Об основаниях математики

Почему на сайте о единой теории поля затронут этот вопрос? Что в нынешнем общепринятом взгляде на роль, место и организацию математики меня не устраивает? И, наконец, какое место следует отвести математике, её понятиям, конструкциям и методам в  нашей картине мира?

 

Сначала ответ на первый вопрос. Одной из целей книги “Измерение и Свойства Пространства-Времени”, явно сформулированной во Введении, было выяснение тех причин, которые заставляют нас привлекать те или иные математические конструкции для описания реального мира.  Результатом стала формулировка системы взглядов, которая может быть названа также и теорией единого поля.  Естественно, на языке математики, некоторых её разделов. По большому счёту, это теория множеств, алгебра (комплексных чисел), геометрия, теория групп и функций (как регулярных, так и обобщённых).  В книге для всех использованных математических понятий приводятся обоснования необходимости их применения. Часто эти обоснования весьма кратки, т.к. подразумевается, что читатель уже владеет материалом, по крайней мере, в объёме университетского курса. Здесь я хочу хотя бы в самых общих чертах привести на более доступном уровне те соображения, которые объясняют естественность всех этих математических конструкций для описания реального мира.

Второй вопрос. В процессе создания этой системы взглядов мне пришлось очень внимательно пересмотреть определения, свойства и происхождение всех этих математических понятий. В ряде случаев оказалось, что введены они таким образом, что применение их в физике становится мало естественным, обычно расставляемые математиками акценты затуманивают их физический смысл. Такая ситуация вполне понятна.  Ведь математика давным давно оформилась как самостоятельная самодостаточная наука. Развитие её очень часто шло из внутренних формальных потребностей или просто из любви к искусству. Связь математических понятий с реальным миром сейчас чрезвычайно ослаблена даже в тех случаях, когда она вроде самоочевидна. А уж для понятий выросших на этом дереве  далеко от корней ситуация и вовсе удручающая. Тем не менее мне удалось эти связи восстановить (или установить, поскольку в ряде случаев о таких связях никаких упоминаний в литературе найти не удалось). В  разделе сайта “Мысли вслух” большинство статей посвящены именно изложению моей точки зрения на происхождение и свойства (а значит, на физический смыл) ряда математических понятий. В этой статье я хочу описать, хотя бы вкратце, как вырастает дерево математических понятий из нашего опыта в реальном мире, конечно не всё целиком, а только корни этого дерева. Хочется также обратить внимание на те моменты, изложение которых в учебниках или монографиях, формально верное, оказывается явным тормозом для тех, кто хочет применить такие понятия для описания реального мира. А если их не применять для этого, то для чего вообще они нужны?

С чего мне пришлось начать построение моей системы взглядов? Как это ни странно, начинать пришлось с конца. С формулировки цели физики как науки: “Задача физики как науки состоит в создании как можно более полного и точного (адекватного) образа реального мира“. И если задуматься, ничего странного в этом нет. Чтобы прийти к цели, её нужно осознавать, эта методика применима к любым областям человеческой деятельности. Можно, конечно, и просто куда-то идти. Тоже куда-нибудь придёшь. И, может быть, даже к чему-то полезному. А может и нет. Такой метод в деятельности человечества распространён гораздо шире. В том числе и в научной деятельности. Но это не мой метод.

Мало сформулировать цель. Встают вопросы о смысле всех слов в формулировке. Образ. Что это? Полный и точный. А это что? 

Образ. Фотография годится? Или картина? Или фильм? В общем-то да. Но только как часть целого, иллюстрация, и не более того. Образ мира должен быть сформулирован словами. Что толку, что я или кто-то другой смог создать его у себя в голове. Пока он не стал доступен всем желающим, его, можно считать, просто нет. Следовательно, речь идёт о языке, общем для всех или части людей (ну или иных разумных).

А слова “полный и точный” представляют собой требования к этому языку, или, лучше, к той части языка, которая может и должна употребляться для описания этого образа. Потому что язык как таковый вовсе не обязан быть полным, точным и непротиворечивым. Но для той его части, которая претендует на взаимно однозначное соответствие с реальным миром в целом или какими-то его частями это требование совершенно оправдано. Нет согласованности, полноты и точности — нет и желаемого образа мира, нет теории. Но здесь есть и определённая проблема. Дело в том, что может так оказаться, что мы не будем в состоянии  удовлетворить этим требованиям   во всей их полноте. И это так на самом деле. У полноты и точности доступного нам описания реального мира имеются ограничения. Значит нужно отказаться от декларированной цели? Вовсе нет. Нужно просто быть честным — вот такую степень полноты и точности мы можем достигнуть, а больше — нет, по таким-то причинам.

Необходимой нам части языка, пытающейся соответствовать этим требованиям (пусть долгое время и не сформулированным) человечество выделило специальное название “наука“. И название наиболее продвинутой  на этом пути части науки — математика.

