Пространство-Время псевдоевклидово в окрестности точки

Почему ?

На этот вопрос можно отказаться отвечать – мир так устроен и всё. Да, мир так устроен. Но ведь мир не знает, что-такое “псевдоевклидово” пространство. Да и мы до Г.Минковского этого не знали. Большинству и сейчас слово это мало что говорит. Так что же стоит за утверждением “Пространство-Время псевдоевклидово в окрестности точки“?

Я постараюсь показать, что за этим утверждением стоит один весьма тривиальный факт, вообще говоря, являющийся не свойством (“законом”) мира как такового, а вполне понятным свойством имеющихся ограничений в возможности описывать этот мир.

Наверное, указание на то, что мы – любой экспериментатор, живой ли субъект, неживой ли объект – не важно – являемся частями мира, но никак не эквивалентны ему как целому, является достаточно общим местом. Но как много следует из этого общего места! В частности, также и то, что мы называем псевдоевклидовостью пространства-времени.

Чтобы лучше понять, что такое псевдоевклидовость , разберёмся сначала, что такое евклидовость.

Понятие о Евклидовом пространстве мы получаем ещё в школе. Для простоты будем говорить о двумерном пространстве, не представляющем проблему ни для воображения, ни для немедленной реализации. Наверное, любой человек в качестве примера области в евклидовом пространстве предложит посмотреть на лист бумаги. И будет прав, но не полностью! На самом деле, лист бумаги является примером вложенной в друг друга иерархии некоторых, более общих чем евклидово, пространствмногообразия, пространства аффинной связности, Риманова пространства, аффинного (линейного) пространства и только уже потом евклидова. Да и то, если только мы уже подразумеваем, что положение точки на листе описывается с помощью каким-то образом определённых координат.

В чем заковыка? Дело в том, что множество точек становится пространством только с помощью указания некоторого вполне определённого способа (способов!) приписывать этим точкам числа – “адреса” – которые позволяют их (точки) различать друг от друга.

Как мы это делаем? Нет ничего проще! Берём прямоугольный треугольник, выбираем на листе точку, называем её началом координат (отсчёта) и проводим через неё две перпендикулярные линии – оси системы координат. Откладываем на каждой из осей от начала отсчёта одинаковые промежутки, скажем, в один сантиметр и готово! Мы сделали евклидово пространство на этом листе бумаги. Из каждой точки можно опустить на обе оси перпендикуляры и приписать точке две координаты – количество единиц на каждой из осей, отделяющих проекцию точки от начала координат. Можно сказать также, что в нашей конструкции через каждую точку проходят две взаимно перпендикулярные оси. Заодно, как доказал Пифагор, мы имеем хорошо определённое евклидово расстояние от нашей точки до начала отсчёта, а вместе с ним и евклидово расстояние между двумя любыми точками на листе бумаги. Хочу подчеркнуть – именно всё вышесказанное вместе делает лист бумаги примером области в евклидовом пространстве.

А если вместо обязательного прямого угла между осями мы разрешаем любые углы (но всегда одинаковые в данной реализации системы координат)? Лист, разлинованый в линеечку с наклоном. Чего проще? Кто постарше, может ещё помнить такие тетрадки для чистописания в начальной школе. Можно? Да конечно можно. Остаётся такой лист примером евклидова пространства? Нет. Это будет уже пример аффинного (линейного) пространства. Более общего.

Раз более общего, значит мы что-то потеряли. То, что есть в евклидовом пространстве и чего ещё нет в аффинном. Что это? Теорема Пифагора и евклидова метрика, иносказанием наличия которой и является теорема Пифагора. Мы потеряли евклидово расстояние между точками. А вот вполне определённое линейное расстояние между любыми двумя точками, т.е. линейную метрику мы пока ещё имеем. Только расстояние вычисляется не с помощью теоремы Пифагора.

