Дискретное и Непрерывное

Что такое дискретное? И непрерывное? Почему нам нужны обе эти идеи? В каком отношении они находятся друг с другом? И как это проявляется в физике?

Дискретное. Что это такое? Под этим словом мы понимаем нечто прерывистое, состоящее из не связанных никак между собой частей. Части эти представляют собой некоторые целостности, вполне легко отличимые от чего-либо другого. Например, камень и собака. Дальше к идее этого “целого” добавляется идея его не единственности. Несколько камней, много собак. И это уже может быть оформлено как идея множества. Дискретного множества. На этом уровне идея уже может быть оторвана от конкретики, камней ли, собак ли. Далее, и тех, и других можно считать. Так появляется  идея натурального числа, развивающаяся потом до счётного множества. Именно с этими идеями и оказывается в математике связанным представление о дискретности. Каждое число в множестве всех натуральных чисел, с одной стороны, вполне индивидуально, отличимо от другого. А с другой стороны, имеет своё место в этом множестве, все числа выстраиваются в последовательность. Потому что здесь уже незримо присутствует ещё одна идея. Идея упорядоченности, следования. Понятие об упорядоченности для дискретного множества еще довольно эфемерно. Оно внешнее к самим элементам этого множества. Их можно выстраивать то в одном, то в другом порядке. Но в множестве натуральных чисел этот порядок уже установлен. И устанавливается он с помощью операции, действия. Предметы, когда их много в куче, можно добавлять и убавлять. Так в множестве натуральных чисел появляются операции сложения и вычитания. Сложение создаёт порядок по возрастанию, уточняя понятие “больше”. Вычитание, соответственно, поддерживает убывающий порядок. Потом к этим действиям добавляется операция умножения, а потом и деления. Вот последняя-то из арифметических операций и создаёт дорожку, связывающую идею дискретного с совершенно другой идеей, идеей непрерывного.

Непрерывное. Идея непрерывного возникает естественным образом из опыта обращения с достаточно большими твёрдыми телами и жидкостями. Непрерывное тоже можно “прервать”, разделить на части. Только части эти остаются во всем подобными целому. А в случае жидкостей их легко снова объединить и получить тоже первоначальное целое. Причём разделить непрерывное можно в произвольном месте. Ещё больше идея непрерывного проявляется в предметах, которые связывают что-то с чем-то. Например, верёвка, нить, ткань. Потяни за один конец — второй почувствует обязательно.

Если отдельные предметы, как целое, породили идею целого числа, то формализация представления о непрерывном веществе породила идею геометрии. Элементами геометрии стали фигуры, имеющие объём (трёхмерные; каменная плита), поверхности (двумерные, в частном случае плоские; полотно, лист бумаги), линии (имеющие только одно измерение; нити) и точки (вовсе не имеющие измерений). Понятие о точке сформировалось как развитие представления о предмете, все размеры которого исчезающе малы. Понятия о линии и поверхности сформировались тем же путем, только исчезающе малыми становятся два или даже один размер, соответственно. Операции в геометрии тоже имеются. В чём-то идентичные операциям с числами, в чём-то отличающиеся. Дальнейшее развитие геометрии, её срастание с теорией множеств привело к тому, что порядок в последовательности формирования этих понятий изменился на прямо противоположный. В основе всех понятий геометрии, по необходимости, оказалось понятие точки  и поэтому обычное представление о ней как о предмете с исчезающе малыми размерами оказалось мало удовлетворительным. Нельзя вводить понятие с помощью других понятий, которые на этом же понятии и будут базироваться. Ниже я остановлюсь на этом подробнее.

