Регулярные и сингулярные системы координат

В чём разница между теми и другими? Почему об этом стоит поговорить?

Трудно избежать разговора о системах координат и системах отсчёта, если мы обсуждаем какие-либо проблемы пространства-времени. Да и в обыденной жизни представление самой разной информации в тех или иных координатах самое привычное для нас дело, даже если мы часто и не отдаём себе в этом отчёта. За примерами далеко ходить не надо. Год, месяц, день, час, минута, секунда — что это по вашему? Координаты. Временные координаты. А страна, город, улица, номер дома? Координаты пространственные. Хотите с кем-то встретиться? Никуда не денетесь от того, чтобы как-то описать время и место встречи, причём в форме, понятной и вам и вашему партнеру. Еще и часы сверите, если время для вас важно. Хотите письмо послать – позаботитесь о правильном, известном почте, адресе. Вы же не будете посылать письмо “на деревню, дедушке”. Хотя это ведь тоже координаты. И даже правильные.

Для чего я говорю такие банальные вещи? А чтобы подчеркнуть, что, с одной стороны, системы координат давным давно являются неотъемлемой составляющей нашей жизни, а с другой стороны, требуется довольно-таки аккуратное обращение с ними, чтобы не попасть впросак. Наука с координатами обращается конечно не так небрежно, как мы позволяем себе иногда в обыденной жизни, но и в научном подходе к системам координат остаются кое-какие умалчиваемые вещи, которые людей не очень дотошных иногда могут вводить в заблуждение. Да и дотошных тоже. На всякого мудреца довольно простоты. Причина тому не в злонамеренности математиков или физиков, а в простом факте, что “не совсем хорошие координаты” во многих случаях могут быть чрезвычайно удобными, подходящими для описания того или иного явления. А их “не совсем хорошесть” давным давно вроде известна, ну и что о ней вспоминать? А помнить-то надо. Ох как надо. Часто, если помнить кое-что такое об используемой системе координат, многое может стать понятнее.

Начнем опять с вещей близких, которые представляются понятными каждому. Всё тот же лист бумаги. Проведём на нём прямую линию. Какие системы координат являются регулярными, обычными – допустимыми – на этой линии? Что такое система координат на линии? Для определения системы координат нужна точка, взятая за начало отсчёта, нулевая. И единица измерения, с помощью которой мы в обе стороны от начала отсчёта приписываем координату всем остальным точкам. Как измеренное этой единицей расстояние до начальной точки (которой приписана координата нуль). Имеется на линии и направление, как знак числа, задающего координату. Этот знак указывает, где находится точка по отношению к нулевой – слева или справа. Все системы координат, отличающиеся лишь величиной единицы измерения, выбором начальной (нулевой) точки и выбором положительного направления (налево или направо) являются вполне регулярными, допустимыми системами координат. Они позволяют описать все точки нашей прямой в одинаковой степени полно. А какая система координат была бы в этом смысле недопустимой? Нет таких? Есть. Если мы вопреки здравому смыслу решим выбрать единицу измерения с нулевой длиной, то не получится у нас описать все точки прямой линии. Только одну точку мы сможем описать, начало отсчёта. Да, этот пример весьма далёк от здравого смысла, но я его привёл для того, чтобы заострить внимание на том, что “допустимость” (регулярность) или “не допустимость” (не регулярность, или иначе, сингулярность) системы координат связана именно с отсутствием вырождения данного пространства в пространство меньшего числа измерений только из-за выбора каких-то свойств процедуры измерений, производящей координатную систему. В приведённом примере это вырождение прямой линии в точку из-за неправильного выбора единицы измерения. Сейчас я покажу, что пример мой не такой уж и наивный, как может показаться с первого взгляда. Пусть у нас есть одна хорошая система координат на нашей прямой (т.е. выбраны начало отсчёта, единица измерения и положительное направление). Рассмотрим всяческие иные системы координат на этой линии, которые отличаются от данной только единицей измерения. Если новая единица одна и та же для всех точек линии, и отличается от нуля, то новая система координат тоже будет хорошей, допустимой. А если её величина может меняться от точки к точке? Кстати не такая и странная возможность. Например, нам хочется иметь логарифмическую шкалу на линии. Бывает? Бывает. Вот тут-то и подстерегает нас опасность. Мы должны отслеживать, чтобы нигде на линии новая единица измерения по отношению к старой не превратилась ни в нуль, ни в бесконечность. А если всё-таки в какой-то из точек такое может случиться? Можно использовать такую систему координат? Вроде в остальных-то точках она хорошая? Логарифмическая шкала ведь именно такая! И мы её часто используем. Ответ ясен. Использовать-то можно, но относить её к совершенно хорошим, допустимым, регулярным системам координат нельзя. Это сингулярная система координат. Важно то, что никакая точка линии сама по себе особенной не является. Особенность той или иной точки на линии искусственная, обусловленная специфическим выбором в ней единицы измерения. Поэтому именно система координат названа сингулярной. И об этом нужно помнить. Таким образом, уже в одномерном случае мы встречаем случаи использования не только регулярных, но и сингулярных координат.

