Однородность и изотропность

Что это такое? Является ли пространство-время однородным и изотропным? Почему я решил уделить этому вопросу специальное внимание?

 

Сначала ответ на последний вопрос. Дело в том, что в книгах и статьях, касающихся свойств пространства и времени, как научно-популярных, так и научных, написанных весьма достойными учёными, сплошь и рядом можно встретить утверждения типа:

  • Пространство-время однородно и изотропно (хорошо ещё, если при этом упоминается, на какой шкале). Чаще, правда, утверждают, что пространство и однородно, и изотропно, а время только однородно.
  • Именно однородность и изотропность пространства и однородность времени являются причиной законов сохранения энергии-импульса и момента импульса.

Оба эти утверждения неверны (второе частично), и их широкая распространённость ведёт к серьёзнейшим проблемам в понимании физики. Одной из таких проблем является отождествление однородности и изотропности пространства-времени с вполне естественным требованием независимости результатов физических экспериментов от выбора системы координат в пространстве-времени, в частности от выбора начала отсчёта и направления осей. При этом такая независимость слишком часто трактуется чрезмерно прямолинейно. Вот поэтому я и хочу обсудить эти понятия.

Сначала дадим определения самих этих слов, чтобы избежать каких-либо недоразумений в их понимании.


Однородность. В математике, на языке наиболее свободном от противоречий, однородными считаются такие области пространства (пространства в самом широком математическом смысле), точки которых имеют все свойства совершенно одинаковыми. Примерами таких пространств, однородных как целое, являются одномерные бесконечные или замкнутые линии, не имеющие самопересечений и каких-либо выделенных на них точек, а также евклидовы пространства двух и более измерений. К более сложным таким пространствам, всё ещё легко доступным нашему воображению, можно отнести поверхности сфер произвольного радиуса (пример замкнутого пространства, каждая точка которого имеет одну и ту же положительную кривизну) и поверхности, образуемые вращением одной ветви гиперболы вокруг оси х или y (пример пространства бесконечного, каждая точка которого также имеет одну и ту же кривизну, но уже отрицательную). Конечно, можно привести и другие примеры однородных пространств, и много. Но думаю уже приведённых вполне достаточно, чтобы уяснить смысл слова однородность применительно к понятию пространство. Довольно ясно, что пространства, в общем случае неоднородные, могут содержать некоторые вполне однородные области. Простейшим примером является отрезок прямой. Все точки отрезка, за исключением его концов, имеют одинаковые свойства.

И в быту, на языке не столь точном, мы полагаем нечто однородным тогда и только тогда, когда произвольно взятые его составляющие для нас выглядят совершенно одинаково. Достаточно большая ёмкость (но не слишком большая), в которую налита чистая вода или какая-нибудь иная чистая жидкость, даёт нам зримый пример того, что мы называем однородной субстанцией, имеющей три измерения. Так же как и достаточно гладкая бумага или поверхность стола дают нам такой же пример однородной субстанции, имеющей два измерения. Но в быту мы уже приучены понимать, что однородность эта может быть результатом не истинных (т.е. всех без исключения, при выборе любых, в том числе и сколь угодно малых частей субстанции) свойств самих субстанций, а того приближения, в котором мы их рассматриваем. Я имею ввиду, что взяв хорошую лупу, мы можем разглядеть даже на самой гладкой бумаге определённые шероховатости в некоторых местах, или даже волокна, из которых эта бумага состоит. Иногда случается и так, что проведя ладонью по кажущемуся гладким (т.е. однородным) столу мы рискуем получить занозу. А с помощью микроскопа можно обнаружить и в чистой воде инородные включения, например, бактерии. Более того, мы уже знаем также, что все известные нам субстанции, какими бы однородными они нам не представлялись на бытовом уровне, в конечном счёте состоят из молекул и/или атомов, разделённых пустотой. Т.е. при должной придирчивости оказываются на поверку совсем неоднородными. Отметим этот важнейший момент: в реальном мире его некоторые части могут в определённых приближениях описываться как однородные, будучи одновременно сильно неоднородными в других приближениях. Приведённые примеры хорошо иллюстрируют тот факт, что критическим свойством приближения, от которого зависит будет ли описание говорить об однородности или неоднородности рассматриваемой субстанции, является выбор размеров тех частей мира, которым в описании ставятся в соответствие точки (в случае строгого математического языка) или которые представляются нам сливающимися (на бытовом языке). Т.е. с точки зрения опыта вопрос однородности или неоднородности той или иной части мира жёстко связан с выбором шкалы, единицы измерения, меньше которой всё полагается уже не имеющим размеров. Кроме того, связав однородность с принятым приближением, т.е. фактически несколько изменив само понятие однородности, мы можем пойти дальше и говорить о “частичной однородности” как об однородности только по одному свойству точки, или по неполному набору её свойств. Тому набору свойств, который одинаков, сохраняется при переходе от точки к точке. Но должно быть ясно, что такого рода расширения должны чётко оговариваться. “Частичная однородность” не означает полноценную однородность данной области пространства.