Сегодняшняя математика практически забыла свои истоки и старается иметь дело только с идейной составляющей слов, которые обозначают её понятия. Однако,  в физике такое употребление математических понятий может привести и, как правило, приводит к очень серьёзным проблемам. Вплоть до полной потери связи некоторых модных теорий с реальностью. Да и для самой математики такой подход отнюдь не безвреден. По ходу дела я попытаюсь проиллюстрировать некоторые такие моменты. С помощью любого языка можно сформулировать как верные так и неверные утверждения. И не всегда последнее очевидно (как и первое; если бы это было не так, то не было бы необходимости доказывать теоремы). В особенности, если речь будет идти только об идейной составляющей языка. Если неверное утверждение общего вида особых забот не вызывает — ну неверное, ну и что? То неверное определение, принимаемое без доказательства, на основе которого далее строится какая-то конструкция, не должно появляться в языке, претендующем на полное и точное описание реального мера. Единственный критерий, который я могу предложить для того, чтобы избегать подобных определений, это необходимость давать для каждого определения пример его реализации в реальном мире. И строгое описание тех ситуаций, когда такая реализация возможна, а когда нет. В то же время, вполне может оказаться (и неоднократно оказывалось), что при первом введении некоторых определений в математике найти такие примеры было затруднительно или их просто даже и не пытались искать. А в последствии построенные на этих определениях конструкции доказывали свою полезность при применении к описанию некоторых явлений реального мира. И тут надо понимать, что как раз этот успех и является той самой реализацией, за необходимость которой я ратую. Поэтому “свободное” в этом смысле творчество в математике вполне допустимо. Возможно, что идеи ни на что не годные сегодня когда нибудь и пригодятся, и найдут своё обоснование таким применением. Но в физике или любой иной науке, претендующей на описание реальных явлений все математические конструкции должны иметь ясно описанные примеры реализации. Собственно эта возможность и делает математику отдельной наукой, самодостаточной, а не чисто утилитарной, вторичной по отношению к другим разделам науки. Внутреннее развитие для перспектив применения. Если направление развития угадано, почувствовано верно, то эту ветвь математики ожидает успех.

Деление мира на различающиеся части и обозначение этих частей словами лежит в основе любых языков и любых попыток описать этот мир. Просто потому, что это деление является свойством самого реального мира. В нём есть камни и песок, вода и деревья, разные животные и разные исследователи этого мира. Отсюда берёт начало математическое понятие “множество“. Хотя формализовано оно было только в 19ом веке. Что было сделано в процессе формализации? Было очищено от конкретики базовое понятие об  “элементе“, составляющей части любого множества. Это понятие сводится к единственному свойству любого такого элемента: свойству “существовать”, “быть”, “иметься в наличии”. Всё остальное — неважно. Хочу заметить, что это математическое понятие “существование” значительно отличается от физического понятия существования. Отличие вот в чём. Физическое понятие существования в большинстве случаев означает существование во времени, существование имеет некую длительность. Математическое “существование” никак не связано с длительностью, а связано только с фактом наличия или отсутствия чего-то. Длительность этого наличия уже следующее свойство, на данном этапе формализации во внимание не принимающееся.

Вот тут полезно сделать отступление, посвящённое способу формализации, создания определений, который на мой взгляд следует использовать при построении и изложении математики как науки. На эту тему было и остаётся много споров, имеются философско математические направления обоснования математики, которые часто объединяются под такими названиями как логицизм, интуиционизм, конструктивизм, формализм, аксиоматическое и теоретико-множественное направления. Может есть и другие, на полноту классификации я претендовать не хочу.  Все знают из школы об аксиомах Евклида. Но эти аксиомы, в свою очередь завязаны на такие интуитивные понятия как точка, прямая, плоскость, прямой угол и, может быть, другие. Плохо уже то, что нужно начинать с заметного количества интуитивных понятий. А ещё хуже, когда, например, понятие точки определяется как нечто, не имеющее ни длины, ни ширины, ни высоты. Ещё до того, как сами эти понятия (длины, ширины и высоты) появляются в геометрии. На мой взгляд, гораздо лучше начать с единственного (и самого базового) интуитивного понятия — свойства чего бы то ни было “существовать” или “не существовать”. И конструировать новые понятия, добавляя к этому свойству по одному новому явно описанному свойству, явным образом определяя это свойство. Ну или хотя бы, добавляя достаточно малое число таких свойств, если не получается ограничиться одним. В конце концов, все математики так и поступают, давая определения и формулируя аксиомы. Только ведь и аксиомы без ограничения общности являются такими же определениями свойств, как и любые другие. И большого смысла выделять их в отдельную категорию нет. Именно этому пути я буду следовать при введении тех или иных математических понятий.

Итак, в основе всего понятие “элемент“, его единственное свойство — существование. Я буду употреблять ещё одно слово как название этого понятия, как синоним. Это слово “точка“. Примеры реализации этого понятия в реальном мире искать не надо. Стол, камень, животное, дерево и т.д. и т.п. Всё это вполне подходящие примеры.