Довольно долго особой разницы между этими двумя идеями, числом и геометрией непрерывного не замечалось. Число как таковое естественным образом вошло в геометрические понятия. Представление об измерении, сравнении, например, длин двух линий, было одним из исходных пунктов при формировании идеи геометрии. Ведь одним из свойств непрерывного как раз и является возможность разделить его на части (в том числе, равные) и, следовательно, говорить о числе этих частей. Да и само объединение предметов в множества по какому-либо признаку уже несёт в себе одну из базовых черт измерения. Речь идёт о выборе единицы измерения. Описывается признак, по которому формируется множество. Например, камень. Это и есть определение единицы измерения в этом простейшем случае. Например, один камень. Подсчёт далее ведётся не абы чего, а именно камней. С другой стороны, предметы, которые мы считаем, даже когда они кажутся весьма далёкими от геометрии, тоже можно ведь иногда делить на части. Эта операция деления расширяет понятие натурального числа, вводит в рассмотрение дробные (рациональные) числа. То, что с помощью рационального числа можно записать результат измерения любого непрерывного отрезка представлялось очевидным до открытия Пифагором несоизмеримых отрезков в одной из простейших геометрических фигур – прямоугольном треугольнике, катеты которого равны единицам. По легенде, Пифагор принёс по этому поводу в жертву богам сто быков. Это было действительно серьезнейшее открытие. Пропасть между двумя идеями, идеей дискретного и идеей непрерывного заявила о себе в полный голос.

Что же это за пропасть? Имя ей бесконечность. Представление о бесконечности появляется уже при формировании идеи натурального числа. Любое последующее число в ряду натуральных чисел можно получить добавлением единицы к предыдущему. Причём делать это можно бесконечное число раз. Предела, по достижении которого придётся остановиться, нет. Эта бесконечность получила название потенциальной, именно в смысле потенциальной возможности беспредельного увеличения количества натуральных чисел. Поскольку непрерывность, например линию, тоже можно представить продолжающейся беспредельно, то такая бесконечность оказывается естественным образом присуща и идее непрерывного. На линии можно расставить через равные промежутки метки и приписать каждой целое число. Таким образом множество целых чисел естественным образом оказывается погружённым в непрерывность линии.  Каждый такой отрезок, единицу измерения, можно снова и снова продолжать делить и так возникают рациональные числа. И создаётся впечатление, что таким образом можно пометить каждую точку непрерывной линии. Но впечатление это совершенно обманчиво. Потому что между любыми рациональными числами, как бы близки они не казались на непрерывной линии, всегда имеется бесконечно много не помеченных точек. И эта бесконечность другая, актуальная. Чтобы пронумеровать и эти точки непрерывной линии и были придуманы новые числа, отличные от рациональных — иррациональные. Их бесконечно много на любом, сколь угодно малом отрезке линии. Именно эта бесконечность и разделяет дискретное множество рациональных чисел и непрерывное множество точек линии, называемое также множеством действительных чисел. Это просто констатация факта различия дискретного и непрерывного, невозможности получить из первого последнее. Это две разные идеи. Для работы с этой актуальной бесконечностью с помощью более понятной и привычной потенциальной бесконечности были выработаны различные методы, в первую очередь, понятие предела. Но надо хорошо понимать, что эти методы не в состоянии убрать эту пропасть, принципиальное различие между двумя идеями.

С другой стороны, некоторое родство между двумя этими идеями имеется и оно довольно прозрачно. Речь идёт о соотношении вложенности. Дискретное очевидным образом является подмножеством непрерывного, вся его бесконечность содержится в непрерывности, вложена в неё. И непрерывное при этом является внешним организующим для дискретного в плане установления и сохранения в дискретном одного и того же порядка. По сути дела, соотношение здесь такое же, как между целостностью и её произвольными частями. Именно это соотношение и проявилось в конечном итоге в физике. Проявилось оно как наличие в физике двух описаний мира, двух приближений, которые дополняют друг друга, и ни одно из которых не может претендовать на полное и исключительное описание реального мира. Речь идёт о классическом (условно говоря, непрерывном в своей основе) и квантовом описаниях мира. Первое базируется на представлении о мире, о вселенной как об едином, целостном объекте. Второе появилось позже, как результат осознания, что даже и при целостности мира, любые наши знания о нём являются знаниями только о его выделенных специфических частях, которые обычно называют событиями.

