Qu'est-ce que la courbure? Comment est-il lié à la connexion affine?? Quelle est la signification physique du champ de courbure lorsqu'on décrit le monde comme espace-temps?

Courbure semble être un concept purement géométrique.. La théorie générale de la relativité a fait connaître assez largement l'idée de la courbure de l'espace-temps et l'a associée à la physique., ou plutôt, avec gravité. Mais ce lien reste assez obscur., plutôt abstrait. La raison en est, à mon avis,, qu'une interprétation déformée de la signification physique des concepts mathématiques utilisés a été établie en GR, en tant que mesures, ainsi que la courbure. Les origines d'une telle distorsion résident dans l'interprétation incohérente des coordonnées par les interprètes des résultats de la relativité générale. Et elle se lève, naturellement, à l'autorité du créateur de la théorie, A.Einstein. Ici je vais, sans trop rentrer dans les détails mathématiques, discuter de la signification de la courbure, comment géométrique, ainsi que physique. Alors il y aura plus de mots, que des formules, bien que les formules ne puissent pas être complètement évitées.

En géométrie, le concept de courbure de l'espace apparaît, naturellement, à la tentative translation parallèle vectorielle en boucle fermée. Il s'avère que, que même si ce contour se rétrécit jusqu'à un point, pas nécessairement, de sorte que le résultat du transfert coïncide avec le vecteur d'origine. Il peut y avoir une certaine différence entre les vecteurs, original et transféré, qui est proportionnel au vecteur lui-même et à un certain tenseur, existant en un point donné, tenseur de courbure R^je_jkl. Puis, que les coefficients de proportionnalité constituent le tenseur, moyens, que chaque point de l'espace a une propriété mesurable, dont les résultats de mesure sont les composantes du tenseur, et ne dépendent pas du vecteur, ce qui est transféré. Par le nombre d'indices du tenseur de courbure, on peut juger, quelle est la propriété du point, enregistré par lui, loin d'être simple. mais, quelque chose qui nous est assez familier de la pratique quotidienne est lié à lui.

Commençons par expliquer le nom lui-même.. Il semblerait, qu'est-ce qu'il y a à expliquer? Quelle est la différence entre une ligne droite et une courbe est assez claire sans aucune connaissance en mathématiques. C'est exact. C'est juste une chose tellement drôle – sur la ligne, considéré comme un espace unidimensionnel, il n'y a pas de courbure et en vue. D'un point de vue intérieur, comme des espaces unidimensionnels, toutes les lignes sont identiques. Leur propriété d'être tordue (ou tout droit) apparaît alors seulement, lorsqu'ils font partie d'au moins deux dimensions (ou plusieurs dimensions) espace. Parce que ce sont ces (et seulement ceux!) les lignes nous sont communes, dans la mesure où nous percevons “courbure” lignes intuitivement. En mathématiques, comme la langue la plus précise, la notion de courbure n'apparaît que dans les espaces, partir de deux dimensions. Et il s'avère que cela n'est en aucun cas lié à notre idée intuitive de la différence entre les lignes droites et courbes.. Par example, sur le plan, le tenseur de courbure en chaque point est nul, bien que vous puissiez dessiner autant de lignes courbes sur un plan que vous le souhaitez. Afin de ne pas aller trop loin ici dans le sens de la description des différences entre les courbes, je dirai seulement, que la notion de géodésiques est utilisée pour cela, pour qui seulement connexion affine. La courbure est l'élément suivant, nécessaire pour compléter la description de la géométrie des espaces à plus d'une dimension. Cet élément, bien sûr, est déjà dans la relation, est sa propriété. Mais cette propriété, qu'il faut considérer explicitement. Puis, ce qu'on appelle la courbure en mathématiques, bien sûr, nous savons aussi dans la vie de tous les jours, mais connue sous le nom de courbure de surface. La différence entre toutes les surfaces possibles et un plan est décrite précisément dans le langage du tenseur de courbure. Peut-être, le moyen le plus simple de créer une représentation géométrique figurative de la courbure – est d'attacher un plan à un point d'une surface arbitraire et de voir leur différence.

