О названии Единая Теория Поля

Почему такое название?

Сначала Теория.


Понятие “теория” кажется сравнительно простым. Слово это объяснять практически нужды нет. Оно, видимо, понятно всем. Но всё-таки, для того, чтобы подчеркнуть некоторые важные моменты, стоит дать определение. Тем более, что сегодня в физике имеются примеры, когда теориями называют построения столь от этого понятия далёкие, что оторопь берёт (“теория” суперструн, например).

Теория в физике (не в математике) – это, желательно, полностью самосогласованная система взглядов, объясняющая некоторую совокупность фактов и/или явлений реального мира. В основу теории обычно положено некоторое количество определений и соглашений, желательно, в явном виде. В идеале все они не должны противоречить друг другу. Кроме того, должны быть очерчены методы и терминология, которыми пользуется теория. В науке это, по необходимости, методы логики и математики.   В действительности, многие успешные в своей области теории не следуют этому определению полностью. Но такие моменты являются их слабыми местами и, в конечном итоге, наличие таких отклонений приводит к необходимости их модификации или даже замене другими теориями. Тем не менее, наличие всех трёх составляющихсистемы определений, правил работы с определёнными в теории понятиями и, что чрезвычайно существенно для физики, соответствия этих понятий некоторому кругу фактов и явлений реального мира, является определяющим для того, чтобы можно было говорить о некотором, пусть и математическом, построении как о физической теории.

Потом Поле.


Это понятие гораздо менее ясное. В физике не может быть “просто поле”. Это всегда поле чего-то. Слово “поле” в физике всегда подразумевает распределение чего-то в чем-то. Т.е., прежде всего, должен присутствовать носитель, например, пространство-время, элемент которого обычно называют точкой. Если нечто иное, какая-то другая величина ассоциирована с точками носителя, существует в них (не обязательно во всех), тогда и говорят о поле этой величины над пространством-временем. Соответственно, теория поля по умолчанию подразумевает теорию распределённых величин. В физике имеется много полей разных величин. Но когда говорят о теории поля, подразумевают всё-таки поле вполне конкретной величины – поле силы. Точнее, поскольку силы в физике бывают разной природы, разные поля этих сил.

 

И, наконец, Единая.


Слово “единая” подразумевает некую целостность. Что же оно может означать в применении к теории поля? Сегодня чаще всего, в этот термин вкладывают то, что все поля (различных сил, или, используя другой термин, взаимодействий) должны описываться теорией с одинаковых позиций, одними и теми же методами. Уменьшение числа полей в теории вплоть до единственного желательно, но не обязательно. Изначально же стремились построить теорию именно единственного поля, такого, что все известные являются лишь его частными случаями при определенных условиях. Довольно часто, поэтому, название использовалось другое – Теория Единого Поля.


Ну вот, слова по-отдельности вроде прояснили. А теперь – что они значат вместе. И это уже сложнее. Потому, что разные люди вкладывали в это словосочетание достаточно разный смысл.

 Исторический экскурс.

К единству описания мира физики стремятся, и не без определённого успеха, уже очень давно. На протяжении девятнадцатого века ранее практически мало связанные разделы физики, такие как теория теплоты, теория электричества, теория магнетизма, оптика все становились лишь разделами единой теории. С пониманием того факта, что все явления тепло-газо-гидродинамики всего лишь проявления взаимного механического движения составляющих тела частиц, на роль всеобщего фундамента физики всё больше претендовала механика. Теория электромагнетизма, поглотившая оптику, оставалась пока отдельным куском мозаики, который не удавалось интегрировать в общую механистическую картину мира. В таком же положении находилась и теория гравитации. Особняком стояла теория пространства и времени. И тому и другому Ньютоном было отведено особое положение безучастной арены, на которой разыгрываются все игры физики. Надо сказать, что с самого начала в таком особом положении пространства и времени высказывались сомнения. Но мы не будем вдаваться в детали. Этот исторический экскурс мне нужен здесь только для того, чтобы проиллюстрировать тот факт, что вынесенная в заголовок теория всегда была целью физики как науки.

