Pourquoi cette question est-elle soulevée sur le site à propos de la théorie des champs unifiés ?? Quelle est la vision généralement acceptée actuellement du rôle, Je ne suis pas satisfait de la place et de l'organisation des mathématiques? ET, enfin, quelle place donner aux mathématiques, ses idées, conceptions et méthodes dans notre image du monde?

Première réponse à la première question. L'un des objectifs livres “JAVASCRIPT EST DÉSACTIVÉ”, explicitement indiqué dans l'introduction, il y a eu des éclaircissements sur ceux-ci les raisons, qui nous obligent à utiliser certaines constructions mathématiques pour décrire le monde réel.  Le résultat fut la formulation d'un système de croyance, которая может быть названа также и теорией единого поля. Естественно, dans le langage des mathématiques, certaines de ses sections. Dans l'ensemble, c'est la théorie des ensembles, algèbre (nombres complexes), géométrie, théorie des groupes et des fonctions (comme d'habitude, et généralisé).  Dans le livre, pour tous les concepts mathématiques utilisés, des justifications sont données pour la nécessité de leur utilisation.. Ces justifications sont souvent très brèves., car. implicite, que le lecteur connaît déjà le matériel, au moins, dans le cadre d'un cursus universitaire. Ici, je veux donner, au moins dans les termes les plus généraux, ces considérations à un niveau plus accessible., которые объясняют естественность всех этих математических конструкций для описания реального мира.

Второй вопрос. Dans le processus de création de ce système de croyances, j'ai dû reconsidérer très attentivement les définitions., propriétés et origine de tous ces concepts mathématiques. Dans un certain nombre de cas, il s'est avéré, qu'ils ont été présentés de cette façon, que leur utilisation en physique devient moins naturelle, Les accents habituellement placés par les mathématiciens obscurcissent leur signification physique. Такая ситуация вполне понятна. Ведь математика давным давно оформилась как самостоятельная самодостаточная наука. Son développement est très souvent venu de besoins formels internes ou simplement de l'amour de l'art.. Связь математических понятий с реальным миром сейчас чрезвычайно ослаблена даже в тех случаях, когда она вроде самоочевидна. Et pour les concepts qui ont poussé sur cet arbre loin de leurs racines, la situation est complètement déprimante. Néanmoins, j'ai réussi à rétablir ces connexions (ou installer, поскольку в ряде случаев о таких связях никаких упоминаний в литературе найти не удалось). В разделе сайта “Discussion par chapitres de la 1ère partie” La plupart des articles sont consacrés spécifiquement à présenter mon point de vue sur l'origine et les propriétés (ce qui signifie, à un sens physique) un certain nombre de concepts mathématiques. Dans cet article, je veux décrire, хотя бы вкратце, как вырастает дерево математических понятий из нашего опыта в реальном мире, конечно не всё целиком, а только корни этого дерева. Je voudrais également attirer l'attention sur ces moments, dont présentation dans des manuels ou des monographies, formellement correct, s'avère être un obstacle évident pour ceux, кто хочет применить такие понятия для описания реального мира. А если их не применять для этого, то для чего вообще они нужны?

С чего мне пришлось начать построение моей системы взглядов? Curieusement, il fallait commencer par la fin. De la formulation de la finalité de la physique en tant que science: “La tâche de la physique en tant que science est de créer le système le plus complet et le plus précis possible. (adéquat) images du monde réel“. Et si tu y penses, il n'y a rien d'étrange à cela. Pour atteindre l'objectif, il faut le réaliser, cette technique est applicable à n'importe quel domaine de l'activité humaine. Pouvez, bien sûr, et va juste quelque part. Tu viendras aussi quelque part. ET, Peut être, même quelque chose d'utile. Ou peut être pas. Cette méthode est beaucoup plus répandue dans l'activité humaine.. Y compris dans les activités scientifiques. Mais ce n'est pas ma méthode.

Il ne suffit pas de formuler un objectif. Des questions se posent sur le sens de tous les mots de la formulation. Image. Qu'est-ce que c'est? Complet et précis. Et qu'est-ce que c'est? 

Image. La photo est bonne? Ou un tableau? Ou un film? En général oui. Но только как часть целого, иллюстрация, et pas plus. Образ мира должен быть сформулирован словами. Что толку, что я или кто-то другой смог создать его у себя в голове. Пока он не стал доступен всем желающим, его, можно считать, просто нет. Ainsi, nous parlons о языке, общем для всех или части людей (ну или иных разумных).

А слова “полный и точный” представляют собой требования к этому языку, ou, лучше, к той части языка, которая может и должна употребляться для описания этого образа. car язык как таковый вовсе не обязан быть полным, точным и непротиворечивым. Но для той его части, qui revendique une correspondance biunivoque avec le monde réel dans son ensemble ou certaines de ses parties, cette exigence est tout à fait justifiée. Aucune cohérence, exhaustivité et exactitude — нет и желаемого образа мира, нет теории. Но здесь есть и определённая проблема. Ce que c'est, что может так оказаться, quoi мы не будем в состоянии удовлетворить этим требованиям во всей их полноте. И это так на самом деле. У полноты и точности доступного нам описания реального мира имеются ограничения. Значит нужно отказаться от декларированной цели? Pas du tout. Нужно просто быть честным — вот такую степень полноты и точности мы можем достигнуть, а больше — Non, по таким-то причинам.

Необходимой нам части языка, пытающейся соответствовать этим требованиям (пусть долгое время и не сформулированным) человечество выделило специальное название “наука“. И название наиболее продвинутой на этом пути части науки — математика.