Следующее понятие — “множество элементов” или “множество точек“. Добавленное свойство можно назвать словом “количество” различимых элементов в множестве или “мощность множества“. Именно по этому единственному свойству сами множества отличаются друг от друга как множества. “Количество” это второе свойство, отличающее это понятие от базового понятия элемент, точка. Любому множеству присуще и само базовое свойство существования или не существования. И больше пока никаких иных свойств.  Примеров множеств, существующих в реальном мире любой может привести множество. Простите за каламбур. Так что это формализация некоторого свойства именно реального мира, идеи в нём уже имеющейся не зависимо от того, описываем мы мир или нет.

На этом этапе появляется возможность определить ещё один набор математических понятий, отличных и от понятия точки, и от понятия множество. Эти понятия объединяются словами  “операция“, “действие“. Основание для их введения тоже чисто интуитивное, но, естественно, базирующееся на непосредственном опыте, почёрпнутом из реального мира.  Операции проводятся с множествами (и с их элементами тоже, но всякий единственный элемент является множеством, из него состоящим). Операции бывают разные и определяются по конечному результату, по тому, как изменяются множества после применения к ним операций. Например, операция объединения (сложения) множеств. Или операция выделения одного множества внутри другого, выделения подмножества. И другая операция, изъятия его (вычитания). Примеры реализации: есть куча камней; вы добавляете в неё камни или удаляете; или выделяете в общей куче другие кучки. Я не собираюсь строить и описывать здесь все нужные математические понятия, ограничусь лишь частью из них. Той частью, которая полезна для иллюстрации имеющихся в математике связей между её кажущимися не связанными разделами, между ветвями и корнями этого огромного дерева. И ещё эта часть понятий жизненно важна для меня как часть языка физической теории. Их точные формулировки значительно облегчат понимание моей системы взглядов на единую теорию поля. Это важно, т.к. часто за одними и теми же словами кто-то может видеть разный смысл.

На этом же уровне можно уже определить и другие весьма важные для математики понятия. И для всех остальных наук тоже, поскольку математика при её последовательном развитии на базе свойств реального мира становится универсальным, наиболее соответствующим идеалу языком любой науки; или, по крайней мере, частью такого языка, его хребтом. Речь идёт о понятии “отображение” и весьма близком ему понятии “функция“. Оба эти понятия связывают элементы двух или более произвольных множеств, ставят в соответствие каждому или части элементов одного (или более) множества один или несколько элементов другого множества.  В какой-то мере все операции над множествами можно считать отображениями или функциями, просто с различными свойствами, но традиционно в математике проводится различие между операциями и функциями. Примеры реализации: у вас есть несколько животных в хозяйстве; вы повязываете на шею каждому животному ленточку; некоторым, особо своенравным, ещё и колокольчик на эту ленточку. Животные — множество; ленточки — множество; колокольчики — множество. И они связаны друг с другом.

  Понятие функции позволяет легко ввести способы различать элементы в одном и том же множестве, ассоциируя с каждым из них какую-либо метку. Очевидно, что и сами метки будут ничем иным как элементами какого-либо множества. Или элементами множества множеств. Здесь лежит прямая дорога к понятию натурального числа. Это понятие уже появилось, т.к. вторым после существования свойством мы ввели количество, с которым понятие числа тесно связано. Но это понятие пока ещё не формализовано как следует, не описаны все его свойства. А не описаны потому, что понятие числа — комплексное, включает в себя и понятие операций с ними, и понятие отображения, и понятие упорядоченности. Эти понятия все взаимосвязаны. Начинается их увязка с определения специального, особенного множества, в котором имеется только один элемент. Таких множеств допускается больше чем одно. Примеры реализации вы уже имеете. Операция объединения позволяет построить на их базе последовательность, упорядоченную по количеству. Отображение позволяет поставить множеству множеств, реализованному этой последовательностью, множество их мощностей (количеств) и это будет основа множества натуральных чисел. Пример реализации: кучки камней — в одной только один камень; берём вторую кучку из одного камня и добавляем к первой; реализовано второе множество в последовательности; и так далее. А на бумаге при реализации каждого множества рисуем новый значок, уникальный для него. Множество этих знаков является отображением множества множеств. Можно ввести знаки для операций сложения, вычитания и равенства. Равенство это операция устанавливающая взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, и, таким образом, утверждающая совпадения их мощностей. Пусть это будут знаки +,- и =.  А знаками начальных множеств в множестве натуральных чисел будут 1,2,3,4,5. Тогда можно с помощью этих знаков записать связи между этими множествами, сформулированные в определении. Записать формулы: 1+1=2, 2+1=3, 5-1=4 и т.д. Здесь мы тоже вводим новые понятия в математику, и их следовало бы также строго определить и дать примеры реализации. Но всё это уже  перешло в разряд хорошо известных истин и не может вызвать никаких затруднений для людей, умеющих считать. Я не буду пытаться разжёвывать всё на свете. Буду останавливаться только на моментах, которые способны создать о себе ложное представление.