На рубеже 19-го и 20-го веков произошёл сначала синтез пространства и времени в единую конструкцию (инициированный, как ни странно, реалиями теории электромагнетизма), а потом в неё же оказалась интегрирована и теория гравитации. Получившаяся конструкция поглотила также и механику точки, как таковую. Трудами многих учёных, в первую очередь, Больцмана, было сначала заложено а потом практически в общих чертах построено здание теории сплошных сред во всех её проявлениях на базе механики и статистической физики, которая является образом мышления, методом и ни в коей мере не конкурирует с собственно механикой, как основой, фундаментом этих разделов физики. Хотя и там до сих пор осталась одна величина важнейшего значения (энтропия), смысл которой не во всём ясен, несмотря на значительное продвижение в этом направлении. Так ведь и в самой механике самые основные понятия, такие, как масса и действие, например, тоже сохраняли (и пока сохраняют) налёт мистицизма. Таким образом, казалось, осталось объединить только теорию гравитации (так теперь обычно называют объединённую теорию пространства-времени с гравитацией и механикой) и теорию электромагнетизма. И та и другая теории на тот момент были вполне сформированными теориями поля. В одном случае теория поля тяготения, в другом – электромагнитного. Вот к этому времени и восходят, по-настоящему, термины “Единая теория поля” и “Теория единого поля“. Речь шла об объединении гравитации и электромагнетизма. О желании описать оба эти поля как проявления одного единственного. Широко известно, что А.Эйнштейн потратил на эту задачу большую часть своей жизни без видимого успеха. Да и не только он этим занимался, конечно.

В то же самое время выяснилось, что методы и представления классической механики, столь успешно работающие в макро- и мега-мире, терпят фиаско при описании явлений микромира. Для объяснения нового круга явлений была создана квантовая механика. Одним из побочных продуктов её рождения и развития оказалась дальнейшая интеграция казавшихся независимыми кусков мозаики нашего знания в общее здание науки. По-сути дела, химия и вместе с ней и биология стали просто разделами физики. Весьма специфическими, со своими специальными терминами и методами, но возможность, в принципе, прийти к любому понятию этих наук, начав с квантовой механики, не вызывает сомнений, хотя и является трудной задачей.

К середине, а скорее ближе к концу 20-го века развитие теории микромира прошло длинный путь, на котором были обнаружены новые виды взаимодействий, отличные от гравитации и электромагнетизма, и теория последнего была интегрирована естественным образом в получившуюся конструкцию квантованных полей. Очень многие методы теории пространства-времени нашли своё место в квантовой теории, можно сказать, без них она вообще не могла бы существовать. Но! Теория гравитации, т.е. общая теория пространства-времени, известная под названием Общая Теория Относительности (ОТО) и теория квантованных полей остаются отдельными зданиями в физике. Более того, кажется, что и фундаменты у них не совместимы друг с другом. И это составляет хорошо осознаваемую проблему.

Давайте посмотрим, что в современной физике представляется достаточно завершённым, и какие проблемы остаются.

Физика сегодня предлагает две основных группы описаний мира – классическое описание (приближение) и квантовое описание (приближение). Часть используемых понятий является общей для обоих приближений, хотя некоторые из них могут приобретать в каждом случае определённые специфические черты. Другая часть понятий является полностью специфической для каждого приближения и не применима в другом. Имеется также ряд процедур, связывающих оба приближения. Нельзя сказать, что квантовое описание является полностью независимым от классического, и второе получается просто как некий предельный случай первого. Это будет полностью неверно. Само квантовое описание невозможно без наличия классического, поскольку содержит в себе его неустранимые компоненты. А именно, систему отсчёта, которая может быть только классической. Квантовых систем отсчёта просто не существует.