Посмотрим теперь двумерный случай. Одна точка выбрана за начало отсчёта. Ей присваиваются нулевые значения обеих координат. Выбраны две ортогональные координатные линии, две единицы измерения, два положительных направления. Вот это и есть наша регулярная система координат. Достаточно очевидно, что если мы нуждаемся в некоторых случаях в неравномерных шкалах, по одной, или по обеим координатным линиям, то среди многих получающихся таким образом координатных систем найдутся и сингулярные в некоторых точках плоскости. Сингулярность которых, как и в одномерном случае, обусловлена вырождением в нуль единицы измерения в этих точках. Однако, в двумерном случае имеется ещё одна возможность вырождения двумерного пространства в пространство меньшего числа измерений за счёт “плохого” выбора процедуры измерений, порождающей систему координат. Довольно часто мы пользуемся не ортогональными системами координат, а такими, координатные линии которых сходятся в точке под некоторым произвольным углом. Такие системы координат иногда называют кривоугольными или криволинейными. Чуть позже я остановлюсь и на других, очень часто употребляемых недекартовых координатах. Сейчас же хочу обратить ваше внимание на очевидный факт. Там, где угол схождения координатных линий обращается в нуль, опять имеет место вырождение. Двумерное пространство изображается как одномерное, всего лишь одной координатой. Потому что нулевой угол между координатными линиями и означает, что линия-то в этом месте всего лишь одна. То есть в такой точке система координат будет сингулярной за счёт того, что вместо необходимых для её регулярности двух различных единиц измерения используется два экземпляра (может быть отличающихся по величине) одной и той же единицы измерения.

Сингулярными в некоторых точках могут стать и вполне обычные, “ортогональные” всюду координаты, не только за счёт “неправильного” выбора величины или направления масштабов, а просто вследствие некоторых свойств самого пространства (вполне регулярных!), не позволяющих описывать всё это пространство единственной регулярной системой координат. Примером такого пространства в одномерном случае может служить замкнутая линия, а в двумерном – сферическая поверхность. Именно замкнутость пространства и является тем свойством, которое препятствует возможности введения единственной регулярной системы координат, накрывающей всё пространство целиком. При попытке же всё-таки обойтись единственной системой координат, все координаты или какая-то их часть приобретают ограниченную базовую область изменения, период. Могут появляться также и особые точки, в которых координаты снова вырождаются, как, например, в полюсах на сфере. Сетка параллелей и меридианов прекрасно работает всюду, кроме двух точек, где параллели стягиваются в точку, имитируя исчезновение одной из двух единиц измерения, необходимых для правильного описания двумерной поверхности. Таким образом, система координат, базирующаяся на описании сферы с помощью параллелей и меридианов (именно та, которой мы пользуемся для ориентации на поверхности Земного шара) по природе своей является сингулярной. Это свойство отнюдь не мешает использовать её вполне успешно в повседневной жизни. А вследствие того, что Земля ещё и вращается, у нас появляется очень привлекательная возможность приписать этим фиктивным особенным точкам, полюсам некий мистический смысл. И даже организовывать экспедиции, чтобы их достигнуть. Потому что, с точки зрения вращения Земли действительно имеются две особенные точки, через которые проходит воображаемая ось вращения. А кроме того, точки эти труднодоступны. Однако то, что полюса системы координат, базирующейся на параллелях и меридианах также помещены именно в эти точки земной поверхности, для самой системы координат факт не существенный. Полюса такой системы координат на сфере вполне могли бы быть помещены в две любые точки, находящиеся на концах одного диаметра.