Сегодняшняя математика практически забыла свои истоки и старается иметь дело только с идейной составляющей слов, которые обозначают её понятия. mais,  в физике такое употребление математических понятий может привести и, d'habitude, приводит к очень серьёзным проблемам. Вплоть до полной потери связи некоторых модных теорий с реальностью. Да и для самой математики такой подход отнюдь не безвреден. По ходу дела я попытаюсь проиллюстрировать некоторые такие моменты. С помощью любого языка можно сформулировать как верные так и неверные утверждения. И не всегда последнее очевидно (как и первое; если бы это было не так, alors il ne serait pas nécessaire de prouver des théorèmes). En particulier, si nous parlons uniquement de la composante idéologique de la langue. Si une déclaration générale incorrecte ne suscite pas de préoccupation particulière — ну неверное, ну и что? Puis неверное определение, принимаемое без доказательства, на основе которого далее строится какая-то конструкция, не должно появляться в языке, претендующем на полное и точное описание реального мера. Единственный критерий, который я могу предложить для того, чтобы избегать подобных определений, cette la nécessité de donner pour chaque définition un exemple de sa mise en œuvre dans le monde réel. Et une description stricte de ces situations, quand une telle mise en œuvre est possible, et quand ce n'est pas le cas. au moins pour cette propriété, ça pourrait bien se passer (и неоднократно оказывалось), что при первом введении некоторых определений в математике найти такие примеры было затруднительно или их просто даже и не пытались искать. А в последствии построенные на этих определениях конструкции доказывали свою полезность при применении к описанию некоторых явлений реального мира. И тут надо понимать, что как раз этот успех и является той самой реализацией, за необходимость которой я ратую. C'est pourquoi “свободное” в этом смысле творчество в математике вполне допустимо. Peut être, что идеи ни на что не годные сегодня когда нибудь и пригодятся, и найдут своё обоснование таким применением. Но в физике или любой иной науке, prétendant décrire des phénomènes réels, toutes les constructions mathématiques doivent avoir des exemples de mise en œuvre clairement décrits. Собственно эта возможность и делает математику отдельной наукой, самодостаточной, а не чисто утилитарной, вторичной по отношению к другим разделам науки. Внутреннее развитие для перспектив применения. Если направление развития угадано, почувствовано верно, то эту ветвь математики ожидает успех.

Деление мира на различающиеся части и обозначение этих частей словами лежит в основе любых языков и любых попыток описать этот мир. juste parce que, что это деление является свойством самого реального мира. В нём есть камни и песок, вода и деревья, разные животные и разные исследователи этого мира. Отсюда берёт начало математическое понятие “beaucoup de“. Хотя формализовано оно было только в 19ом веке. Что было сделано в процессе формализации? Было очищено от конкретики базовое понятие об “элементе“, составляющей части любого множества. Это понятие сводится к единственному свойству любого такого элемента: свойству “exister”, “быть”, “иметься в наличии”. Tout le reste — неважно. Хочу заметить, что это математическое понятие “existence” значительно отличается от физического понятия существования. Отличие вот в чём. Физическое понятие существования в большинстве случаев означает существование во времени, существование имеет некую длительность. Математическое “existence” никак не связано с длительностью, а связано только с фактом наличия или отсутствия чего-то. Длительность этого наличия уже следующее свойство, на данном этапе формализации во внимание не принимающееся.

Вот тут полезно сделать отступление, посвящённое способу формализации, создания определений, который на мой взгляд следует использовать при построении и изложении математики как науки. На эту тему было и остаётся много споров, имеются философско математические направления обоснования математики, которые часто объединяются под такими названиями как логицизм, интуиционизм, конструктивизм, формализм, аксиоматическое и теоретико-множественное направления. Может есть и другие, на полноту классификации я претендовать не хочу. Все знают из школы об аксиомах Евклида. Но эти аксиомы, в свою очередь завязаны на такие интуитивные понятия как точка, droit, плоскость, прямой угол и, Peut être, другие. Плохо уже то, что нужно начинать с заметного количества интуитивных понятий. А ещё хуже, Quand, par exemple, понятие точки определяется как нечто, не имеющее ни длины, ни ширины, ни высоты. Ещё до того, как сами эти понятия (longueurs, ширины и высоты) появляются в геометрии. À mon avis, гораздо лучше начать с единственного (и самого базового) интуитивного понятия — свойства чего бы то ни было “exister” ou “не существовать”. И конструировать новые понятия, добавляя к этому свойству по одному новому явно описанному свойству, явным образом определяя это свойство. Ну или хотя бы, добавляя достаточно малое число таких свойств, если не получается ограничиться одним. В конце концов, все математики так и поступают, давая определения и формулируя аксиомы. Только ведь и аксиомы без ограничения общности являются такими же определениями свойств, как и любые другие. И большого смысла выделять их в отдельную категорию нет. Именно этому пути я буду следовать при введении тех или иных математических понятий.

Donc, в основе всего понятие “élément“, его единственное свойство — existence. Я буду употреблять ещё одно слово как название этого понятия, как синоним. Это слово “indiquer“. Примеры реализации этого понятия в реальном мире искать не надо. Стол, pierre, животное, дерево и т.д. etc. Всё это вполне подходящие примеры.

Следующее понятие — “множество элементов” ou “множество точек“. Добавленное свойство можно назвать словом “количество” различимых элементов в множестве или “мощность множества“. Именно по этому единственному свойству сами множества отличаются друг от друга как множества. “Quantité” это второе свойство, отличающее это понятие от базового понятия элемент, indiquer. Любому множеству присуще и само базовое свойство существования или не существования. И больше пока никаких иных свойств. Примеров множеств, существующих в реальном мире любой может привести множество. Простите за каламбур. Так что это формализация некоторого свойства именно реального мира, идеи в нём уже имеющейся не зависимо от того, описываем мы мир или нет.