Изотропность. Это тоже одинаковость. Но не всех свойств всех точек области пространства. Выделяется один набор свойств, присущих какой-либо точке — рассматриваются направления из этой точки, т.е. связи этой конкретной точки со всеми соседними. Достаточно ясно, что если говорить об однородности можно и применительно к дискретным пространствам (множествам не связанных точек), то изотропность подразумевает наличие связей между точками (элементами) пространства. А значит речь идёт о непрерывных пространствах, континуумах. Изотропность в данной точке подразумевает, что связи со всеми без исключения соседними точками (разные направления из данной точки) совершенно одинаковы. Отметим слова “изотропность в данной точке”. Их наличие означает, что понятие изотропности, вообще говоря, применяется к отдельным точкам области пространства. Когда говорят об изотропности всего пространства или какой-то его области, то подразумевают выполнение данного условия для всех точек пространства или его области. А это требует также и однородности пространства или области, хотя бы частичной, по крайней мере по этому свойству. В то же время, если пространство является однородным, то, в случае его непрерывности, оно автоматически является и изотропным, так как в определении однородности мы говорим о совпадении всех без исключения свойств точек.

Следует добавить, что понятие изотропности в точке также позволяет говорить об ограниченной изотропности, исключая из рассмотрения некоторые направления. Например, направления в точке, расположенной на сферической поверхности в трёхмерном евклидовом пространстве все одинаковы в смысле пространства трёх измерений, если принадлежность данной точки именно сфере не существенна. И остаётся изотропность только двумерного пространства, если мы при этом строго следим именно за принадлежностью рассматриваемой точки выделенной сфере.


Теперь нам будет легко понять, является ли пространство-время однородным и изотропным. Если речь идёт о пространстве-времени как целом, едином объекте, т.е. об образе Вселенной, то ответ яснее ясного — конечно нет. Вселенная содержит в себе все и всяческие объекты, её части, которые отличаются друг от друга, и пространство-время как образ, описание такой Вселенной неоднородно (а значит и не изотропно) по самому своему смыслу. В однородной Вселенной некому (и нечему) было бы задаваться самим таким вопросом. В ней все точки (её части) совершенно одинаковы и уже поэтому ничего собственно и нет. Однако в неоднородной по большому счёту Вселенной не исключаются и какие-то подобласти, возможно однородные в абсолютном смысле, или в ограниченном — в определённом приближении. Ещё более справедливо это в отношении изотропности. Наличие таких областей, частей мира а приори нельзя отрицать. Не изменится наш вывод и если мы выделим в пространстве-времени только пространство. Во первых, для всей Вселенной сразу этого просто нельзя сделать. Но и для отдельных её частей местные, локальные мгновенные сечения, которые с определённой натяжкой можно полагать пространством, отделённым от времени (местным пространством), это пространство как целое однородным быть не может. Всё по той же причине — в нём окажутся и сечения отличающихся друг от друга объектов, существующих в данной области пространства-времени.

Если же мы ведём речь о некоем гипотетическом математическом пространстве, в которое мы поместили этот образ Вселенной — а математика, как язык допускает и такой способ описания мира — то такое, вмещающее пространство, вполне можно выбрать однородным и изотропным. Известно, что любое сложно организованное пространство конечного числа измерений можно рассматривать как подпространство в некотором евклидовом пространстве, но уже гораздо большего числа измерений. Это возможно. Но нужно ли?

По ряду причин, вполне существенных (чаще всего в качестве одной из таких причин упоминается опыт, в котором рассматривается поведение поверхности воды в ведре, подвешенном на верёвке, и испытывающем крутильные колебания), в своё время Ньютон отвёл пространству и времени роли вместилищ. Арен, на которых происходят все физические явления, но сами эти арены их влиянию не подвержены. Заметим, что между двумя этими вместилищами имеется определённое неравноправие. Пространство подразумевается существующим во времени как единое целое. Поэтому можно также говорить об их совокупности как об едином вместилище. Эти абсолютные пространство и время вполне уместно было полагать однородными (и изотропными). А можно было бы и не полагать. Вот только описание мира в таком вместилище стало бы куда как сложнее, чем то, которое развили Ньютон и другие учёные.

