Относительность и Системы координат

Что такое относительность? Может ли описание мира не быть относительным? Как строится система координат? В чём различие между системами координат и системами отсчёта, и есть ли оно?

Относительность. Слово это стало очень знаменитым после создания Специальной Теории Относительности, которая поразила воображение современников. Да и сейчас его прочно связывают с именем Эйнштейна. И уже поэтому представление о том, что же обозначает это слово для многих далеко от ясного. С одной стороны, слово это вполне обыденное. А с другой стороны, две теории в физике, с которыми связывают революционные изменения в ней, напрямую называются теориями относительности.

В физике, в первую очередь, понятие относительности связывают с понятием движения. То, что движение как таковое всегда происходит относительно чего-то, достаточно очевидно. Можно одновременно быть неподвижным (относительно машины, например) и двигаться (вместе с этой машиной относительно дороги). Таково интуитивное понятие относительности движения. При простейшей формализации этого понятия физика пришла к представлению о сложении скоростей двух относительных движений (пример – человек идёт по вагону, а вагон едет по рельсам), которое ещё называют принципом относительности Галилея. В наиболее точных терминах, принцип относительности говорит о том, как надо вычислять физические величины в некоторой равномерно и прямолинейно движущейся системе отсчета по их известным значениям в неподвижной. Именно способ вычисления отличает СТО от предшествующей ей механики. По сути дела роль СТО столь важна именно потому, что впервые по настоящему заострила внимание на этом вопросе. А Общая Теория Относительности включила в рассмотрение и системы отсчета, движущиеся ускоренно относительно друг друга. При этом способ вычисления оказался неожиданно отличающимся от привычного именно от того способа, принятого для вычисления скоростей движения, который практически для всех людей представляется самоочевидным.

Однако, относительность, как понятие, гораздо шире относительности движения. Хотя, конечно, включает и относительность движения тоже. О какой же тогда относительности я хочу вести здесь речь? А хочу я обсудить здесь относительность гораздо более общую, чем та, о которой говорится в ОТО. Сначала немного о вещах обыденных, потом постараюсь перевести всё сказанное на формальный язык математики. В такой форме, чтобы было понятно что речь всё равно идёт о тех же самых вещах обыденных.

Начнём, например, с торговли. Хорошее изобретение деньги. Эквивалентны любому товару. Едешь в другое место, захватываешь с собой денежку, и имеешь там всё что хочешь, любой товар. И всем нам понятны такие вещи как:

  • Цена товара. Может быть разная для разных товаров. Может быть разная для одного и того же товара, но на разных рынках (в разных местах). Выражается некоторым числом. Число тоже может быть разное, в зависимости от валюты, от выбранной денежной единицы. Единицы измерения стоимости товара. Соответственно, следующий пункт в нашем списке –
  • Единица измерения. Может быть выбрана в одном и том же месте разная – рубль, евро, доллар. В разных местах тем более. Существует коэффициент пересчёта из одной единицы в другую –
  • Курс обмена. Отношение одной единицы измерения к другой. В разных местах может быть разным. Коэффициенты пересчёта между разными единицами не обязаны также изменяться ни равномерно, ни согласовано при переходе от места к месту.

Что из всего этого следует? Очень понятные всем вещи. Цена товара, как чистое число, имеет мало смысла. Это число, имеющее ярлык, название единицы измерения, размерное. Оно относительно к единице измерения. А сама единица не единственна. Таких единиц может быть выбрано очень много. Можно и одну. Но для этого нужно договориться со всеми участниками рынка. И такой договор не отменит потенциального существования всех остальных возможных единиц. Назовём всю совокупность всевозможных валют группой валют. В математике выбор валюты назвали бы выбором конкретной системы координат. А всю группу возможных валют назвали бы группой допустимых координат. В данном месте, на данном рынке, может иметь хождение некоторая ограниченная часть валют – подгруппа общей группы. Между ними здесь установлены определённые курсы. Цена товара, как число, вычисляется, исходя из его цены в какой-то одной, произвольной валюте, умножением этого размерного числа на курс. Изменяется цена как число, изменяется размерность (соответствует валюте, единице измерения). Цена каждого конкретного товара на данном рынке не одно число, а вся совокупность этих чисел. Назовём эту совокупность вектором. Но товар часто бывает штучным. Одна булка. Цена булки в разных валютах разная, вектор. Но это всё равно цена одной и той же булки. Количество булок инвариантно, не зависит от выбора валюты (единицы измерения). Назовём это число “скаляр“. Скаляр понятие тоже относительное. Булки – скаляр по отношению к таким единицам измерения, как валюты. И вектор по отношению к таким единицам измерения (никак не связанным с ценой), как ломти хлеба. Нарезать булку можно ведь тоже по-разному, толщина ломтя (единица измерения) может быть разная и может меняться вдоль булки. Соответственно, из одной и той же булки получится разное количество ломтей. И число ломтей будет вектором по отношению к величине ломтя, внутренней единицы на булке. Но по отношению к цене булки, к рынку это будет скаляр. Не совсем такой как сама булка. Выбор ломтя происходит только внутри булки, это параметр на булке. Скалярный параметр для рынка цен. Но ведь булку можно и ломтями продавать. И у каждого ломтя появится цена – цена булки, делённая на число ломтей. И это будет вектор на ценовом рынке.