En fait, les mathématiques font une chose très similaire, lors de la construction du tenseur de courbure. Peu importe le nombre de dimensions d'un espace donné, des surfaces bidimensionnelles sont choisies en chacun de ses points (naturellement, tout est possible) et une combinaison est calculée en eux, assez facile, à partir des coefficients de connexion et de leurs dérivées premières dans deux directions, puis ces deux valeurs sont soustraites. Et ainsi pour chaque paire de coordonnées. Par conséquent, le tenseur de courbure est antisymétrique dans l'une des paires d'indices, à savoir, par indices k et je. Puisque le tenseur de courbure a aussi un exposant, alors deux autres tenseurs avec un plus petit nombre d'indices peuvent être créés à partir de ses composants en utilisant la convolution. Ce sera un tenseur Ricci R_jk = R^je_jki = R¹_jk1 + R²_jk2 + R³_jk3 + R⁴_jk4 et un autre tenseur (célèbre pas vraiment en géométrie, et en physique, comme un tenseur Maxwell) F_cl = R^je_ikl . Qu'est-ce qu'une convolution peut être vu à partir de l'expression du tenseur de Ricci. je veux dire, que notre espace est à quatre dimensions, donc la somme a quatre composantes. Exactement la même sommation sur les mêmes indices supérieur et inférieur (mais cette fois le premier index est changé en bas) implicite pour obtenir le tenseur F_cl. Noter, qui, comme le tenseur de courbure total en termes d'indices k et je, le tenseur de Maxwell est antisymétrique dans ses indices. Rien ne peut être dit a priori sur la symétrie du tenseur de Ricci..

Maintenant parlons un peu de, pourquoi avez-vous encore besoin de construire toutes sortes de tenseurs de courbure et d'autres comme eux, si toutes les relations géométriques dans l'espace peuvent être extraites de la connexion affine. Après tout, le tenseur de courbure n'est rien d'autre que, comme une combinaison de coefficients de connexion et de leurs premières dérivées. La réponse à cette question est simple. Tout le monde est comme ça, tenseur, les structures secondaires à la connexité décrivent juste le très géométrique (et dans le cas de l'espace-temps et de la physique) ratios, qui nous intéressent. de plus, il est permis au théoricien de définir la connectivité comme un ensemble de fonctions connues. Si l'on applique les mathématiques des espaces affinement liés à la description de l'espace-temps (à savoir, ce domaine d'application de la théorie est le plus important pour nous.), alors nous n'avons pas de connexion connue et ne pouvons pas être. Le seul moyen de le restaurer – ce sont des expériences, mesurer les propriétés d'objets du monde réel. Plus nous pouvons mesurer de propriétés différentes, plus proche de la réalité sera notre description du monde. Les résultats des mesures de ces propriétés sont simplement regroupés en tenseurs.

Quelles propriétés du monde physique trouvent leur expression dans le tenseur de courbure? Dans l'ensemble, le tenseur de courbure peut être appelé un indicateur de la présence d'une force en un point donné. C'est le tenseur de champ unifié. Le pouvoir des mots, le champ des forces nous est assez familier et intuitif. tension – mot moins clair. Alors je vais l'expliquer un peu.. tension – est la force spécifique. Substance qui nous est familière, se compose généralement de nombreuses particules, qui forment ensemble une certaine masse. Et dans le cas des forces électromagnétiques et de la charge totale. Voici la puissance, par unité de masse ou de charge et s'appelle l'intensité du champ de forces. Elle est importante pour, ce qui caractérise un point donné de l'espace toujours de la même manière, outre le fait que, quel corps, sur lequel la force agit, à ce stade est. Puis, que le tenseur de courbure, à savoir la valeur spécifique, découle de sa définition même.

Bien que la structure centrale de la théorie de la gravité, créé par Einstein et cru mètre métrique g_je, mais l'équation de base de cette théorie

    R_je= -сонт (J_je – 1/2 T g_je)

écrit spécifiquement pour la courbure, plus précisément pour une de ses circonvolutions, Tenseur de Ricci. Cela seul fait de la courbure le concept central de la théorie. La présence de corps gravitants dans une région donnée de l'espace-temps, ou de l'énergie en général sous une forme différente, par exemple sous la forme d'un champ électromagnétique, qui équivaut au tenseur énergie-impulsion non nul T_je, signifie la différence de zéro et cette convolution de courbure, Tenseur de Ricci. À vrai dire, si vous essayez de présenter la physique de l'espace-temps sans introduire de grandeurs extérieures à la géométrie (et dans cette équation, le tenseur énergie-impulsion n'est pas une grandeur purement géométrique), alors le tenseur énergie-impulsion lui-même peut être (et besoin) définir comme un tenseur, construit à partir des composants du tenseur de courbure :   J_je= – (R_je– 1/2 R g_je)/Par ailleurs. Alors l'équation de base de la théorie de la gravité devient une simple définition de l'une des quantités de la théorie. Et la matière gravitationnelle ne sera rien d'autre, comme une manifestation de la courbure de l'espace-temps dans une zone donnée.

© Gavryusev V.G.
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