А теперь дозволим углам между осями меняться при переходе от точки к точке. Что произойдёт? Наш лист перестал быть примером и аффинного пространства тоже! Но ведь вот он, никуда не делся! Чего же примером он теперь является? Легко догадаться, что примером некоторого ещё более общего пространства – Риманова. А расстояние между точками есть ещё или уже нету? Ещё есть, метрика ещё существует. Но это уже не прежнее линейное расстояние, для вычисления которого достаточно было знать координаты только двух любых точек. Теперь расстояние нужно вычислять интегрируя вдоль пути (т.е. накапливать по чуть-чуть, смещаясь вдоль некоторой линии, ведущей из одной точки в другую). Расстояний оказывается столько же, сколько и путей! Но! Среди всех расстояний оказывается одно – наибольшее (или наименьшее). Путь, который даёт такое расстояние называют геодезическим.

Но оставим пока эту увлекательную дорожку. Она нас уведёт в сторону от нашей цели – псевдоевклидовости. Легко понять, приставка псевдо- означает, что евклидовость как-бы есть. А мы её здесь уже давно потеряли, ещё на первом шаге к свободе. Значит, мы пошли немного не тем путем, когда занялись углами между осями (но иллюстрацию того, что всякое соглашение крайне важно для конечного результата мы получили!)

Итак, углы между осями остаются прямыми! Подчёркиваю – это соглашение, не более! Но что при этом ещё важно – мы имеем практическую возможность придерживаться этого соглашения. У нас есть прямоугольные треугольники. Твёрдые, хорошие, совершенно неизменные прямоугольные треугольники. Правда есть? Правда неизменные? Ну ладно, оставим это тоже “на потом”.

Так что же мы ещё можем легко и сразу поменять в нашей конструкции координат для евклидова пространства? Как что – единицы измерения. Сантиметры, дюймы, локти, сажени. Да и метры и километры – тоже другие единицы, не сантиметры же.

Кто нам велел по обеим осям откладывать одинаковые единицы? Будем всегда по одной оси откладывать сантиметры, по другой дюймы. Во как, согласуем наконец Европу с Англией и Америкой. Имеем право? Да почему нет? Имеем! Вот только…. Да, мы точно кое-что потеряли. И что? Ну конечно, опять расстояние… Причём, теперь уже капитально. Не только евклидово, а и вообще, метрическое расстояние. В самом деле, много ли смысла смешивать дюймы с сантиметрами в какой-нибудь формуле? Ну сложим 5 дюймов с 3 сантиметрами. И что получим? Да, нехорошо. Но отсутствие расстояния в данном пространстве не закрывает возможности описывать точки на листе бумаги и таким образом. Вот только это опять уведёт нас от псевдоевклидовости. Значит, расстояние мы должны сохранить. А это значит, что единицы по всем осям должны быть одинаковы!

Хорошо, единицы по обеим осям выбираем одинаковые. А что тогда освободим? Ну, например, пусть оси будут кривыми, а не прямыми. Ой, опять расстояние потеряем… А если дозволим единицам (вместе, для обеих осей одновременно) меняться при переходе от точки к точке, как было дозволено углам, и что привело к Риманову пространству? Нет, опять расстояние пропадёт. Так что же ещё можно освободить?! Ведь больше ничего не осталось, всё попробовали!

Нет, кое-что мы упустили. И связано это действительно с выбором единиц измерения по разным осям, только посложнее, чем делали мы до сих пор.

Отметим, как нам хорошо, удобно манипулировать листом бумаги. Прикладываем наш треугольник и так, и этак. Поворачиваем его как хотим, переносим. А почему это возможно? Да потому, что треугольник существует вне листа бумаги. Не является частью того пространства, для описания которого применяется. Накладывает ли это какой-нибудь отпечаток на результат? Накладывает, да ещё какой!