А рядом ещё один рынок. И на нём договорились обо всём по другому – выбрали другую подгруппу валют, и курсы обмена у них свои, да и цены на те же товары могут отличаться. А вы купец, ездите по разным рынкам и торгуете. Что вам для этого надо? Нужно, чтобы хотя бы часть валют на разных рынках была одной и той же. В математике это требование означает, что оба места (оба рынка, обе точки) накрыты одной системой координат. Тогда вы их можете везти с собой. И уже на новом месте менять в те, которых на старом нет. Этим вы просто расширяете используемую подгруппу валют, единиц измерения. Есть и ещё кое-что очень важное. Вот отъехали вы чуть-чуть, а глядь, один и тот же товар (булка), в той же валюте (рубль) там уже стоит чуть-чуть по другому – дороже. А в долларах, наоборот, дешевле. Ну, как получить на этом доход, я говорить не буду. А вот какой вывод вы для себя сделаете – рубль изменился (усох)? – доллар изменился (потяжелел)? – товар изменился (полегчал или потяжелел)? Да не важно вам это. Проще и правильнее принять, что относительные стоимости, а значит и величины единиц, любых, могут зависеть от места. Зная все эти зависимости вы будете всегда успешно торговать на всех рынках. Зная и принимая относительность цены товара, как числа. Относительность по отношению к единицам её (цены) измерения. Относительность по отношению к месту (точке, рынку). Вот она, истинная, самая общая относительность.

Определённая группа торговцев может договориться, что будет использовать только одну группу валют всюду. И всюду применять одинаковые курсы. И будут называть свой набор валют группой особо правильных, самых важных (инерциальных) систем отсчёта. Внутри этой группы некоторая относительность всё-таки осталась, специальная. Нет ли здесь чего-нибудь вам знакомого из физики?

Физики в отношении измеряемых ими величин (а только такие и имеют непосредственное отношение к реальному миру) это те же самые торговцы. Ну, может быть, более честные, и если и ловчат, то не по злому умыслу.

Измерение является краеугольным камнем, основой всей физики. Да и не только физики, как, надеюсь, показал выше приведённый пример торговли. Любые теории, как бы абстрактны они не были, в конце концов говорят о соотношениях между измеренными величинами. Иногда, измеренными весьма странными способами, но всё равно измеренными. Вот потому-то любые наши описания мира всегда относительны, зависят от тех процедур, которые используются для измерения, для сопоставления чисел объектам мира. Так что та относительность, о которой говорят две теории Эйнштейна, содержится в этой относительности, вполне даже очевидной. Ниже я постараюсь это показать.

Начну с “наивной” конструкции системы координат в пространстве-времени. Ограничимся для простоты всего одним расстоянием, одной координатой для описания пространства. Координату для описания времени нам упрощать больше некуда – она и так одна. Следовательно, если хотите наглядности, речь идёт, например, о двух точечных массах, расстояние между которыми меняется со временем. Весьма обычный случай, я бы сказал простейший для физики. Для изображения этого маленького мирка мы используем лист бумаги. Опять же, чтобы сделать процесс построения изображения (описания движения) как можно более наглядным.

Одну из точек выбираю в качестве тела отсчёта. В какой-то момент времени фиксирую её положение и ставлю точку на листе бумаги – помечаю начало отсчёта. Заметим – я строю на самом деле два описания сразу в системе двух точек, и их образ на бумаге.