На этом этапе появляется возможность определить ещё один набор математических понятий, отличных и от понятия точки, и от понятия множество. Ces concepts sont unis par des mots “opération“, “action“. La base de leur introduction est également purement intuitive., mais, naturellement, basé sur une expérience directe, почёрпнутом из реального мира. Операции проводятся с множествами (и с их элементами тоже, но всякий единственный элемент является множеством, из него состоящим). Операции бывают разные и определяются по конечному результату, по тому, как изменяются множества после применения к ним операций. par exemple, операция объединения (сложения) множеств. Ou операция выделения одного множества внутри другого, выделения подмножества. И другая opération, изъятия его (вычитания). Примеры реализации: есть куча камней; вы добавляете в неё камни или удаляете; или выделяете в общей куче другие кучки. Я не собираюсь строить и описывать здесь все нужные математические понятия, ограничусь лишь частью из них. Той частью, которая полезна для иллюстрации имеющихся в математике связей между её кажущимися не связанными разделами, между ветвями и корнями этого огромного дерева. И ещё эта часть понятий жизненно важна для меня как часть языка физической теории. Их точные формулировки значительно облегчат понимание моей системы взглядов на единую теорию поля. Это важно, car. часто за одними и теми же словами кто-то может видеть разный смысл.

На этом же уровне можно уже определить и другие весьма важные для математики понятия. И для всех остальных наук тоже, поскольку математика при её последовательном развитии на базе свойств реального мира становится универсальным, наиболее соответствующим идеалу языком любой науки; ou, au moins, частью такого языка, его хребтом. Речь идёт о понятии “affichage” и весьма близком ему понятии “функция“. Оба эти понятия связывают элементы двух или более произвольных множеств, ставят в соответствие каждому или части элементов одного (или более) множества один или несколько элементов другого множества. В какой-то мере все операции над множествами можно считать отображениями или функциями, просто с различными свойствами, но традиционно в математике проводится различие между операциями и функциями. Примеры реализации: у вас есть несколько животных в хозяйстве; вы повязываете на шею каждому животному ленточку; некоторым, особо своенравным, ещё и колокольчик на эту ленточку. Животные — beaucoup de; ленточки — beaucoup de; колокольчики — beaucoup de. И они связаны друг с другом.

Понятие функции позволяет легко ввести способы различать элементы в одном и том же множестве, ассоциируя с каждым из них какую-либо метку. Évidemment, что и сами метки будут ничем иным как элементами какого-либо множества. Или элементами множества множеств. Здесь лежит прямая дорога к понятию натурального числа. Это понятие уже появилось, car. вторым после существования свойством мы ввели количество, с которым понятие числа тесно связано. Но это понятие пока ещё не формализовано как следует, не описаны все его свойства. А не описаны потому, что понятие числа — комплексное, включает в себя и понятие операций с ними, и понятие отображения, et понятие упорядоченности. Эти понятия все взаимосвязаны. Начинается их увязка с определения специального, особенного множества, в котором имеется только один элемент. Таких множеств допускается больше чем одно. Примеры реализации вы уже имеете. Операция объединения позволяет построить на их базе последовательность, упорядоченную по количеству. Отображение позволяет поставить множеству множеств, реализованному этой последовательностью, множество их мощностей (количеств) и это будет основа множества натуральных чисел. Пример реализации: кучки камней — в одной только один камень; берём вторую кучку из одного камня и добавляем к первой; реализовано второе множество в последовательности; etc. А на бумаге при реализации каждого множества рисуем новый значок, уникальный для него. Множество этих знаков является отображением множества множеств. Можно ввести знаки для операций сложения, вычитания и равенства. Равенство это операция устанавливающая взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, et, Ainsi, утверждающая совпадения их мощностей. Пусть это будут знаки +,- и =. А знаками начальных множеств в множестве натуральных чисел будут 1,2,3,4,5. Тогда можно с помощью этих знаков записать связи между этими множествами, сформулированные в определении. Записать формулы: 1+1=2, 2+1=3, 5-1=4 и т.д. Здесь мы тоже вводим новые понятия в математику, и их следовало бы также строго определить и дать примеры реализации. Mais tout cela est déjà devenu une vérité bien connue et ne peut causer aucune difficulté aux gens., qui peut compter. Je n'essaierai pas de tout mâcher au monde. Je ne m'attarderai que sur les moments, qui sont capables de créer une fausse impression d'eux-mêmes.

Одним из таких моментов является расширение множества натуральных чисел до множества целых положительных чисел. Делается это определением понятия “пустое множество“. Certainement, понятие это вводится независимо от понятия натурального числа. Но мне удобнее остановиться на нём именно сейчас. Мы уже определили одно специальное множество среди всех возможных — beaucoup de, содержащее один элемент. Оно является кирпичиком, из которых построены все остальные. Tous, кроме одного единственного, ещё одного специального — пустого множества.