Но уже в то время, когда формировалось такое описание мира или физика, которую мы часто называем физикой Ньютона, некоторые учёные (и сам Ньютон в том числе!) ясно видели определённую зыбкость и противоречивость концепции вмещающего пространства. Чего стоила, например, необходимость учёта так называемых сил инерции при описании множества физических процессов. Силы эти, с одной стороны, весьма усложняли само описание, а с другой стороны создавали сложности в понимании самих основ описания — реальные они или фиктивные (устраняемые правильным выбором системы отсчёта)? Какая конкретно система отсчёта самая “правильная”? Усложнение описания мира, вытолкнутое из парадных ворот теории, вернулось через заднюю калитку и смеётся над дворецким.

Ещё хуже ситуация стала после создания Эйнштейном Общей Теории Относительности. Одна из настоящих, “правильных” сил, да ещё как раз та, описание которой столь тесно связано с именем Ньютона, сила тяготения, оказалась чуть ли не в точности инерциальной, уничтожимой выбором системы отсчёта. Почти везде, за исключением тех мест, где находятся сами тяготеющие, массивные тела. Ну, в таких местах и теория Ньютона пасовала, приписывая там силе тяготения бесконечное значение. Мало этого, и свойства точек пространства-времени, всё ещё вмещающего эти массивные тела, да и не только массивные (в смысле наличия именно массы покоя), оказались зависящими от расположения этих тел. А тензор энергии-импульса, описывающий наличие чего-то действительно физического в образе мира, созданном Эйнштейном, является для пространства-времени ОТО абсолютно чужеродным. Ситуация, прямо скажем, мало удовлетворительная для хорошей теории. В этом смысле теория Ньютона более последовательна. Пространство и время являются ареной для физики, их свойства чётко постулированы и от физических явлений не зависят. Точка. Всё остальное — предмет физики. Физики, рассуждающей о различных предметах, силах, процессах, и так далее. Обнаружили что-то новое? Ну и хорошо. На общую картину мира это влияет мало. Добавим новую силу к набору уже известных, новое состояние вещества или что-то ещё в этом роде. Теперь же ситуация половинчатая. Вмещающее пространство-время, с одной стороны, изменяет свои свойства в зависимости от физических тел или процессов, существующих или происходящих в тех или иных его областях. Происходит это в результате связи тензора кривизны пространства-времени с тензором энергии-импульса материи (связь эта записана уравнениями Гильберта-Эйнштейна). С другой стороны, само пространство-время также частично указывает физическим телам, каким образом им двигаться, т.е. существовать, какие области в этом пространстве-времени занимать. Это постулируется с помощью утверждения, что линии существования точечных массивных тел (при условии отсутствия у них электромагнитных свойств) являются геодезическими линиями пространства-времени. А вот для заряженных массивных частиц это уже не так. Неудовлетворительность такой картины мира очевидна. Тут уж или всё, или ничего (как в картине мира Ньютона). Именно поэтому Эйнштейн провёл большую часть своей жизни в поисках формулировки единой теории поля, делающей и обширнейший круг электромагнитных явлений зависящим от геометрии пространства-времени, а не только определяющим эту геометрию. Не будем дальше следовать в этом направлении, это увело бы нас слишком далеко от рассматриваемых вопросов однородности и изотропности. В образе мира Эйнштейна свойства пространства-времени, в том числе однородность и изотропность, целиком и полностью определяются свойствами тензора энергии-импульса, величины физической, внешней для геометрии. Если этот тензор однороден (или изотропен), то можно рассчитывать на повторение соответствующих свойств и в геометрических структурах (хотя и не обязательно). А если нет, то гарантировано, что и само пространство-время однородным (или изотропным) не будет. Последнее верно строго, т.к. хотя бы одна геометрическая структура, одна из свёрток тензора кривизны, тензор Риччи не будет одинаковой для всех точек пространства-времени. Вполне очевидно, что из-за существования сравнительно компактных массивных объектов — планет, звёзд, галактик — говорить об однородности тензора энергии-импульса не приходится. Тем не менее это отнюдь не мешает огромному числу учёных  полагать распределение материи во Вселенной однородным. Заметьте, не в пределах звёздной системы или галактики — уж слишком это абсурдно. А именно во Вселенной. Дескать галактики распределены более-менее равномерно в объёме Вселенной и при описании Вселенной с помощью уравнений ОТО всё это вещество можно полагать равномерно размазанным по точкам пространства-времени. Давайте вспомним мои замечания о возможности полагать физическую субстанцию, являющуюся сугубо неоднородной на одной шкале размеров, вполне однородной на другой шкале. Вероятно это как раз тот самый случай? И всё в таких рассуждениях согласовано? Существует приближение в котором вселенная (как некое пространственное сечение Вселенной) однородна? А вот и нет. Беда именно в том, что все такие рассуждения должны применяться не к Вселенной (см. статью Вселенная как целое. Большой взрыв) как целому, а к вселенной как пространственным сечениям полного пространства-времени в определённые моменты времени. Если такого рода сечения неплохо определены для достаточно малых областей, частей пространства-времени (для которых легко определить и само общее для области время), то уже для больших областей это весьма затруднительно. А уж для Вселенной и вовсе невозможно. Малость здесь определяется соотношением между пространственными размерами рассматриваемой области и длительностью, которая в выбираемом приближении  полагается равной нулю. В сечение ведь необходимо включать только те точки пространства-времени, которым соответствуют одни и те же моменты времени. А усреднение является процедурой физической и все аргументы, которые Эйнштейн использовал при формулировке Специальной Теории Относительности, применимы к этой процедуре полностью. Усреднять можно только по областям с пространственными размерами малыми по сравнению с длительностью этой процедуры усреднения. В том смысле, что время прохождения сигнала между самыми дальними точками области усреднения должно быть фактически нулём на выбранной шкале времени. Скажем так, если для нас секунда является малым промежутком времени, то мы имеем право усреднять субстанцию (или тензор энергии-импульса) в областях малых по сравнению с с сантиметров. Здесь с это, очевидно, скорость света и области размерами много меньшие 300000 километров можно усреднять. Вполне ясно, что обычные наши представления о сравнительно однородных субстанциях, доступных нашему непосредственному опыту, весьма хорошо, с большим запасом подчиняются этому условию. А вот на астрономических масштабах, начиная с галактик и далее, делать пространственные сечения, да и вообще, применять уравнения Эйнштейна-Гильберта (дифференциальные уравнения, записанные для бесконечно малой окрестности точки!) нужно весьма и весьма осмотрительно. А уж к самой Вселенной их применять просто нельзя. И горе тому, кто этого не понимает…