Посмотрим теперь ещё на один класс сингулярных систем координат, используемый тоже весьма широко. Я хочу поговорить о полярных координатах на плоскости и сферических полярных координатах в трёхмерном пространстве. Эти координаты в физике применяются очень широко. Да и обычному человеку они вполне привычны. Каждый из нас достаточно часто рассматривает себя как центральную точку системы координат, в которой всё что он видит располагается на некотором расстоянии (радиусе) от него, и, возможно, в разных направлениях, которые отмечаются поворотом на некоторый угол от какого-то выбранного направления. Такая система координат сингулярна уже потому, что одна (или две) координаты, углы, являются периодическими, поскольку при некотором повороте (периоде) направление снова совпадает с начально выбранным, от которого и отсчитывается угол поворота. Но в ней имеется и более существенная особая точка, само начало координат. В этой точке, т.е. при значении радиуса равном нулю, все направления вырождаются, их нельзя определить однозначно. Любое направление можно приписать этой точке. По простейшей причине – для однозначного выбора направления нужно иметь хотя бы две точки, а не одну. То, что эта особенность сугубо координатная, обязанная своим существованием только способу построения системы координат, достаточно очевидно. Полярные системы координат весьма полезны и эффективны в тех случаях, когда главную роль играет только расстояние между объектами. По сути дела, это способ описания, который выделенным естественным образом вписывает одномерное описание во внешний мир большего числа измерений. При этом внимание акцентируется на единственной существенной координате – расстоянии, радиусе.

Понимание таких вот свойств сингулярных систем координат позволяет не только избежать неверного толкования некоторых “особенных” явлений в получающемся описании мира. Оно позволяет также и лучше понимать законы природы. Возьмём например закон гравитации Ньютона. Что он гласит? Что между массивными телами действует притягивающая сила, которая зависит только от масс тел и от расстояния. Почему же в трёхмерном пространстве она зависит только от одной величины? В полярных координатах – только от одной из трёх координат? Да по простейшей причине. В приближении Ньютона тела рассматриваются как точки. И если у вас есть только две точки, то у вас на самом деле нет никакого трёхмерного пространства. У вас только одномерное пространство, в котором выделены две точки. А если вы рассматриваете общее движение двух точек, то автоматически получаете плоскость, заметаемую соединяющей их прямой (и один из законов Кеплера в придачу). И всё. В системе двух точек есть только одна существенная координата, расстояние между этими точками. Силе просто больше не от чего зависеть. Соответственно, в приближении Ньютона именно полярные координаты будут особенно удобными для описания, скажем системы, состоящей из звезды и одной планеты. Несмотря на их очевидную сингулярность для трёхмерного пространства. Естественно, при отказе от такого простейшего приближения, при учёте влияния всего остального мира, гравитационная сила в любой данной точке будет определяться уже гораздо более сложной структурой, кривизной пространства (пространства-времени) в данной точке. И полярные координаты, вполне вероятно, перестанут быть более удобными, чем, скажем, декартовы. Хотя бы уже потому, что имеют встроенную сингулярность.

© Гаврюсев В.Г.
Опубликованные на сайте материалы можно использовать при соблюдении правил цитирования.


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

* Copy This Password *

* Type Or Paste Password Here *