Пустое множество это такое множество, в котором нет ни одного элемента. То есть определение это явно отрицает само существо определения понятия множество. Полезность этого понятия при формализации операций с множествами весьма велика. Что остаётся, когда мы из некоторого конечного множества удаляем элемент за элементом, et, enfin, удаляем последний? Ничего. Вот это “ничего” и носит специальное название “пустое множество”. Добавить его к другому множеству означает “ничего не добавить”. Если добавить пустое множество к пустому множеству что получится? Ничего, снова пустое множество. Важный момент: если взять “больше чем одно” пустое множество, то результатом будет не множество этих множеств, а всего лишь снова пустое множество. L'ensemble vide est unique par nature.  L'ensemble vide est un symbole de l'absence d'un ensemble de tout autre type. Et c'est seulement dans ce sens qu'il faut comprendre. А ведь в литературе вы можете найти описание процедуры построения натуральных чисел только на его основе: одно пустое множество эквивалентно 0 (таков его смысл) et 1 (потому как вроде одно-то множество уже есть), deux — двойке и т.д. И из ничего получают что-то. Remarquer, уже в самом начале пустому множеству приписывают два символа. C'est un chemin direct vers l'absurdité et n'est possible qu'en oubliant la signification particulière de ce concept.. Dans l'ensemble des nombres, le symbole est attribué à l'ensemble vide 0. Mais, seulement 0. А в качестве примера реализации в реальном мире можно рассматривать пустую коробку, запретив, cependant, явным образом рассматривать несколько пустых коробок. Коробка это контейнер для множества, et pas seulement un ensemble. Quelques cases vides ne sont que cela : quelques cases, et non plusieurs ensembles vides et ils forment un ensemble de boîtes, et pas des ensembles vides. Malgré toutes ses limites, l'idée intuitive du concept de vide fournit encore un tel exemple. S'il y avait un objet dans la boîte, séparé du reste par cette boite, а потом его оттуда вынули и ничего не осталось. Вычленение, обобщение идеи пустого множества получаем используя произвольные пустые контейнеры, а в конце формализации при должном воображении можно обойтись и вовсе без них.

Множество натуральных чисел, с одной из его операций — добавлением нового элемента — позволяет формализовать ещё одно важнейшее математическое понятие, идею потенциальной бесконечности. Идею отсутствия предела в осуществлении операции сложения. А потом и любой другой операции. Здесь оказываются иногда смешанными две разные идеи. Сама неограниченность возможности повторения операции et результат этой последовательности действий. По большому счёту их следует различать. Для второй идеи, как и для идеи пустого множества,  в математике принят особый символ — ∞. Да и название тоже есть — актуальная бесконечность. Поскольку математика в очень большой степени (хотя и не полностью освободилась от обычного языка) использует специальные символы для своих понятий, то очень часто этот же символ используется и для и указания идеи не завершаемой никогда последовательности операций. В большинстве случаев это не ведёт к проблемам, но всё же стоит быть внимательным, и не смешивать не критично обе эти идеи. Проблемы могут появиться, когда начинают уж очень свободно обращаться с множествами множеств, имеющих сами вот это бесконечно большое число элементов. Обсуждать проблемы такого рода я здесь не хочу. Но вторая идея весьма близко подводит нас к другому понятию, важнейшему для физики (для математики, bien sûr, Même) — к понятию актуальной бесконечности в реальном мире, реализованном в интуитивных понятиях непрерывности, целостности и неразрывности связей, d'abord, причинно-следственных.

Прежде чем перейти к обсуждению идеи непрерывности, полезно завершить обсуждение понятия числа. Как уже мы говорили, происходит оно из потребностей счёта, и его формализация начинается сначала с описания понятия натурального числа, которое с добавлением понятия нуля расширяется до понятия множества целых положительных чисел. Но всем известно, что дело на этом не заканчивается и практика реального мира потребовала введения отрицательных и рациональных чисел. introduction иррациональных чисел уже тесно связано как раз с понятием непрерывности.

Отрицательные числа можно реализовать примерами реального мира многими способами, en particulier, как символы долга. Je préfère les présenter comme une extension de la possibilité d'effectuer l'opération de soustraction, réciproque de l'addition, c'est à dire. ajout de nombreux nouveaux éléments. Après tout, les possibilités d'ajout, alors confisque (soustraire) les éléments de l'ensemble ont la même base intuitive dans le monde réel. Mais pour l'ajout, cette possibilité n'a aucune restriction, mais pour la soustraction, il semble y avoir une telle limite — si l'ensemble résultant est vide, ce que vous ordonnez d'en retirer? Inégalités nettes entre les opérations, ayant apparemment exactement les mêmes origines que les idées. Cette égalité est facile à retourner, si vous utilisez l'idée des conteneurs comme béquille, auxquels s'ajoutent des places libres, où quelque chose pourrait être placé. Bien sûr, de tels supports, comme dans le cas de l'idée de zéro, пустого множества, non requis. Mais cela aide à se faire une idée intuitive de l'idée. Comme d'autres exemples similaires d'implémentation d'un nombre négatif. Cet exemple de mise en œuvre spécifique est utile pour ceux, quoi акцентирует внимание на снятии предела с операции вычитания, она тоже приобретает возможность быть выполненной потенциально бесконечное число раз. Происходит это с помощью расширения понятия числа. Множество чисел, которые теперь называются просто целыми, включает в себя натуральные числа, нуль и отрицательные целые числа. Cet exemple nous permet également de constater le fait, que les idées de l'opération et que, avec quoi se fait cette opération ? (dans l'opérande) bien que différent, mais inextricablement lié. L’un ne peut être défini sans l’autre. Et la définition est, comme je l'ai noté plus tôt, répertorier les propriétés et présenter au moins un exemple de mise en œuvre réel.