То, что единицы измерения находятся вне моего листа бумаги, позволило мне избежать многих оговорок в предыдущих рассуждениях, которые должны были бы неизбежно появиться, если бы я изначально подразумевал, что единицы измерения суть внутренние объекты на этом листе. По сути дела, я впечатывал в этот лист, то что хотел – какие единицы, как они меняются от точки к точке, не заботясь, существуют они там на самом деле такие или нет. Я неявно навязывал в ту область пространства, которую моделировал листом бумаги, определённую структуру, о которой даже и не упоминал. Структура эта называется объектом аффинной связности, имеет смысл скорости относительных изменений единиц измерения, реализующих данную систему координат (в ней же) при смещении от точки к точке. И пространство становится, например, евклидовым не просто потому, что мы не допускаем не-декартовы координаты. А потому, что в нём существуют объекты, которые можно использовать как единицы измерения, производящие декартовы координаты и в которых (в декартовых координатах) вот эта структура, аффинная связность, всюду, в каждой точке нулевая. Что это значит, нулевая аффинная связность? Да очень просто – все эти единицы всюду одинаковы. Т.е. при полностью самосогласованном, внутреннем описании геометрии некоторого пространства, главное – есть ли такие координаты, как нам нужно, можно ли их реализовать внутренними объектами. А нам – в нашем случае, когда на лист бумаги мы наносим единицы измерения извне, такие как хотим – можно всё.

В частности, мы используем треугольник – т.е. сразу оба масштаба вместе, с заданным углом между ними в данной точке и подразумеваемым равенством единиц по обеим осям. Далее, наш треугольник можно переносить без изменения этих соотношений в любую точку листа бумаги и поворачивать как угодно, в том числе, так, что одна ось может быть совмещена с другой (как бы два экземпляра треугольника сразу в одном месте) и единицы их при этом можно сравнить непосредственно. Возможность переносить весь репер (треугольник) без изменения означает, что связность нулевая и пространство евклидово. А возможность поворачивать даёт возможность подтвердить, то что подразумевалось – выбор одинаковых единиц, гарантирует его. А вот если такой возможности (поворачивать) у вас нет? Что будет? Тут-то мы, наконец, и нащупываем тропинку к пониманию того, откуда появляется приставка псевдо.

Представьте себе, что вы живёте внутри этого листа бумаги, вы его часть, линия в нём. И, конечно, вы считаете себя прямой. (По крайней мере, прямее всех остальных. А что? Имеете право, пока не доказано противоположное.) Ваше существование реализует ваше время (не чувствуете связи – время существования – самое привычное словосочетание, не так ли?). Ваше существование – это прямая на (в) листе бумаги. Есть другие прямые. И кривые тоже. Вы даже как-то с ними общаетесь. По крайней мере, иногда пересекаетесь или обмениваетесь чем-то (отправляете некую точку, которая, уткнувшись в другую линию, возвращается назад к вам). Таким образом, вы знаете, что мир ваш двумерен, по-крайней мере. Вы – одно измерение, есть ещё что-то – значит измерений больше одного. Так вы строите образ вашего мира как двумерное пространство. Какое? Ваша единица измерения, ваш масштаб времени всегда с вами и, само собой, вы считаете его одним и тем же во все моменты своего существования. Это реализуемый вами масштаб. Вот здесь уже появилась идея евклидовости. Не заметили? А как же – масштаб то ваш неизменен, один и тот же, по определению. (По вашему определению, но вам-то что за дело, если другие имеют свои определения? Пока вы для себя стараетесь, с другими потом договоримся.) Но измерений-то два! В репере нужно иметь два одинаковых (и неизменных) масштаба. Вот тут вы мне должны позавидовать. Сижу я над листом бумаги со своим треугольником, и в ус не дую. А вам то что делать? Где взять второй масштаб? Нету ведь его на вашей линии и всё тут! Ответ – а придумать. Пусть будет. И не какой нибудь завалящий, а именно такой, как вам нужно – т.е. ортогональный (перпендикулярный) к вашему масштабу времени, и, конечно, постоянный всюду. Хозяин – барин. Что хочет, то и придумывает. Ваш родной, реализуемый масштаб постоянен. А уж придуманный хуже не должен быть. Вот и стал ваш мир (двумерный) евклидовым. Где бы вы не оказались, у вас есть два прекрасных масштаба для его описания. Один временной и один, скажем, пространственный… Что? Ах, вы не везде бываете? Ну ладно, умерим претензии – всё это так красиво только в ваших окрестностях, т.е. мир (его описание двумерным пространством-временем) евклидов локально, в окрестности каждой точки вашего (линии) существования.