Одним из таких моментов является расширение множества натуральных чисел до множества целых  положительных чисел. Делается это определением понятия “пустое множество“. Конечно, понятие это вводится независимо от понятия натурального числа. Но мне удобнее остановиться на нём именно сейчас. Мы уже определили одно специальное множество среди всех возможных — множество, содержащее один элемент. Оно является кирпичиком, из которых построены все остальные. Все, кроме одного единственного, ещё одного специального — пустого множества.

Пустое множество это такое множество, в котором нет ни одного элемента. То есть определение это явно отрицает само существо определения понятия множество. Полезность этого понятия при формализации операций с множествами весьма велика. Что остаётся, когда мы из некоторого конечного множества удаляем элемент за элементом, и, наконец, удаляем последний? Ничего. Вот это “ничего” и носит специальное название “пустое множество”. Добавить его к другому множеству означает “ничего не добавить”. Если добавить пустое множество к пустому множеству что получится? Ничего, снова пустое множество. Важный момент: если взять “больше чем одно” пустое множество, то результатом будет не множество этих множеств, а всего лишь снова пустое множество. Пустое множество единственно по своей природе.  Пустое множество есть символ отсутствия множества любого другого вида. И только в этом смысле и нужно его понимать. А ведь в литературе вы можете найти описание процедуры построения натуральных чисел только на его основе: одно пустое множество эквивалентно 0 (таков его смысл) и 1 (потому как вроде одно-то множество уже есть), два — двойке и т.д. И из ничего получают что-то. Заметьте, уже в самом начале пустому множеству приписывают два символа. Это прямой путь к абсурду и возможен он лишь вследствие забвения особого смысла этого понятия. В множестве чисел пустому множеству поставлен в соответствие символ 0. И только 0. А в качестве примера реализации в реальном мире можно рассматривать пустую коробку, запретив, однако, явным образом рассматривать несколько пустых коробок. Коробка это контейнер для множества, а не само множество. Несколько пустых коробок это именно несколько коробок, а не несколько пустых множеств и образуют они множество коробок, а не пустых множеств. При всей своей ограниченности интуитивное представление о понятии пустоты такой пример всё же даёт. Если в коробке был какой-то предмет, этой коробкой отделённый от остальных, а потом его оттуда вынули и ничего не осталось. Вычленение, обобщение идеи пустого множества получаем используя произвольные пустые контейнеры, а в конце формализации при должном воображении можно обойтись и вовсе без  них.

Множество натуральных чисел, с одной из его операций — добавлением нового элемента — позволяет формализовать ещё одно важнейшее математическое понятие, идею потенциальной  бесконечности. Идею отсутствия предела в осуществлении операции сложения. А потом и любой другой операции. Здесь оказываются иногда смешанными две разные идеи. Сама неограниченность возможности повторения операции и результат этой последовательности действий. По большому счёту их следует различать. Для второй идеи, как и для идеи пустого множества,  в математике принят особый символ — . Да и название тоже есть — актуальная бесконечность. Поскольку  математика в очень большой степени (хотя и не полностью освободилась от обычного языка) использует специальные символы для своих понятий, то очень часто этот же символ используется и для и указания идеи не завершаемой никогда последовательности операций. В большинстве случаев это не ведёт к проблемам, но всё же стоит быть внимательным, и не смешивать не критично обе эти идеи. Проблемы могут появиться, когда начинают уж очень свободно обращаться с множествами множеств, имеющих сами вот это  бесконечно большое число элементов. Обсуждать проблемы такого рода я здесь не хочу. Но вторая идея весьма близко подводит нас к другому понятию, важнейшему для физики (для математики, конечно, тоже) — к понятию актуальной бесконечности в реальном мире, реализованном в интуитивных понятиях непрерывности, целостности и неразрывности связей, в первую очередь, причинно-следственных.

Прежде чем перейти к обсуждению идеи непрерывности, полезно завершить обсуждение понятия  числа. Как уже мы говорили, происходит оно из потребностей счёта, и его формализация начинается сначала с описания понятия натурального числа, которое с добавлением понятия нуля расширяется до понятия множества целых положительных чисел. Но всем известно, что дело на  этом не заканчивается и практика реального мира потребовала введения отрицательных и рациональных чисел. Введение иррациональных чисел уже тесно связано как раз с понятием непрерывности.

Отрицательные числа можно реализовать примерами реального мира многими способами, в частности, как символы долга. Я предпочту ввести их как расширение возможности выполнения операции вычитания, обратной сложению, т.е. добавлению в множество новых элементов. Ведь возможности как добавлять, так и изымать (вычитать) элемент из множества имеют одинаковые интуитивные основания в реальном мире. Вот только для сложения эта возможность ограничений не имеет, а для вычитания вроде как такой предел есть — если итоговое множество пустое, то что прикажете из него удалять? Явное неравноправие между операциями, казалось бы имеющими совершенно одинаковые истоки как идеи. Это равноправие легко вернуть, если воспользоваться как костылём представлением о контейнерах, в которые добавляются свободные места, куда можно было бы что-то поместить. Конечно такие подпорки, как и в случае идеи нуля, пустого множества, не обязательны. Но составить интуитивное представление об идее помогают. Как и другие аналогичные примеры реализации отрицательного числа. Этот конкретный пример реализации полезен тем, что акцентирует внимание на снятии предела с операции вычитания, она тоже приобретает возможность быть выполненной потенциально бесконечное число раз. Происходит это с помощью расширения понятия числа. Множество чисел, которые теперь называются просто целыми, включает в себя натуральные числа, нуль и отрицательные целые числа. Пример этот также  позволяет  отметить тот факт, что идеи операции и того, с чем эта операция проводится (операнда) хотя и различные, но связаны неразрывно. Одно без другого не определяется. А определением является, как я уже отмечал раньше, перечисление свойств и представление хотя бы одного примера реализации в реальном мире.