Nombres rationnels apparaître avec la définition opérations de division et, indirectement, comparaisons un élément (sujet, ou son idée formalisée) avec un autre. L'opération de division en tant qu'idée a un grand nombre d'exemples dans le monde réel. Une classe d'exemples comprend la division d'un certain nombre d'objets (multitudes) à un certain nombre de sous-ensembles, sans affecter l'intégrité des éléments, il y a beaucoup de pièces. Dans l'ensemble des nombres naturels, cette classe correspond à la notion de division par un entier. Je veux noter, que lors de la définition de cette opération dans un ensemble de nombres, ses propriétés sont en cours de clarification, sont complétés par une opération de comparaison. par exemple, Il existe de nombreuses façons de diviser un ensemble de 4 éléments en deux sous-ensembles. Mais en divisant les nombres naturels comme définition, la seule méthode de ce type est choisie — nécessaire plus, de sorte que les sous-ensembles résultants sont équivalents en cardinalité (nombre d'éléments). В числах это звучит как обе половины равны друг другу. Также и при делении на любое количество подмножеств (les pièces) — les parties doivent être égales par définition. C'est ce qui rend le fonctionnement différent “division” dans l'ensemble des nombres de l'opération “division” dans n'importe quel ensemble arbitraire. C'est cette propriété supplémentaire qui conduit à la notion de nombre rationnel. C'est interdit, en gardant l'exigence d'égalité des ensembles résultants, diviser 3 article pour deux. Et un aussi. Et si vous traitez les objets comme des ensembles, Ensuite vous pouvez. par exemple, tout à un, et au deuxième (autres) ничего (пустое множество).  Le concept de nombre rationnel est d'abord facilement introduit dans la division, même sans qu'il soit nécessaire d'élargir l'ensemble des nombres naturels lui-même.. par exemple, pas de problème pour partager 6 sur 3. L'obtenir 3 nombres égaux, égal 2. Le résultat reste dans le même ensemble. Mais dès que nous exigeons, чтобы для всех чисел результат деления оставался в исходном множестве сразу же обнаруживается невозможность удовлетворить этому требованию. Один или два на три не делится так, pour que le résultat soit un nombre naturel. Les résultats sont de nouveaux chiffres, ne pas être entier. Ils reçoivent un nouveau nom, rationnel. Et les naturels sont strictement inclus dans le nouveau concept. L’opération de division s’applique sans problème aux nombres négatifs.. Mais le problème se pose avec zéro. Si on divise zéro, “ничего”, Peut être pour n'importe quel autre numéro — le résultat est évident, par définition d'un ensemble vide “ничего”, c'est-à-dire zéro, et ça ira. Voilà ce que signifie diviser par zéro? Cette opération n'est pas définie dans l'ensemble des nombres rationnels, c'est interdit. Dans l'ensemble des nombres rationnels, tous les éléments ne sont pas égaux pour toutes certaines opérations. L'un des nombres est particulier par rapport à l'opération de division. Je n'ai rien dit sur l'opération de multiplication. La méthode permettant de l'introduire comme symbole pour une sous-opération spéciale d'addition est bien connue.. Il y a aussi une opération de comparaison impliquée. — ajouter des nombres égaux. Et puis, montrer que les opérations de multiplication et de division sont mutuellement inverses (définir) Juste. Zéro n'a pas de propriétés particulières par rapport à la multiplication.. Combien d'ensembles vides ne s'additionnent pas ?, donc il y aura un ensemble vide, zéro. Et si vous ne faites pas cette opération ? “jamais”, alors ne l'utilise pas pour, donc tu n'auras rien, c'est à dire. zéro. Intuitivement clair. Note, que dans l'ensemble des nombres rationnels les opérations de multiplication et de division ne sont pas égales pour l'un des nombres. On peut aussi essayer de supprimer cette inégalité, expansion du concept même de nombre. Il vous suffit de choisir quelque chose de clair et intuitif (c'est à dire. mis en œuvre par un exemple du monde réel) concept (идею) pour le résultat de la division par zéro.

Il est utile de s'attarder plus en détail sur ce qui a déjà été mentionné ci-dessus. opérations de comparaison, qui joue un rôle particulier en physique, comme base de toute description expérimentalement vérifiable du monde. Et d'autres descriptions (ne permettant pas la vérification expérimentale) Je ne suis pas intéressé ici. Nous effectuons l'opération de comparaison assez souvent. Et dans la vie de tous les jours, et en sciences. Cependant, en science, il est formalisé à l'extrême et se réduit aux seules relations de la forme: quelque chose pourrait être plus, égal ou inférieur à autre chose. outre, il est possible de clarifier ces relations simples en cas d'absence d'égalité — combien de fois c'est un de plus (moins) que d'autres. À vrai dire, ce même concept d'ensemble qui forme des idées — sa puissance, quantité d'éléments (Dans l'approximation quantique, seul l'ensemble discret des événements est homogène) en quantité — et apparaît comme le résultat de cette opération de comparaison. Et la notion de nombre, naturellement, Même. Un moment, очевидный для бытового языка и утерянный математиками, я хотел бы подчеркнуть в этой связи. Dans l'ensemble сравнивать мы имеем право только однородные сущности. Например баранов с баранами, а столы со столами. Только в этом случае результат будет иметь смысл. mais, dans le langage courant, nous pouvons mettre l'accent différemment et la comparaison d'entités apparemment incomparables peut acquérir un sens. par exemple, si l'on s'intéresse uniquement à la propriété d'un objet, objecter à être, exister, être disponible (la même chose, que nous avons identifié comme le plus fondamental, concept immobilier initial), alors par cette propriété, vous pouvez comparer n'importe quel objet. Disons, question — “combien d'articles y a-t-il dans la boîte ??” — tout à fait significatif pour un ensemble complètement arbitraire d'objets très différents. Malheureusement, aujourd'hui les mathématiques croient, qu'elle ne compte que sur ça, extrêmement débarrassé de toutes les autres nuances, possible dans le monde réel, понятие и поэтому совершенно не придаёт значения указанному выше ограничению на применимость операции сравнения. А ведь все числа в математике, quand il est utilisé comme langage pour décrire le monde réel, sans aucune exception est le résultat de l'application de cette opération particulière. Et lorsqu’on utilise de telles descriptions numériques en relation avec divers phénomènes du monde réel, oublier l’origine des nombres eux-mêmes peut s’avérer fatal.. En physique expérimentale, un nombre apparaît à la suite de procédures de comptage d'objets dans le monde ou à la suite d'une mesure, c'est à dire. comparer un objet à un autre. Si on le désire et le comptage d'objets peut être inclus dans le concept de mesure en tant que cas particulier, comme cela devrait ressortir clairement de ce qui a été dit sur ce sujet ci-dessus. La mesure comme procédure complète (quand peut-il être fini) donne un nombre rationnel, et des entiers, résultat du calcul, sont un sous-ensemble, un cas particulier des nombres rationnels.