Евклидов?! Позвольте, я со своим треугольником могу удостовериться, что мои единицы для обеих осей равны, поворачивая треугольник. А вы так можете? Нет? А почему? Ах, у вас только одна реализуемая единица, масштаб времени. И как вы там внутри листа бумаги не крутитесь, она таковой единственной и останется. Ну никак нельзя совместить реализуемый масштаб с воображаемым. Тот всегда должен быть ортогональным к масштабу времени. Ведь мы его таковым вообразили. И точка. Ну не одинаковые ваши масштабы! И это необходимо признать явно. Не может в вашем математическом образе пространства-времени масштаб времени превращаться в масштаб пространства ни в каком случае. А в евклидовом пространстве может. Как же это можно изобразить математически? Вот тут и появляется псевдоевклидовость. Она и изображает неравноправие масштабов в репере. Их принципиальное отличие друг от друга.

Итак, имеем два принципиально разных масштаба. Значит и соответствующие координаты желательно изображать разными числами. И какой выбор у нас есть? Правильно, действительные и мнимые числа – как раз то самое и обозначают названия, что нам надо. Мнимые=воображаемые. Пусть временная координата будет изображаться действительным числом (измерена реализуемым масштабом), а пространственная – мнимым числом (измерена воображаемым масштабом). Пространство-время обладает свойствами евклидовости в том смысле, что между любыми двумя точками можно определить инвариантным образом (относительно всей группы наших декартовых координат) расстояние, вычисляемое согласно теореме Пифагора: r2=t2+x2

Вот только x здесь число мнимое, а нам это никак не видно. Сделаем запись явной – пусть пространственная координата в явном виде содержит мнимую единицу : ix . Тогда расстояние, вычисленное буквально как евклидово, оказывается фактически иным: r2=t2-x2 поскольку квадрат мнимой единицы даёт минус единицу. Вот и получили мы вроде и евклидово пространство, ан нет, другое – псевдоевклидово.

Хотя использование мнимых чисел напрашивается само, но оно не обязательно, если мы сфокусируем внимание, как это очень часто делается, на сохранении инвариантной формы для вычисления квадрата расстояния с использованием знака минус вместо плюса (чтобы не путать с чисто пространственным расстоянием, его обычно называют интервалом) при преобразованиях координат. Но тогда становится не очевидной разница между пространственной и временной координатами как измеренными принципиально разными масштабами. Ну и, наверное, можно ещё напомнить, что исторически в физике мнимой координатой обычно полагают время. Уж очень мы привыкли рисовать пространственные координаты на бумаге и полагать их действительными. Что как называть, для результата, в общем-то, не так важно, лишь бы интервал вычислялся правильно. Однако, перевёрнутая терминология никогда не способствует лёгкому пониманию существа дела.

Хорошо, выяснили мы, что линии, существующие в листе бумаги и желающие его описывать изнутри, будут вынуждены локально использовать псевдоевклидово пространство как образ своих ближайших окрестностей. Ну а наш физический мир? Да, он посложнее будет, конечно. Нам пришлось придумать себе аж три дополнительных пространственных единицы. А в остальном мы ничем не лучше линий на бумаге и возможности наши не больше. Вот потому-то и мы тоже описываем наш мир локально псевдоевклидовым пространством.

Скажете – неправда все это! Вот, смотри есть у меня хорошие треугольники, чтобы измерять пространственные промежутки! Реализованные предметами из нашего мира. Хочешь – деревянные, хочешь – металлические, а хочешь – пластмассовые. Да? А вы не забыли, что чтобы узнать это самое расстояние, вам нужно посмотреть на два конца метки, изображающей единицу? И между этими событиями пройдёт промежуток времени, как вы не ловчите. А настоящая, не воображаемая единица должна вам давать пространственную координату (где бы то ни было далеко от начала отсчёта) мгновенно, в любой заданный, единственный момент времени. Так что слово “смотри” в вашем утверждении важнее прочих. И его наличие опровергает само утверждение. Не можете вы мгновенно приписать пространственные координаты ничему в этом лучшем из миров.

© Гаврюсев В.Г.
Опубликованные на сайте материалы можно использовать при соблюдении правил цитирования.


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

* Copy This Password *

* Type Or Paste Password Here *