Моя точка зрения состоит в том, что, поскольку для описания всех соотношений в нашем мире достаточно пространства-времени четырёх измерений, то и вводить какое-то вмещающее пространство не требуется. Ключевое слово здесь вмещающее. Может быть, иногда его введение будет кому-то и полезно, поможет что-то понять легче, почему нет? Но всё, что с его помощью может быть понято о строении мира, по-необходимости должно быть выражено в терминах объектов и связей между ними, точек и свойств этих точек, строго принадлежащих миру, как пространству четырёх измерений. Ведь вмещающее пространство с точки зрения опыта не более чем фикция. И в любом случае, когда мы говорим о пространстве-времени как о пространстве четырёх измерений, то мы говорим не об этом гипотетическом вмещающем пространстве. Мы чётко знаем, что точки этого, четырёхмерного пространства не одинаковы. А значит пространство это неоднородно (и не изотропно). Кто в этом сомневается, пусть попробует съесть камень вместо хлеба, или выйти из комнаты не через дверь, а через стену… Всё это на шкале измерений, близкой к нашим размерам. При переходе к меньшим размерам, даже те субстанции, что представлялись нам однородными, становятся всё больше и больше неоднородными. Если же мы обратимся взглядом к астрономическим размерам, то и там то же самое. Звёздные системы сугубо неоднородны — массивные объекты, звёзды и планеты, очень малы и разделены огромными областями практически пустого космоса. Галактики тоже. Да, само “пустое” космическое пространство, разделяющее звёзды, можно приближённо полагать однородным. Но энергии-импульса в нём размазано очень мало по сравнению со звёздами. И не случайно самыми близкими к однородным являются именно области наиболее бедные материей, массивными объектами. Пустота максимально однородна для нас. А там, где есть что-то, там нет в природе однородности. Только иногда, как приближение, да и то, как правило, первое приближение, можно использовать такое представление о некоторых областях пространства-времени. Да, когда говорят об однородности вселенной, то говорят об областях даже не галактик, а много больших по размерам, чем галактики. Таких больших ячеек, в которых полагают число галактик примерно одинаковым в каждой, выделяют во всей видимой вселенной около тысячи. При том, что для всей этой тысячи ячеек общее время определить просто не представляется возможным, рассматривать такое пространство как удовлетворительное сечение пространства-времени, на мой взгляд совершенно не допустимо. А уж описывать такую вселенную (всего лишь тысяча  точек, ну как они могут образовать континуум, даже и приблизительно?) с помощью дифференциальных уравнений и вовсе смешно. А ведь делают это и не задумываются. Уравнения  написали Гильберт и Эйнштейн, значит можно применять…