Regardons de plus près les nombres rationnels, considéré précisément comme le résultat de la mesure d'un objet par un autre. Pendant très longtemps, on a cru, quoi отношение двух любых однородных объектов всегда можно выразить именно рациональным числом. C'est à dire. полагали, quoi существует такая пара целых чисел, что это отношение можно записать с их помощью. par exemple, 1:2, 2:3 etc. En ce sens, la procédure de mesure visant à déterminer un tel rapport est toujours complète., le choix correct de l'unité de mesure vous permet de terminer la procédure de comparaison en un nombre fini d'étapes. Laisse-moi expliquer, ce que je veux dire. Soit le dénominateur du rapport souhaité (fractions) égal n, et le numérateur k. Choisissons à la place de l'article d'origine, avec lequel nous avons comparé l'autre (appelons cet article échelle ou unité de mesure) его n-ce partage. Le rapport de l’ancienne échelle à celle-ci peut s’écrire entier n. Mais aussi la relation de ce sujet, que nous avons mesuré avec l'ancienne échelle sera également écrit dans la nouvelle unité de mesure entier, égal k*n. C'est à dire. la croyance exprimée ci-dessus peut être reformulée comme la déclaration suivante: pour deux objets similaires (parties du monde réel) tu peux en trouver une telle part, que le rapport des deux objets à celui-ci sera exprimé en nombres entiers. Note, que le concept de nombre rationnel est génétiquement lié à la combinaison d'entiers en paires et au fonctionnement de leur comparaison.

Cette croyance s'est avérée fausse. Comme je le sais, j'ai découvert ça pour la première fois Pythagoras. Il s'est avéré, quoi faites ceci pour l'hypoténuse et n'importe laquelle des jambes d'un triangle rectangle, dont les jambes sont égales les unes aux autres,  impossible. Сегодня это открытие расценивают как первый кризис математики. Оно позволило увидеть, que dans le monde réel, il existe des exemples de mise en œuvre de l'idée de l'infini réel, potentiel infini réalisé, processus sans fin, amené à son terme. Pas par nous. Monde réel, ses parties.

concept, qui permet d'arriver à la réalisation de l'infini actuel est une formalisation, idéalisation d'un ensemble de données expérimentales, que nous unissons dans l'idée de continu objets, dont toutes les parties connecté ensemble. Cela ne signifie pas, que de tels objets ne peuvent pas du tout être divisés en parties. C'est possible, et, de plus, ceci peut être continué pour toutes les parties résultant d'une telle division. Puis, quoi le processus de fission peut se poursuivre potentiellement indéfiniment et est le principal, propriété déterminante de l'idée même de continu. Les exemples les plus simples de mise en œuvre de la continuité sont des objets du monde réel comme une corde, un string, fil et similaire. Je veux souligner le deuxième côté de la continuité, ce qui est généralement ignoré. L'idée de continuité, si elle est extrêmement formalisée et débarrassée de ses manifestations privées, elle peut aussi être formalisée comme idée de connexion, connectivité de parties du monde réel. C'est le sens. Идея непрерывности как свойство предмета быть бесконечно делимым без утери этого свойства может показаться не соответствующей реальному меру, если принять во внимание, que tous les corps massifs ayant une masse au repos sont des parties clairement séparées du reste du monde. Bien qu'ici il soit tout à fait possible de faire appel à l'idée de​​la ligne d'existence d'un tel organisme. Certes, il faudra comprendre le sens des affirmations de la mécanique quantique sur l'absence de trajectoire bien définie pour les plus petits de ces corps., tel, comme un électron. Mais même là, des relations de cause à effet subsistent entre les événements.. Sans entrer ici dans ces détails, Je vais attirer votre attention sur autre chose (non lié à la présence de masse au repos) manifestation de connexions entre des parties du monde réel. Je veux dire ceux manifestations de telles connexions, ce qu'on appelle un champ. par exemple, Champ électromagnétique. Oui, démontrer visuellement des connexions telles que linéaires, les formations superficielles ou volumétriques sont directement impossibles. Cela n'est possible qu'avec l'aide de leurs manifestations secondaires (par exemple, la sciure s'aligne le long “forces de sécurité” lignes). Mais les démonstrations de l'existence de ces liens entre, par exemple, deux aimants, grande multitude. Et ces connexions sont aussi la mise en œuvre de l'idée de continuité. La continuité comme idée de cohérence universelle du monde agit aussi comme une formalisation de l'idée du monde dans son ensemble. Dans l'ensemble, qui comporte une variété de pièces. Les pièces sont différentes, séparables d'une certaine manière les uns des autres, mais en même temps interconnecté.   Ce qui n'est pas lié au monde (pas connecté à aucune partie du monde), il n'y a rien de tel au monde. Notre monde ne peut pas être constitué de plusieurs éléments déconnectés. Un ensemble purement discret de parties ne peut pas être considéré comme une description satisfaisante du monde., puisqu'il ne contient même pas la moindre trace de connexions entre les pièces. Pour décrire le monde, nous avons besoin d'un concept différent, idée différente, que nous appelons continuité. Эта идея необходимо также включает в себя и дискретное, хотя бы как совокупность произвольно выбранных частей. Новое, непрерывное множество ещё называют континуумом. Математиками разработано много разных способов для работы с континуумом средствами, естественным образом определёнными для дискретных множеств. Naturellement, ils s'appuient tous sur le concept d'infini potentiel réalisé, c'est à dire. l'infini réel. Tout d'abord, un tel concept en mathématiques est le concept limite.

