nulle, toutes les directions dégénèrent, ils ne peuvent pas être déterminés sans ambiguïté. N'importe quelle direction peut être assignée à ce point. Pour la raison la plus simple – pour sélectionner sans ambiguïté une direction, vous devez avoir au moins deux points, pas un. Puis, que cette fonctionnalité est purement coordonnée, Ne doit son existence qu'à la méthode de construction du système de coordonnées, assez évident. Les systèmes de coordonnées polaires sont très utiles et efficaces dans ces cas, quand seule la distance entre les objets joue le rôle principal. À vrai dire, c'est une façon de décrire, qui est mis en valeur naturellement adapte une description unidimensionnelle au monde extérieur d'un plus grand nombre de dimensions. Dans ce cas, l’attention se porte sur la seule coordonnée essentielle – distance, rayon.

Comprendre ces propriétés des systèmes de coordonnées singulières nous permet non seulement d'éviter une mauvaise interprétation de certains “spécial” phénomènes dans la description du monde qui en résulte. Cela nous permet également de mieux comprendre les lois de la nature. Prenons par exemple la loi de la gravité Newton. Ça dit quoi? Qu'il existe une force d'attraction entre les corps massifs, qui dépend uniquement des masses des corps et de la distance. Pourquoi dans l’espace tridimensionnel cela dépend-il d’une seule quantité ?? En coordonnées polaires – seulement à partir d'une des trois coordonnées? Oui pour la raison la plus simple. Dans l'approximation de Newton, les corps sont traités comme des points. Et si tu n'as que deux points, alors vous n'avez pas réellement d'espace tridimensionnel. Vous n'avez qu'un espace unidimensionnel, dans lequel deux points sont mis en évidence. Et si l'on considère le mouvement général de deux points, alors tu prends automatiquement un avion, emporté par la ligne droite qui les relie (et une des lois Kepler en outre). Et c'est tout. Dans un système de deux points, il n'y a qu'une seule coordonnée significative, la distance entre ces points. La force n'a tout simplement plus rien sur quoi dépendre. Respectivement, dans l'approximation de Newton, ce sont les coordonnées polaires qui seront particulièrement pratiques pour décrire, disons des systèmes, composé d'une étoile et d'une planète. Malgré leur singularité évidente pour l'espace tridimensionnel. Naturellement, en rejetant une approximation aussi simple, en tenant compte de l'influence du reste du monde, la force gravitationnelle en un point donné sera déterminée par une structure beaucoup plus complexe, courbure espace (espace-temps) à ce point. Et les coordonnées polaires, très probable, cessera d'être plus pratique, comment, dire, cartésien. Ne serait-ce que parce que, qui ont une singularité intrinsèque.

© Gavryusev V.G.
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