С изотропностью несколько сложнее. Поскольку массивная материя во Вселенной имеет явную тенденцию группироваться на разных шкалах измерения в достаточно компактные объекты, а окружающее эти объекты пустое пространство на этих шкалах можно как раз рассматривать приближённо однородным (планета или звезда в космосе, атом в газе), то в приближении точечности этих компактных объектов на таких шкалах мы обнаруживаем хорошее приближение к изотропности трёхмерных направлений именно в точках, ассоциированных с массивными объектами. Эта изотропность в определённой степени нарушается при включении в поле зрения (в шкалу приближения) соседних таких компактных массивных объектов. И так происходит на всех подобных уровнях приближений. Что в газах (жидкостях, твёрдых телах), что в звёздных системах.

Теперь перейдём к вопросу о связи однородности и изотропности с законами сохранения. Скажу сразу, определённая связь есть, но отнюдь не такая глобальная, ни в коей мере не требующая для существования законов сохранения глобальной однородности и изотропности пространства-времени. Что такое “сохранение” чего-то? Это слово означает одинаковость этого самого чего-то в разных точках пространства-времени. Весьма близко к понятию однородности пространства-времени. Только вот понятие “сохранение” не требует одинаковости во всех точках пространства-времени ни всех величин, характеризующих точку, ни даже одной какой-то из полного набора величин. Как раз наоборот, сохранение чего-то обычно чётко ассоциируется с чем-то хорошо выделенным из остального мира. Обычно с однородностью связывают сохранение энергии-импульса, а с изотропностью сохранение момента импульса. Причём сохранение этих величин имеет место во времени, в процессе существования объекта мира, который характеризуется ими.

Что такое существование объекта? Подразумевается, что во все моменты времени в течение существования объекта определённые характеристики, по которым этот объект и выделен из внешнего мира, остаются тождественными сами себе, т.е. одинаковыми, сохраняющимися. Это не обязательно все характеристики объекта. Допустимо, что какая-то часть его характеристик может меняться. Но есть основные, неизменные, которые и определяют объект как таковый. Если объект изображается точкой в пространстве, то его существование в пространстве-времени по-необходимости изображается линией. И единственной геометрической характеристикой такого точечного объекта, связанной с его существованием (линией) оказывается касательный вектор. Точнее, два сопряжённых вектора — касательный и градиент скалярного параметра, изменение которого описывает собственно существование объекта, его собственное время. Оба этих вектора можно связать с вектором энергии-импульса. Ковариантный градиент собственного (скалярного) времени напрямую. То, что он и является вектором энергии-импульса обнаруживается сразу, как только собственное время в его скалярной форме отождествляется с количеством событий, накопленным на данном отрезке существования объекта, которое в физике принято называть действием. А касательный вектор становится пропорциональным вектору энергии-импульса при введении классической метрики. Не будем углубляться далее в эти детали, здесь для нас важно лишь то, что оба эти вектора должны быть одинаковы во всех точках линии существования точечного объекта. Да, это означает определённую однородность точек этой линии. Линии существования, а не всего пространства-времени. На самом деле это утверждение верно только в классическом приближении, когда каждая точка существования объекта является событием. В квантовом приближении, когда в истории объекта можно указать только цепочку дискретных событий, только сами эти события являются одинаковыми. В квантовом приближении имеет место однородность только дискретного множества событий (точек) на траектории объекта. Но и в классическом, и в квантовом приближениях однородность эта “частичная”, отнюдь не влекущая за собой однородность всего пространства-времени или хотя бы некоторой его области. Линия существования областью в точном смысле не является, т.к. имеет размерность (=1) меньшую, чем размерность пространства-времени (=4).