Рациональные числа появляются вместе с определением операции деления и, косвенно, сравнения одного элемента (предмета, или его формализованной идеи) с другим. Операция деления как идея имеет огромное количество примеров в реальном мире. Один класс примеров собирает в себе деление некоторого количества  предметов (множества) на некоторое количество подмножеств, не затрагивая целостность элементов, это множество составляющих. В множестве натуральных чисел этому классу соответствует понятие деления нацело. Хочу отметить, что при определении этой операции в множестве чисел, её свойства уточняются, дополняются операцией сравнения. Например, разделить множество из 4х предметов на два подмножества можно многими способами. Но в делении натуральных чисел как определение выбирается единственный такой способ — необходимо ещё, чтобы результирующие подмножества были эквивалентны по мощности (количеству элементов). В числах это звучит как обе половины равны друг другу.  Также и при делении на любое количество подмножеств (частей) — части должны быть равны по определению. Этим отличается операция “деление” в множестве чисел от операции “деление” в любом произвольном множестве. Именно это дополнительное свойство и ведёт к понятию рационального числа. Нельзя, сохраняя требование равенства результирующих множеств, разделить 3 предмета на  двоих. И один тоже. А если обращаться с предметами как множествами, то можно. Например, одному всё, а другому (другим) ничего (пустое множество).  Понятие рационального числа сначала легко вводится при делении даже без необходимости расширения самого множества натуральных чисел. Например, нет проблемы разделить 6 на 3. Получим 3 равных числа, равных 2. Результат остаётся в том же самом множестве. Но как только  мы потребуем, чтобы для всех чисел результат деления оставался в исходном множестве сразу же обнаруживается невозможность удовлетворить этому требованию. Один или два на три не делится так, чтобы результатом было натуральное число. Результатами являются новые числа, не являющиеся целыми. Они получают новое название, рациональные. А натуральные оказываются строго включены в новое понятие. На отрицательные числа операция деления распространяется без проблем. А вот с нулём проблема возникает. Если делить нуль, “ничего”, можно на любое другое число — результат очевиден, по определению пустого множества “ничего”, то есть нуль, и получится. То вот что значит делить на нуль? Эта операция неопределена в множестве рациональных чисел, она запретна. В множестве рациональных чисел не все элементы равноправны для всех определённых операций. Одно из чисел особенное по отношению к операции деления. Я ничего не говорил об операции умножения. Способ её введения как символа для некоторой специальной подоперации сложения хорошо известен. Там ведь тоже фигурирует операция сравнения — складываются равные числа. И то, что операции умножения и деления взаимно обратные показать (определить) просто. Нуль по отношению к умножению никаких особых свойств не имеет. Сколько пустых множеств не складывай, так и будет пустое множество, нуль. А если эту операцию не делаете “ни разу”, то к чему её не применяй, так ничего и не получите, т.е. нуль. Интуитивно ясно. Отметим, что в множестве рациональных чисел операции умножения и деления не равноправны для одного из чисел. Это неравноправие тоже можно попытаться удалить, расширением самого понятия числа. Только нужно подобрать интуитивно ясное (т.е. реализуемое каким-либо примером реального мира) понятие (идею) для результата деления на нуль.