Чтобы измерять время мне нужны часы. Часов люди придумали великое множество. Не мудрствуя лукаво, беру какие есть под рукой. Но помню: часов много, хороших и плохих, разных. Я, конечно, уверен, что мои – самые-самые. Идут равномерно. Секунда, единица измерения времени, воспроизводится ими всегда и везде одинаково. Помещаю эти часы на (в) тело отсчёта. Время пошло! А что на бумаге? Выбор времени на одной из материальных точек позволяет описать её существование. Пока вне связи с чем либо ещё. На бумаге я могу провести из начала отсчёта линию, которая и будет изображать существование тела отсчёта во все моменты времени его существования. Какую линию? А любую, лишь бы непрерывную. Можно прямую. Она для меня будет лучше всех – красивее, по крайней мере. Но и удобнее. И вот почему. Как мне помечать разные моменты времени, протекшего от начала отсчёта, на этой линии существования? Правильно, возьму-ка я линеечку с сантиметровыми делениями (ещё одна единица измерения, уже в изображении, на листе бумаги), назову этот сантиметр секундойпоставлю в соответствие секундам, отмеренным часами, сантиметры, отложенные вдоль линии существования. А чтобы линеечку было удобно перемещать (она же идеальная у меня, прямая), линию существования, временную координатную линию, буду рисовать прямую. Имею право! Выбор-то мой. Но помню: линия эта могла бы быть любой кривой. В соответствие секунде я могу поставить не сантиметр, а, скажем, дюйм (англичанин так и сделает). А мог бы вообще расставить точки на линии как мне захочется (почему нет? например, логарифмическая шкала часто используется) и пометить их – 1 секунда, 2 секунды, и так далее.

На бумаге координатную линию времени я определил. А в самом пространстве-времени двух материальных точек, какая она, координатная линия времени? Мне удобно считать, что прямая, с равномерной шкалой. Но ведь это только моё мнение, не более того. Но и не менее. Я так считаю, и точка. Имею право. Другие наблюдатели, которые могут использовать совершенно иные единицы измерения для описания этих же самых материальных точек, могут утверждать, базируясь на собственных измерениях, что моя линия не прямая, и шкала её не равномерна в их измерениях. И они будут столь же правы, сколь прав и я. Каждый наблюдатель, по определению, полагает выбранные им единицы идеальными – равными самим себе всюду, где они используются. Существующими и неизменяемыми. Утверждение это относительно в самом общем смысле – оно верно для каждого с его точки зрения и может быть неверно с точки зрения любого другого.

Итак, единицу времени (заметим, пока только для тела отсчёта!) мы ввели. Введём теперь единицу для измерения расстояния, чтобы приписать вторую координату пространству-времени нашего простого, двух-точечного мирка. Все знают, что для этого служат линейки. Хорошие, жёсткие, прямые линейки с делениями. Пусть одно деление называется метр. А может это быть дюйм, аршин, локоть, фут? Может, почему нет. Помним: единиц для измерения расстояния тоже много, как и часов. Наша конкретная система координат базируется на одной из многих возможных единиц. Так, выбрал линейку с единицей. И что дальше?

А дальше измеряю расстояние от своего тела отсчёта в начальный момент времени до второй точки моего мира. Как? Беру линейку и укладываю (перемещаю) её по линии, соединяющей точки, пока не доберусь до второй точки. По дороге расставляю метки – 1 метр, 2 метра, и так далее. На бумаге я из начала отсчёта провожу ещё одну координатную линию расстояния, где каждому метру в моём мирке ставлю в соответствие один сантиметр (как и секунде!) на бумаге. Какую же линию я должен провести на бумаге? А любую, лишь бы непрерывную. Поскольку мне нравится попроще, да покрасивее, провожу прямую, и не абы как, а перпендикулярно координатной линии времени. Имею право! Но помню: так же, как и для координатной линии времени, координатная линия расстояния могла бы быть любой кривой. И метру можно было бы поставить в соответствие не сантиметр, а дюйм, фут, локоть… И метки 1,2, 3…, можно расставить на линии на бумаге как придётся, а не равномерно.