Здесь  будет полезно вернуться к обсуждению понятия точки и иерархии понятий, связаных с идеей непрерывностей (целостностей) с возрастающим числом измерений. В своём развитии и поисках своего обоснования математика пришла к ситуации, когда в её основе оказалось понятие множества, множества произвольных элементов, единственным свойством которых является свойство их существования. Вне связи с понятием времени! Просто понятие “имеется”, где бы то ни было и когда бы то ни было. И это понятие формализуется под названием “элемент” или “точка”. Понятие времени как раз формируется уже на его основе, добавлением новых свойств в множество таких элементов, организацией упорядоченности в нём. Время рассматривается как последовательность  таких элементов (точек), в которой установлены попарные связи “раньше – позже”. Причинно-следственные связи. Именно наличие причинно-следственных связей между отдельными событиями заставляет нас объединять все эти события в целостность. Т.е. в непрерывность, континуум. В единую Вселенную.

При таком подходе множество событий необходимо отождествляется с дискретным множеством точек, вложенных в непрерывность, обеспечивающую нерушимость имеющихся между ними связей.  Таким образом, представление о точке, с которого начинается также и геометрия, получает вполне ясный образ, ничем не связанный с понятиями размеров (их отсутствия). Понятие “точка” ассоциируется с понятием “событие”. Не требуется никаких иных дополнительных пояснений. То, что большинство событий, которыми мы оперируем при описании мира являются сложными, делимыми на другие события, не играет никакой роли. Естественным образом наши описания мира выстраиваются в череду приближений. В каждом таком приближении события, рассматриваемые как далее неделимые, ассоциируются с математическим понятием, чистой идеей, “точка” . Эти точки, и другие элементы континуума (тоже точки), призванные фиксировать связи между событиями, все вместе становятся образом мира на этом уровне, пространством-временем. Другой выбор “неделимых” событий — другой образ, другое пространство-время, приближённо описывающее мир.

Когда эксперимент дал нам понять, что мы столкнулись с событиями, которые дальше делить не получается, с элементарными событиями, нам пришлось осознать, что такой набор событий можно (и нужно!) описывать не единственным объединяющим их континуумом, а всем бесконечным множеством совместимых с данным набором событий непрерывностей. Так в физику и пришла квантовая механика.

Хочу подчеркнуть, что вопросы типа: “А каков же реальный мир на самом деле, какой из возможных континуумов?”, “Действительно этот континуум один, или мир это все континуумы?” и т.д. особого смысла не имеют. Мир, Вселенная, как совокупность элементарных событий имеется в единственном экземпляре. Всех событий! В нашем прошлом, настоящем и будущем. Никаких мультиверсумов. Наличие причинно-следственных связей между событиями требует от нас считать их вложенными в непрерывность. А то, что описание наше этой непрерывности возможно только бесконечным числом способов это уже свойство не мира как такового, а ограниченности наших возможностей, как частей этого мира.

 © Гаврюсев В.Г.
Опубликованные на сайте материалы можно использовать при соблюдении правил цитирования.


Комментарии

Дискретное и Непрерывное — 3 комментария

  1. Ваши слова “…Мир, Вселенная, как совокупность элементарных событий имеется в единственном экземпляре. Всех событий! В нашем прошлом, настоящем и будущем. Никаких мультиверсумов …”
    При Вашей конструкции мы лишаемся Выбора. А он хоть и сильно ограниченный, но все таки есть. Жаль, но здесь мало пространства общения, для разворота дискуссии. Все Прошлое и Будущее происходят одновременно в моменте СЕЙЧАС. Это точно также, как фигура сечения двухмерной плоскостью, трехмерного конуса, двигающегося через плоскость, есть плоский круг. И если представить, что этот плоский круг есть существо двухмерной плоскости, то оно(существо) существует СЕЙЧАС, но весь трехмерный конус, как его прошлое и будущее, тоже существует одновременно и СЕЙЧАС, как объект следующего измерения. Точно также и последовательность дискретных состояний нашего тела (или Вселенной), от рождения до смерти, есть тело четвертого измерения, которое мы называем Время. Эх! поговорить бы, а не писать. И вроде, так все просто.