В связи с такой ситуацией начнём с классического приближения. Мы не будем вдаваться в подробности. Здание физики огромно и имеется множество взаимосвязей, как “по вертикали”, так и “по горизонтали”. Нас интересует только его фундамент.

Фундаментом классического (всех классических) приближения являются теории двух полей – электромагнитного и гравитационного. Причём гравитационное поле неразрывно связанное и с образом пространства-времени, имеющимся в теории, является в определённой мере одной из естественных структур пространства-времени, рассматриваемого как 4х-мерное пространство. Чисто геометрической структурой. Электромагнитное поле до сих пор представляется структурой инородной для пространства-времени. Это первая нерешённая (очевидная) проблема классической теории. Но на самом деле она отнюдь не исчерпывает все проблемы классической теории, мешающие считать её “хорошей” теорией. В каком смысле хорошей? В том смысле, о котором мы говорили в самом начале – ни теория электромагнетизма, ни теория гравитации не являются замкнутыми самосогласованными теориями, с явным непротиворечивым определением своих основных понятий.

Как ни странно, одним из таких понятий для обеих теорий является понятие массы. Вы нигде не найдете определение массы, которое не опиралось бы на понятие силы, и определение силы, которое не опиралось бы на понятие массы. При применении теории электромагнетизма, максимум, что можно определить для произвольной частицы вещества – это отношение заряда к массе. А для теории гравитации, ОТО, масса является не определяемым, внешним для пространственно-временных структур параметром, который сам при этом определяет структуру пространства-времени. Соответственно, и весь круг связанных с массой важнейших для физики понятий (энергия-импульс, действие и т.д.) оказывается висящим в воздухе.

Поскольку пространство-время, являясь предметом одной классической теории, служит также ареной для другой теории, то нужно отметить, что одно из основных понятий теории пространства-времени, представление о его локальной псевдоевклидовости, носит характер постулата, данности. Конечно, это допустимо для теории, но последнее ли слово сказано по этому вопросу? Нельзя ли для этого постулата найти достаточно простые и понятные причины?

Ещё одну проблему можно выделить отдельно. Одна из величин, вторичных по отношению к массе (энергии), действие, является отнюдь не вторичной по своему положению в обеих классах теорий. Наоборот, в стандартном сегодня построении этих теорий, действие, вместе с принципом его стационарности, является главным, а может быть и единственным, формирующим обе теории фактором. А объяснения, почему эта величина играет такую огромную роль не имеется. А значит не имеется и ясного понимания, каким это действие должно быть. Для теорий квантованных полей сегодня самое обычное дело — выбор действия (посредством выбора лагранжевой плотности, которая интегрируется для получения собственно действия) делается тем или иным автором по его собственному вкусу. А выбор этот, в лучшем случае, обосновывается правдоподобностью (той или иной степенью совпадения с экспериментом) полученных результатов.

Таким образом, желательно, чтобы единая классическая теория поля предложила бы описание как электромагнитного, так и гравитационного поля с единых позиций, показав как их общность, так и определённую независимость. Желательно также, чтобы она имела более прочный фундамент, чем теория Максвелла (электромагнитного поля) и ОТО (пространства-времени и гравитации) в части определения явного смысла отмеченных выше понятий. Да и всех других тоже. Также достаточно очевидно, что обе теории, и Максвелла и Эйнштейна, подтверждены огромным массивом нашего опыта, и должны являться неотъемлемыми частями единой теории. Но им нужен общий надёжный фундамент.