Полезно специально остановиться подробнее на уже упоминавшейся выше операции сравнения, которая особую роль приобретает в физике, как основа всякого позволяющего проверку экспериментом описания мира. А другие описания (не позволяющие проверку экспериментом) мне здесь и не интересны. Операция сравнения выполняется нами весьма часто. И в быту, и в науке. Однако в науке она формализована до предела и сводится лишь к отношениям вида: что-то может быть больше, равно или меньше чего-то другого. Кроме того, возможно уточнение этих простых соотношений в случае отсутствия равенства — во сколько раз одно больше (меньше) чем другое. По сути дела, то самое идееобразующее понятие множества — его мощность, количество элементов (точек) в множестве — и появляется как результат этой операции сравнения. И понятие числа, естественно, тоже. Один момент, очевидный для бытового языка и утерянный математиками, я хотел бы подчеркнуть в этой связи. По большому счёту сравнивать мы имеем право только однородные сущности. Например баранов с баранами, а столы со столами. Только в этом случае результат будет иметь смысл. Однако, в бытовом языке мы можем иначе расставить акценты и сравнение казалось бы несравнимых сущностей может приобрести смысл. Например, если нас интересует только свойство предмета, объекта быть, существовать, иметься (то самое, которое мы выделили как самое базовое, начальное свойство-понятие), то по этому свойству можно сравнивать любые предметы. Скажем, вопрос — “сколько всего предметов в коробке?” — вполне осмысленный для совершенно произвольного набора самых разных предметов. К сожалению, сегодня математика полагает, что она опирается только на это, предельно очищенное от всех остальных оттенков, возможных в реальном мире, понятие и поэтому совершенно не придаёт значения указанному выше ограничению на применимость операции сравнения. А ведь все числа в математике, когда она используется как язык для описания реального мира, безо всякого исключения есть результат применения именно этой операции. И при использовании таких числовых описаний применительно к разным явлениям реального мира забвение происхождения самих чисел может стать фатальным. В экспериментальной физике число появляется в результате процедур подсчёта объектов мира или в результате измерения, т.е. сравнения одного объекта с другим. При желании и подсчёт предметов можно включить в понятие измерения как частный случай, как должно быть понятно из сказанного на эту тему выше. Измерение как законченная процедура (когда она может быть закончена) даёт в результате рациональное число, а целые числа, результат подсчёта, являются подмножеством, частным случаем рациональных чисел.

Остановимся подробнее на рациональных числах, рассматриваемых именно как результат измерения одного объекта другим. Очень долгое время существовало убеждение, что отношение двух любых однородных объектов всегда можно выразить именно рациональным числом. Т.е. полагали, что существует такая пара целых чисел, что это отношение можно записать с их помощью. Например, 1:2, 2:3 и т.д. В этом смысле процедура измерения в части определения такого отношения всегда завершаема, правильный выбор единицы измерения позоволяет закончить процедуру сравнения за конечное число шагов. Поясню, что я имею ввиду. Пусть знаменатель искомого отношения (дроби) равен n, а числитель k. Выберем вместо первоначального предмета, с которым мы сравнивали другой (назовём этот предмет масштабом или единицей измерения) его n-ую долю. Отношение старого масштаба к этому можно записать целым числом n. Но и отношение того предмета, который мы измеряли старым масштабом к новой единице измерения тоже будет записано целым числом, равным k*n. Т.е. сформулированное выше убеждение можно переформулировать как следующее утверждение: для любых двух однородных предметов (частей реального мира) можно найти такую их долю, что отношение обоих предметов к ней будет выражено целыми числами. Отметим, что понятие рационального числа генетически связано с объединением целых чисел в пары и операцией их сравнения.

Убеждение это оказалось неверным. Насколько мне известно, первым это обнаружил Пифагор. Оказалось, что  сделать это для гипотенузы и любого из катетов в прямоугольном треугольнике, катеты которого равны друг другу,  невозможно. Сегодня это открытие расценивают как первый кризис математики.  Оно позволило увидеть, что в реальном мире имеются примеры реализации идеи актуальной бесконечности, реализованной потенциальной бесконечности, бесконечного процесса, доведённого до конца. Не нами. Реальным миром, его частями.

Понятие, которое позволяет прийти к реализации актуальной бесконечности является формализацией, идеализацией множества опытных данных, которые мы объединяем в представлении о непрерывных объектах, все части которых связаны друг с другом. Это не означает, что такие объекты вообще нельзя делить на части. Это возможно, и, более того, это возможно  продолжать и для любых получающихся при таком делении частей. То, что процесс деления можно продолжать потенциально бесконечно и является основным, определяющим свойством самого представления о непрерывном. Простейшими примерами реализации непрерывности являются такие предметы реального мира как верёвка, струна, нить и подобные им. Хочу подчеркнуть вторую сторону непрерывности, на которую обычно не обращают внимания. Идея непрерывности, если её предельно формализовать и очистить от частных её проявлений может быть ещё оформлена как идея связи, связности частей реального мира. Вот в каком смысле. Идея непрерывности как свойство предмета быть бесконечно делимым без утери этого свойства может показаться не соответствующей реальному меру, если принять во внимание, что все имеющие массу покоя массивные тела являются чётко отделёнными от остального мира частями. Хотя и здесь вполне можно аппелировать к представлению о линии существования любого такого тела. Правда нужно будет разбираться со смыслом утверждений квантовой механики об отсутствии вполне определённой траектории для самых малых таких тел, таких, как электрон. Но и там остаются причинно-следственные связи между событиями. Чтобы здесь не вдаваться в эти подробности, обращу ваше внимание на другое (не связанное с наличием массы покоя) проявление связей между частями реального мира. Я имею ввиду те проявления таких связей, которые называют полем. Например, электромагнитным полем. Да, зрительно продемонстрировать такие связи как линейные, поверхностные  или объёмные образования напрямую невозможно. Можно только с помощью вторичных их проявлений (например, опилки выстраиваются вдоль “силовых” линий). Но демонстраций наличия этих связей между, например, двумя магнитами, великое множество. И вот эти-то связи тоже являются реализацией идеи непрерывности. Непрерывность как идея всеобщей связности мира выступает также как оформление представления о мире как едином целом. Целом, в котором имеются самые разные части. Части разные, отделимые определённым образом друг от друга, но при этом взаимосвязанные.   Что с миром не связано (не связано ни с какой частью мира), того в мире и нет. Наш мир не может состоять из нескольких не связных кусков. Чисто дискретное множество частей не может рассматриваться как удовлетворительное описание мира, поскольку не содержит даже намёка на наличие связей между частями. Чтобы описать мир нам необходимо иное понятие, иная идея, которую мы назвали непрерывностью. Эта идея необходимо также включает в себя и дискретное, хотя бы как совокупность произвольно выбранных частей. Новое, непрерывное множество ещё называют континуумом. Математиками разработано много разных способов для работы с континуумом средствами, естественным образом определёнными для дискретных множеств. Естественно, все они опираются на понятие реализованной потенциальной бесконечности, т.е. актуальной бесконечности. В первую очередь, таким  понятием в математике является понятие предела.