    Простите, но Вы оказались в плену очень старой и устойчивой парадигмы вмещающего пространства (и времени тоже). Для Вас “измерение” что-то внешнее для Вселенной. Для меня “измерение” есть результат процесса, который я, или кто-то (или что-то, не важно) применяем для построения образа мира. Число измерений при этом не более чем число опорных предметов или явлений, имеющихся в этом же мире, которые мне требуются, для того, чтобы сделать это описание исчерпывающе полным (но и без того, чтобы описывать что-то более одного раза, т.е. адекватным миру). Разница во взглядах огромна. Ни время, ни пространство как идеи оторванные от мира, самостоятельные для этого не годятся. Об этом я и пишу. А Вы о последовательности состояний Вселенной… Посмотрите статьи “Вселенная как целое” и “Эволюция и статичность Вселенной”, там об этом написано.

    Автор

  2. … “Для Вас “измерение” что-то внешнее для Вселенной”. Не знаю из чего Вы сделали такой вывод. Если по правде, то я пытаюсь говорить об измерениях на Вашем языке, где в большинстве под измерениями понимается степень свободы. Я на самом деле под измерениями понимаю уровень развития Сознания. И те люди, которые заглядывают в прошлое и предсказывают достоверно в какой то степени будущее, обладают более развитым (четырехмерным) Сознанием. Фактически с помощью Сознания они перемещаются по четвертому измерению Времени. Вы не согласны?

    Беда как раз в том, что вроде и слова одинаковые, а смысл в них разный вкладывается. Для меня выражения, Вами используемые, поднимают вопросы к каждому использованному Вами слову. Возьмём “…с помощью Сознания они перемещаются по четвертому измерению Времени…”
    “Сознание” — это что? Как оно позволяет “перемещаться”? “Перемещаться” == “изменять положение, место” (надо ещё указать, относительно чего и как это положение описывается). Какое отношение имеет сложнейшее понятие “сознание” к изменению места?
    А “время”, это что? Дорога, по которой нечто может туда-сюда перемещаться? Так это вот и есть представление о времени как о ВМЕЩАЮЩЕЙ сущности, к миру, событиям отношения не имеющей… Вот отсюда я и сделал свой вывод.

    Развитое сознание конечно штука хорошая. Позволяет и опыт свой и чужой помнить (заглядывать в прошлое), и осознавать что очень многое можно предсказать практически со 100% надёжностью (предсказывать будущее). Вот только с перемещениями оно напрямую не связано (уж простите, перемещения, связанные с удовлетворением желаний сознания, я сюда приплетать не хочу).

    Честно говоря, мне не хочется продолжать дискуссию в этом направлении. Ваши идеи, изложенные на Вашем сайте, мне чужды. Терминология (заметьте, я в каждой статье стараюсь по-возможности чётко определить значения употребляемых слов) не служит выяснению чего бы то ни было, а наоборот, подставляет другие понятия под используемые мною здесь слова. Я готов стараться прояснить тот смысл, который я в них вкладываю, если какие-то мои утверждения представляются непонятными или неверными. В последнем случае, конечно, нужно своё мнение аргументировать. Но разбирать отличие Ваших взглядов от моих на этом сайте я не хочу.
    Автор

  3. Вы цепляетесь к словам. “…с помощью Сознания они перемещаются по четвертому измерению Времени…”. Это ж и … понятно, что под перемещением понимается способность черпать информацию о прошлом или будущем. Поэтому в таком Вашем стиле, конечно диспутировать бесполезно. Но, это Ваш сайт и я оставляю Вас наедине с Вашими заблуждениями.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

* Copy This Password *

* Type Or Paste Password Here *