Notion de limite, limite de séquence, a probablement d'abord pris forme précisément comme une formalisation de l'idée de possibilité des mesures quelques segments de ligne, соотношение которых с выбранной единицей измерения не может быть выражено натуральным числом. Ведь в этом случае легко увидеть, что если мы будем дробить единицу измерения, disons dix unités égales plus petites, et répétez cette procédure un nombre infini de fois, alors on peut toujours obtenir deux séquences infinies (deux infinis potentiels), dont les sommes seront toujours inférieures au segment mesuré, et le deuxième est plus grand. De plus, la différence entre ces deux montants est toujours, à chaque étape sera égal à l'unité de longueur de segment sélectionnée pour l'étape. Et cette unité deviendra de plus en plus petite, par rapport à l'initiale. Dans cette procédure, nous considérons quatre segments: Un, длина которого принимается за единицу. Второй, который мы хотим измерить этой единицей, c'est à dire. сравнить длины этих отрезков и поставить в соответствие получившемуся результату некое число. Et deux autres segments de services, à chaque étape de la procédure de comparaison des différents. Un, ayant une longueur inférieure à celle mesurée, et en même temps exprimé rationnel nombre. Et le deuxième, à l'unité de mesure actuelle (part actuelle de l'unité initiale) plus que ça, et aussi tout simplement plus que le segment mesuré, et ayant aussi une longueur, exprimé rationnel nombre. Cette relation entre les quatre segments nous convainc clairement, et si on pouvait continuer cette procédure un nombre infini de fois, alors le résultat serait définitif, parce que c'est entre deux, nombres rationnels arbitrairement proches. Cette croyance repose sur notre expérience et ne nécessite aucune autre preuve.. Résultat, comme un numéro, est une image de l'infini réel et est appelé un nombre irrationnel. Lieu correspondant dans une ligne continue (dans ce cas c'est la fin du segment mesuré) peut être appelé un point, cette essence, из которых состоит сама линия. Побочным следствием этой процедуры возникает понимание того, quoi dans un segment arbitrairement petit d'une ligne continue, il y a toujours un nombre infini (réel infini) nombre de ces points. Un autre effet secondaire est la compréhension, qu'à l'aide d'une telle procédure de mesure, il est possible de placer sur n'importe quel segment de droite (Associez-le avec des points) une partie de l'ensemble des nombres rationnels. Et si vous mesurez une droite illimitée, pas un segment, alors l'ensemble des nombres rationnels peut être mis en correspondance avec une partie de l'ensemble des points d'une droite. L'union de tous les points d'une droite illimitée correspondra à l'union des ensembles de nombres rationnels et irrationnels, ce qu'on appelle un ensemble valide чисел. Множеству точек, составляющих непрерывность, с помощью процедуры измерения мы ставим в соответствие множество действительных чисел. Важно понимать, que ces concepts décrivent simplement certaines propriétés du monde réel, et ne découlent pas de la procédure appliquée. Ici, deux idées sont inextricablement liées en un seul tout., très important pour les mathématiques, idem pour la physique. Une idée — c'est une idée d'un ensemble d'un type différent, que ces ensembles, qui découlent de l'idée la plus simple de l'existence. Toutes les propriétés des ensembles définis précédemment y sont présentes. Nouvelles propriétés ajoutées. Sur la base de ces propriétés, les ensembles peuvent être distingués: discret et continu, continu. Ces propriétés ne se formulent pas en un mot, ils formalisent un ensemble de propriétés d'une procédure spéciale, qui implémente des exemples de nouveaux types d'ensembles dans le monde réel. En physique, cette procédure est appelée procédure de mesure. Il s'agit d'un ensemble d'opérations assez complexe, qui comprend le détail des opérations de sélection, comparaisons, division et peut elle-même être considérée comme une implémentation de l'opération complexe de création d'une cartographie d'un ensemble sur d'autres. Une de ces images, un de ces ensembles est, En fait, l'épine dorsale des mathématiques, et les physiciens aussi. C'est l'ensemble des nombres réels.

Le lecteur attentif a dû le remarquer, que la procédure de mesure dans sa version la plus simple a également été utilisée par nous lors de la formalisation du concept d'ensembles discrets. C'est nouveau, ce qui est apparu, était une conséquence de la clarification des propriétés de cette procédure, son enrichissement. Ce processus n'est pas terminé. Des possibilités supplémentaires apparaissent pour le nouveau type d'ensembles. par exemple, en plus de choisir l'unité de mesure de base, échelle, vous pouvez choisir cet élément du continuum, qui sera associé à un élément de l'ensemble des nombres réels tel que zéro. Choisir point de référence sur un ensemble continu. Vous pouvez également choisir direction sur un ensemble continu, qui sera considéré positif. Il existe également des possibilités d’envisager des continuums du nombre de dimensions d’un ensemble plus vaste., d'un. Et beaucoup plus, beaucoup plus. De là poussent des branches colossales de la géométrie, théorie des groupes, algèbre et bien d'autres. Idées, les remplir, sont isolés quelque part, quelque part ils se croisent jusqu'à ce qu'ils soient complètement combinés, devenir différents dialectes de la langue, on parle de la même chose.