Вполне очевидно, что говорить об изотропности линии существования объекта не приходится. Одно направление, время, определяющее и определяющееся порядком событий в их последовательности на траектории объекта является выделенным. Но можно говорить об изотропности, одинаковости всех направлений в малой трёхмерной пространственной области пространственного сечения, окружающей каждую точку существования объекта. Это связано напрямую с тем, что объект в нашем приближении изображается именно изолированной точкой в пространстве. А для точки в пространстве, вокруг которой хотя бы в малой области ничего нет, все направления равноправны. Они станут неравноправны, если в рассмотрение будут приняты другие объекты, находящиеся достаточно близко от данного. При этом говорить об общей изотропности точек пространства тоже не приходится. По выше названной причине, и ещё потому, что для точек из малой пространственной области вокруг объекта направление на сам объект явно отличается от всех других направлений. Если же мы ограничиваемся малой пространственной областью, не содержащей других объектов, то каждая точка существования объекта (для каждого момента его существования) будет обладать свойством изотропности в трёх пространственных измерениях. На языке физики это свойство означает сохранение момента импульса точечного изолированного объекта.

Посмотрим теперь, связаны ли понятия однородности и изотропности с преобразованиями координат. На преобразования координат существует два взгляда — пассивные и активные преобразования. Под пассивными преобразованиями (а по сути дела, только такие преобразования я обычно называю преобразованиями координат) понимается весьма простая вещь. Пусть имеется область, в которой множество разных наблюдателей приписали каждой точке уникальные координаты, каждый по своему. Тогда для каждой точки можно найти коэффициенты пересчёта от каких-то одних координат ко всем остальным. Эти коэффициенты представляют собой (n x n) матрицу, с отличным от нуля определителем. Здесь n обозначает число измерений пространства, в нашем случае 4. Сами координаты точки {x} являются набором n чисел. Одним из простейших преобразований координат является изменение начала отсчёта, положения точки в пространстве, которой приписаны все значения координат, равные нулю. Это преобразование описывается не полной матрицей, а столбцом величин, на которые сдвигается начало отсчёта по каждой из координат. Помимо координат, в любой точке могут быть определены (если мы говорим о физике, то с помощью измерений; в математике их просто приписывают точке) разные наборы чисел. Количество чисел в каждом конкретном наборе должно быть одинаковым в разных координатах, а вот значения, в общем случае, меняются при переходе от одних координат к другим, преобразуются. Но, тем не менее, в каждой системе координат эти наборы чисел имеют вполне определённые значения (в общем случае отличающиеся для разных наблюдателей). В зависимости от закона преобразования эти наборы, геометрические объекты, имеют названия, такие, как скаляры, векторы и так далее. Вполне очевидно, что все свойства точки, значения наборов чисел в ней (кроме самих координат) никак не зависят от выбора начала отсчёта координат (да и от любого выбора координат тоже). Т.е. свойства точек от конкретных значений координат вроде как не зависят. Вот тут очень легко смешать две совершенно разные вещи. Свойства точек зависят от конкретных значений координат при условии, что выбрана конкретная привязка координат к этим точкам. Изменение координат в этом случае эквивалентно переходу к другой точке. Когда координаты изменяются при преобразованиях это совсем другой случай, чем тот, когда координаты изменяются при переходе от точки к точке. А это так легко забыть… Особенно с учётом того, что очень во многих курсах математики внимание акцентируется на активных преобразованиях координат, когда сама система координат не изменяется, а изменяется как раз рассматриваемая точка (в случае трансляций) или выбранное направление (в случае поворотов). Активные преобразования как раз увязаны с понятиями однородности и изотропности и с соответствующими законами сохранения. Но смешивать их с пассивными нельзя совершенно, хотя определённая связь между ними имеется. Она оформлена в геометрическом понятии связности. Связь эта заключается в том, что вся группа возможных преобразований пассивных координат повторяется и в связности. Те изменения в процедурах измерений, которые возможны в каждой отдельной точке, точно также возможны при смещении от точки к точке. Но это вовсе не означает, что смещение от точки к точке эквивалентно переходу к иному способу приписывания точкам координат.  Таким образом, выяснить вопрос о наличии или отсутствии однородности можно только с помощью активных преобразований, т.е. смещений из точки в соседние, но не с помощью пассивных преобразований, переходов к иным способам приписывания координат данной единственной точки.

© Гаврюсев В.Г.
Опубликованные на сайте материалы можно использовать при соблюдении правил цитирования.


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

* Copy This Password *

* Type Or Paste Password Here *