Понятие предела, предела последовательности, вероятно впервые оформилось именно как формализация представления о возможности измерения некоторых отрезков прямых, соотношение которых с выбранной единицей измерения не может быть выражено натуральным числом. Ведь в этом случае легко увидеть, что если мы будем дробить единицу измерения, скажем на десять более мелких равных единиц, и повторять эту процедуру бесконечное число раз, то всегда можем получить две бесконечных последовательности (две потенциальных бесконечности), суммы которых будут одна всегда меньше измеряемого отрезка, а вторая больше. Причем разница между двумя этими суммами всегда, на каждом шаге будет равна выбранной для шага единице длины отрезка. А единица эта будет всё меньше и меньше, по сравнению с начальной. В этой процедуре мы рассматриваем четыре отрезка: Один, длина которого принимается за единицу. Второй, который мы хотим измерить этой единицей, т.е. сравнить длины этих отрезков и поставить в соответствие получившемуся результату некое число. И ещё два служебных отрезка, на каждом шаге процедуры сравнения разных. Один, имеющий длину меньшую измеряемого, и при этом выраженную рациональным числом. И второй, на текущую единицу измерения (текущую долю начальной единицы) больше этого, а также просто больше чем измеряемый отрезок, и тоже имеющий длину, выраженную рациональным числом. Такое соотношение между четырьмя отрезками явным образом убеждает нас, что если бы мы были в состоянии продолжать эту процедуру бесконечное число раз, то результат был бы конечным, поскольку он заключён между двумя, сколь угодно близкими рациональными числами. Это убеждение имеет основание в нашем опыте и иных доказательств не требует. Результат, как число, является образом актуальной бесконечности и получил название иррационального числа. Соответствующее место в непрерывной линии (в данном случае это конец измеряемого отрезка) можно назвать точкой, той сущностью, из которых состоит сама линия.  Побочным следствием этой процедуры возникает понимание того, что в сколь угодно малом отрезке непрерывной линии всегда имеется бесконечное (актуально бесконечное) число  таких точек. Ещё одним побочным следствием возникает понимание, что с помощью такой процедуры измерения на любом отрезке прямой можно разместить (поставить в соответствие её точкам) некоторую часть множества рациональных чисел. А если измерять неограниченную прямую, а не её отрезок, то всё множество рациональных чисел можно поставить в соответствие части множества точек прямой. Объединение всех точек неограниченной прямой будет соответствовать объединению множеств рациональных и иррациональных чисел, которое называют множеством действительных чисел. Множеству точек, составляющих непрерывность, с помощью процедуры измерения мы ставим в соответствие множество действительных чисел. Важно понимать, что эти понятия просто описывают некоторые свойства реального мира, а не выводятся из применённой процедуры. Здесь неразрывно сплелись в единое целое две идеи, весьма важные как для математики, так и для физики. Одна идея — это представление о множестве иного типа, чем те множества, которые появляются из простейшей идеи существования. Все свойства определённых ранее множеств в ней присутствуют. Добавлены новые свойства. По этим свойствам множества можно различать: дискретные и непрерывные, континуумы. Свойства эти не сформулированы одним словом, они формализуют набор свойств специальной процедуры, которая реализует примеры новых типов множеств в реальном мире. В физике эту процедуру называют процедурой измерения. Это довольно сложный набор операций, который включает в себя детализацию операций выбора, сравнения, деления и может сам рассматриваться как реализация комплексной операции создания отображения одного множества на другие. Один из таких образов, одно такое множество является, по сути дела, становым хребтом математики, да и физики тоже. Это множество действительных чисел.