Я не буду продолжать дальше обсуждение всех этих важнейших понятий. Сделаю только несколько на мой взгляд важных замечаний.

Les mathématiques modernes ont relégué aux oubliettes les origines du concept de nombre, que j'ai mentionné ci-dessus. En mathématiques, nous travaillons simplement avec des nombres.. Sélection des échelles, leur mise en œuvre par des objets du monde réel n'intéresse pas les mathématiques. Mais en vain. De nombreux concepts seraient beaucoup plus faciles à comprendre, si les mathématiciens ne tombaient pas dans le snobisme “monde d'idées pures”. Et pour ceux, qui utilise les acquis des mathématiques pour décrire certains aspects du monde réel, un tel snobisme n'est pas du tout acceptable. Peut-être, Il vaut la peine d'énumérer brièvement ces points ici, que je considère important d'étudier, et pour le développement ultérieur des mathématiques, dans le cadre de la science, Bien, bien sûr, pour son application réussie pour décrire le monde réel:

• Monde d'idées existe. Mais pas comme quelque chose de différent du reste du monde réel, s'en séparer. C'est une partie intégrante à la fois de l'Univers lui-même, n'importe quelle partie de celui-ci, et toute description de celui-ci. juste parce que, cette description est l'isolement, formation de concepts, c'est à dire. “idées”. N'importe lequel “bien”, adéquat à n’importe quelle propriété du monde (ou une partie de celui-ci) une idée, être complet est en même temps limité. Dans ce sens, qui ne décrit pas l'ensemble, et une partie, une seule propriété ou un ensemble fini de propriétés.
• Ces idées sont très diverses. Ils se combinent en langues. Y compris, dans de telles variantes linguistiques, comme la science et ses composantes (dialectes) математика, la physique, biologie, etc..
• Puis, que la science et, en particulier, les mathématiques revendiquent l'adéquation de leurs concepts (idées) le monde réel n'est justifié qu'à ce moment-là, lorsqu'il existe au moins un exemple de mise en œuvre d'une idée particulière dans le monde réel. Cela est particulièrement vrai pour les produits de base, idées élémentaires, qui constituent la base de nouvelles orientations dans les mêmes mathématiques. Et pas seulement, bien sûr. Absolument clair, que toutes les langues, et les mathématiques aussi, permettons-nous de formuler comme vrai, des déclarations qui ne sont pas vraies (des idées). Mais vous pouvez aussi formuler de telles idées, dont la loyauté ou l'infidélité (leur correspondance avec le monde réel, tous les exemples disponibles) Peut être (et devrait) accepté comme un axiome, comme option possible. C'est ce que disent les théorèmes de Gödel. Toute notre expérience directe en témoigne.. Logique binaire, когда выбор есть только из двух возможностей всего лишь один из вариантов логики, pas plus. Все мы знаем примеры ситуаций, когда выбор возможен из произвольного числа возможностей, jusqu'à l'infini potentiel, et des exemples de continuum rendent cet infini pertinent. Si l'on considère l'idée élémentaire (axiome, définition) comme une énumération d'un ensemble de propriétés, alors les théorèmes de Gödel disent seulement que, qu'est-ce qu'une énumération potentiellement infinie. Du point de vue d'une idée aussi nouvelle elle-même, l'ajout d'une nouvelle propriété ne peut pas être prouvé, ni rejeté sur la base uniquement de l'ensemble complet des propriétés décrites précédemment. Le seul critère “fidélité” такого нового определения для нас может быть только обнаружение хотя бы одного примера реализации новой идеи в реальном мире. Один единственный пример реализации уже достаточен.
• À cet égard, il serait utile de construire une présentation des mathématiques sur une base constructive, créer de nouveaux concepts (des idées, axiomes) ou sur la base d'existants, leurs différentes combinaisons, либо на основе тех явлений реального мира, которые ещё не получили оформления такими идеями. И всегда примеры реализации каждой такой идеи.
• Это не запрещает так называемый “libre vol de la pensée”. Il peut avoir beaucoup de succès. de plus, notre histoire fournit un grand nombre d'exemples de ce genre. Mais il est important de comprendre, que le succès d'une telle créativité devient clair précisément à ce moment-là, lorsque la mise en œuvre d'un tel “gratuit” des idées avec des exemples concrets. Mais pour le développement de telles idées par les larges masses, au moins les scientifiques, Je ne parle pas des gens loin de la science, ces exemples sont essentiels.
• En raison de ce, la seule justification de la signification et de la cohérence en tant que mathématiques, donc dans d'autres branches de la science, il ne peut y avoir qu'une correspondance de leurs idées avec le monde réel.

En fin de compte, je tiens à souligner une fois de plus, que je crois à l'idée de l'existence d'un monde d'idées, en particulier, collecté sous le nom “математика”, comme un monde complètement indépendant du monde réel, vicieux et sans issue, “mauvaise idée”. Pas sûr, qui était le fondateur de cette idée, peut-être Platon. Mais même maintenant, cela domine de nombreux esprits. par exemple, c'est l'une des idées directrices de R. Penrose, ce qui est bien dit dans son livre “Chemin vers la réalité, ou les lois régissant l'Univers. Guide complet.”

© Gavryusev V.G.
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