А какова координатная линия расстояния в пространстве-времени двух материальных точек? Так же, как и в случае с координатной линией времени, удобно считать, что это прямая, с равномерной шкалой и перпендикулярная линии времени. И всё, что сказано по поводу временных координат, вводимых другими наблюдателями выше, полностью справедливо и в отношении измерения расстояния.

И так я делаю для каждого момента времени. Если расстояние между моими точками не меняется, то считаю, что они покоятся друг относительно друга. Если меняется – то движутся. Система координат имеется. Дальше начинается физика движения, его описание. Правда? С системой координат вам уже абсолютно всё ясно? А я ведь умолчал о многих важных вещах…

Откуда в мире двух материальных точек взялись часы? Откуда линейки? Ладно, пусть есть они там, везде, а не только на этих двух массивных точках. А если нет? Тогда ещё вопрос. Как это – переносить линейку вдоль линии соединяющей точки без изменения момента времени, отмеченного часами на теле отсчёта? Вы умеете измерять расстояния повсюду мгновенно? Я нет. Даже на бумаге. Можно считать, что в каждой точке пространства-времени существует линейка для измерения расстояния. И это лучший вариант. Но остаётся проблема тождественности линеек во всех точках. Ещё вопрос. А время в других местах, какими часами измеряется? Теми же самыми, что и на теле отсчёта? Тогда их туда нужно переносить, так? И опять же, мгновенно! А если другими, которые есть опять же в каждой точке, то тождественны ли они все друг другу? Пока не даны ясные ответы на все эти вопросы, пока точно не описано поведение самих единиц измерения при перемещении от точки к точке, дальнейшее описание движения ли, других ли физических явлений, остаётся довольно условным, зависящим от принятых соглашений.

Вот вам примеры. До специальной теории относительности молчаливо полагали, что есть часы, которые в пространстве-времени идут всюду одинаково и показывают для всех наблюдателей одно и то же время сразу во всех точках. Есть линейки, совершенно одинаковые всегда и везде. Можно забыть обо всех других, “плохих” процедурах измерений, использующих не такие часы и линейки. Наблюдатели, их использующие – неправильные наблюдатели. И физика (соотношения между измеренными величинами) у них неправильная, искусственно усложнённая. Правильная, хорошая физика описывается правильными, хорошими наблюдателями, которые пользуются только хорошими масштабами (часами и линейками). Системы координат, ими построенные, называются системами отсчёта. И не просто системами отсчёта, а специальными, особенными системами отсчёта, чтобы отличить их от других – инерциальными системами отсчёта. Наборам масштабов, часов и линеек, дозволено двигаться друг относительно друга равномерно и прямолинейно. При этом они остаются всё такими же хорошими. А другие, не такие системы отсчёта назвали неинерциальными. Революция специальной теории относительности в том и состояла, что поставила под сомнение существование одной из составляющих процедуры построения этой самой инерциальной системы отсчёта. Оказалось, что возможность установить абсолютную одновременность для разных точек пространства фиктивна. Её просто нет. Самые хорошие часы показывают разное время, если движутся друг относительно друга. Факты упрямая вещь, и чтобы они согласовывались друг с другом, пришлось это осознать. Так отдельные пространство, существующее во времени, и время, текущее в каждой точке пространства одинаково, перестали существовать. Они слились в единое пространство-время. Вот только представление о наличии некоторой особенной группы самых хороших систем отсчёта, инерциальных выжило. Вы уже понимаете, что фактически это означает предположение о существовании во всём пространстве-времени особенных часов и линеек, правда теперь не отдельно друг от друга, а вместе, объединённых одинаковой всюду метрикой. Причём весьма специфической, псевдоевклидовой.