Внимательный читатель наверняка заметил, что процедура измерения в её простейшем варианте использовалась нами и при формализации понятия о дискретных множествах. То новое, что появилось, стало следствием уточнения свойств этой процедуры, её обогащения. Процесс этот не завершён. Для нового типа множеств появляются дополнительные возможности. Например, помимо выбора базовой единицы измерения, масштаба, можно выбирать и тот элемент континуума, которому будет поставлен в соответствие такой элемент множества действительных чисел как нуль. Выбирать начало отсчёта на непрерывном множестве. Можно выбирать также и направление на непрерывном множестве, которое будет считаться положительным. Появляются также возможности рассматривать континуумы числа измерений большего, чем одно. И многое, многое другое. Отсюда вырастают колоссальные ветви геометрии, теории групп, алгебры и многие другие. Идеи, их наполняющие, где-то обособляются, где-то пересекаются вплоть до полного совмещения, становясь разными диалектами языка, говорящего об одном и том же.

Я не буду продолжать дальше обсуждение всех этих важнейших понятий. Сделаю только  несколько на мой взгляд важных замечаний.

Современная математика предала забвению те истоки происхождения понятия числа, о которых я говорил выше. В математике мы работаем просто с числами. Выбор масштабов, их реализация объектами реального мира математику не интересует. А зря. Многие понятия было бы гораздо проще усвоить, если бы математики не впадали в снобизм “мира чистых идей”. А уж для тех, кто применяет достижения математики для описания тех или иных сторон реального мира такой снобизм и вовсе не допустим. Пожалуй, стоит кратко перечислить здесь те моменты, которые я считаю важными для изучения, да и для дальнейшего развития математики, как части науки, ну и, конечно, для её успешного применения для описания реального мира:

  • Мир идей существует. Но не как что-то отличное от остального реального мира, отдельное от него. Это неотъемлемая сторона как самой Вселенной, любой её части, так и любого её описания. Просто потому, что описание и есть вычленение, формирование понятий, т.е. “идей”. Всякая “хорошая”, адекватная какому-либо свойству мира (или какой-то его части) идея, будучи законченной является в то же время и ограниченной. В том смысле, что описывает не целое, а часть, одно отдельное свойство или конечный набор свойств.
  • Идеи эти самые разнообразные. Они объединяются в языки. В том числе, в такие варианты языка, как наука и её составные части (диалекты)  математика, физика, биология и т.д.
  • То, что наука и, в частности, математика претендует на адекватность их понятий (идей)  реальному миру обосновано только тогда, когда имеется хотя бы один пример реализации той или иной идеи в реальном мире.  Особенно это касается базовых, элементарных идей, которые кладутся в основу новых направлений в той же математике. И не только, конечно. Совершенно ясно, что все языки, и математика в том числе, позволяют сформулировать как верные, так и не верные утверждения (идеи). Но можно также формулировать такие идеи, верность или не верность которых (соответствие их реальному миру, каким-либо примерам в нём имеющимся) может (и должна) приниматься как аксиома, как вариант возможного. Об этом говорят теоремы Гёделя. Об этом говорит и весь наш непосредственный опыт. Двоичная логика, когда выбор есть только из двух возможностей всего лишь один из вариантов логики, не более того. Все мы знаем примеры ситуаций, когда выбор возможен из произвольного числа возможностей, вплоть до потенциальной бесконечности, а примеры континуума делают эту бесконечность и актуальной. Если рассматривать элементарную идею (аксиому, определение) как перечисление некоторого набора свойств, то теоремы Гёделя говорят всего лишь о том, что такое перечисление потенциально бесконечно. С точки зрения самой такой новой идеи, добавление нового свойства не может быть ни доказано, ни отвергнуто на базе лишь всего предыдущего набора описанных свойств. Единственным критерием “верности” такого нового определения для нас может быть только обнаружение хотя бы одного примера реализации новой идеи в реальном мире. Один единственный пример реализации уже достаточен.
  • В этой связи изложение математики было бы полезно строить на конструктивной основе, создавая новые понятия (идеи, аксиомы) либо на основе уже имеющихся, их различных комбинаций, либо на основе тех явлений реального мира, которые ещё не получили оформления такими идеями.  И всегда примеры реализации каждой такой идеи.
  • Это не запрещает так называемый “свободный полёт мысли”. Он может быть весьма успешным. Более того, наша история даёт огромное число примеров такого рода. Но важно понимать, что успех такого творчества выясняется именно тогда, когда появляется реализация таких “свободных” идей примерами реального мира. Вот только для освоения таких идей широкими массами хотя бы учёных, я уж не говорю о людях далёких от науки, примеры эти жизненно необходимы.
  • В связи с этим, единственным обоснованием осмысленности и непротиворечивости как математики, так и других разделов науки может быть только соответствие их идей реальному миру.

В конце хочу ещё раз подчеркнуть, что считаю представление о существовании мира идей, в особенности, собранных под названием “математика”, как мира совершенно независимого от реального мира порочным и тупиковым, “идеей неверной”. Не уверен, кто был основоположником этой идеи, возможно Платон. Но и сейчас она довлеет над очень многими умами. Например, она является одной из ведущих идей Р.Пенроуза, что хорошо изложено в его книге “Путь к реальности, или законы управляющие Вселенной. Полный путеводитель.”

© Гаврюсев В.Г.
Опубликованные на сайте материалы можно использовать при соблюдении правил цитирования.


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

* Copy This Password *

* Type Or Paste Password Here *