В Общей Теории Относительности был сделан следующий шаг. Ещё Галилею было известно, что в гравитационном поле все тела падают с одинаковым ускорением, независимо от массы. Эйнштейну стало ясно, что факт этот означает невозможность найти различие между той самой важной инерциальной системой отсчёта и ускоренной относительно неё системой отсчёта в случае, если эта система свободно падает в гравитационном поле. Оказалось, что такие системы отсчёта не хуже инерциальных. Физика, сформулированная в таких системах координат, построенных произвольно движущимися друг относительно друга наблюдателями, ничуть не хуже, чем та, для которой годились только инерциальные системы отсчёта. Даже лучше, поскольку естественным образом описывает гравитационное поле. Правда, годятся только формулировки, одинаковые для всех систем координат. Вот поэтому и носит эта теория гордое название Общей Теории Относительности. К сожалению, относительность в этой теории всё же вовсе не такая общая, как предполагается. Ведь, как мы видели выше, свобода в выборе систем координат гораздо шире, чем набор произвольно движущихся друг относительно друга выбранных раз и навсегда наборов линеек и часов, связанных некоторым метрическим условием. А условие это, хоть и локально, осталось неизменным. В ОТО всё ещё присутствует предположение о существовании среди всех провозглашаемых равными процедур измерения самых равных, особенных, для которых метрика существует и одинакова во всех точках пространства-времени. Но ведь существование такой метрики – это условие на единицы измерения, не более. Ведь физика должна ещё убедиться, что такие хорошие наборы часов и линеек на самом деле существуют!

А если не существуют? Тогда как быть? А очень просто. На самом деле, для правильного описания мира вовсе не важно, существуют ли какие-то особые наборы масштабов с какими-то заданными, нужными нам свойствами. Уж если быть демократами, так последовательными демократами. Если мы просто будем строить описание, справедливое для любого выбранного набора масштабов, для любого участника рынка, будет ли это ошибкой? Да никогда. Даже если среди ваших валют (единиц измерения), как представляется сегодня, имеется одна, ну такая стабильная и надёжная (на рынке доллар, в физике единицы измерения, реализованные, например, лазерными эталонами), что дух захватывает. Все мы сегодня свидетели захватывающего дух падения доллара по отношению к евро. А думаете лазерные эталоны намного стабильнее? Может быть, может быть… А про эффект Допплера слышали? Или про гравитационное красное смещение? Но если ваше описание мира действительно относительно по отношению к любому разумному выбору масштабов, вам это не важно.

Как строить такое описание? С одной стороны просто. Нужно, чтобы соотношения между числами, измеренными в разных системах координат (разными процедурами измерения), записывались таким образом, чтобы были справедливыми во всех без исключения допустимых системах координат. Такие соотношения в математике и физике называются ковариантными. Кстати, это и есть один из постулатов ОТО. Но есть здесь и подводные камни, а именно, те вопросы которые я задал выше – как оснастить пространство-время необходимыми для измерений наборами масштабов всюду, и как сравнивать результаты, полученные в разных точках

У этой проблемы имеется две стороны. Одна из них, очевидно, подходящий математический формализм. Такой формализм уже имеется. Это математика пространств аффинной связности. Второй стороной, конечно, является физическая интерпретация получаемых с помощью математических методов, выраженных на языке математики соотношений. С ней вы можете познакомиться в книге Измерение и Свойства Пространства-Времени

Остановимся ещё на одном вопросе, заданном в самом начале. В чём различие между системами координат и системами отсчёта? И есть ли оно? Я употреблял оба названия по ходу дела. И мне кажется, что вам должно быть уже понятно, что любая система отсчёта есть не что иное, как некоторая система координат. В физике систему отсчёта традиционно связывают именно с физическими масштабами, которые позволяют проводить измерения. А вот системе координат часто приписывают некоторую произвольность, оторванность от каких-либо единиц измерения. Координаты тогда просто считают произвольными, удобными для использования параметрами. Для того, чтобы показать безосновательность такой точки зрения я и проводил подчёркнуто параллельное построение двух систем координат одновременно в простейшем мирке двух материальных точек, и на листе бумаги. Надеюсь, вам совершенно ясно, что и в системе координат, нарисованной на листе бумаги, так же необходимыми составляющими являются и единицы измерения. Их выбор, сколь бы странен он не был, тоже имеет физический смысл и право на существование. По сути дела, я построил два разных образа одного и того же мира, мира двух точек. И параллельно построил отображение одного образа на другой. О физических соотношениях в описании взаимного движения двух материальных точек можно в равной степени правильно судить по математическим соотношениям, поставленным в соответствие линиям, изображающим существование этих точек в любом из этих образов.

Таким образом, разница между системами координат и системами отсчёта есть не более, чем результат соглашения. При самом общем взгляде на относительность описания мира она исчезает.

© Гаврюсев В.Г.
Опубликованные на сайте материалы можно использовать при соблюдении правил цитирования.


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

* Copy This Password *

* Type Or Paste Password Here *