Если мы перейдём к современному состоянию квантового описания, то можно сразу же опять указать на отмеченные выше проблемы отсутствия чётких определений тех же самых фундаментальных понятий. Эти проблемы являются общими для всех приближений. Но в квантовом описании имеются и свои дополнительные проблемы, также находящиеся в самых основаниях этого круга теорий. Одна из проблем появилась с самого начала, вместе с аппаратом первоначальной квантовой механики. Достаточно грубо её можно назвать проблемой интерпретации одного из основных инструментов – волновой функции, так называемой амплитуды вероятности. Что такое вероятность понятно людям достаточно хорошо. Вот только очень трудно в любом описании вероятности найти место для её “амплитуды”. Ясно, что это определённый жаргон, используемый при указании способов расчёта вероятностей тех или иных квантовомеханических ситуаций. Действительная проблема для понимания состоит в том, что, в отличие от классического приближения, уравнения движения применяются не к самим физическим величинам, а именно к этим самым амплитудам вероятностей. И поля сегодняшней квантовой теории это как раз и есть поля этих самых амплитуд. Не больше и не меньше. Мы уже достаточно хорошо умеем с ними работать. Но вот физический смысл их пока ещё сравнительно иллюзорен. Теория опять ушла далеко вперёд, оставив в своём тылу важнейшую проблему интерпретации своих основ. Проблема “коллапса волновой функции” в результате измерений и другие связанные с ней вопросы интерпретации основных понятий теории остаются до сих пор на повестке дня физики.

Так или иначе, но современная квантовая теория претендует на многие характерные черты единой теории поля. Имеется единое (хотя и с довольно большим числом свободных параметров) описание электромагнитного и слабого взаимодействий. Имеется хорошо понятный путь от квантового описания электромагнитного поля к классическому. Имеется аналогичное по методам описание сильных взаимодействий (хотя и не имеющее ещё хороших рецептов как толком производить необходимые вычисления), что позволяет уже довольно давно говорить о “великом объединении” описаний электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Всё это сформулировано достаточно ясно в рамках так называемой стандартной модели взаимодействий элементарных частиц (заметьте, не теории, модели!). Вот только никак не удаётся включить в эту схему гравитационное взаимодействие. Огромные усилия прилагались и прилагаются для создания так называемой теории квантовой гравитации. Но без успеха. О том, как видится эта проблема сегодня другими физиками, вы можете прочитать в статье одного из создателей “стандартной” модели элементарных частиц, лауреата Нобелевской премии Стивена Вайнберга.

Чего же ожидают в этом плане (в квантовом приближении) от единой теории поля? Общее мнение состоит в том, что не хватает именно квантового описания гравитации.

Всё выше сказанное относилось к выяснению смысла, стоящего за словами, которыми назван этот сайт. Перейдем к вопросу – а почему он так назван? Может ли система взглядов, развиваемая автором сайта, претендовать на звание единой теории поля?

Скажу сразу. Я не собираюсь в этой короткой статье давать полный и всеобъемлющий ответ на такой вопрос. Этой цели служат книги и вообще всё, что опубликовано и будет опубликовано на этом сайте.

Здесь я коснусь только проблем, на которых заострил внимание выше. Да и то только в том плане – предлагаются ли для них какие-либо решения. А судить о том, хороши эти решения или плохи, вам.

Классическое приближение. Объединяются ли гравитационное и электромагнитное поля в различные характеристики структуры, естественной для пространства-времени? Поле чего предлагается считать единым полем физики?

В теории, основы которой уже опубликованы в книге “Измерение и Свойства Пространства-Времени” (первая часть, “Основания и классическое приближение”, в 2004 году; в 2010 году во втором издании дополнена второй частью, “Квантовое описание”) , пространство-время ни в коем случае не является ареной для  физики. Оно само, как математическая конструкция, рассматривается как изображение, описание мира (одно из возможных). Т.е. миру  как целому (Вселенной) ставится в соответствие математическая конструкция — пространство-время. Процедурами сопоставления элементам мира (физическим объектам) математических величин, формирующих пространство-время как математическое понятие, являются процедуры измерения. Единицы измерения, будучи сами частями мира, а не внешними к нему атрибутами, играют, следовательно, определяющую роль в результирующих свойствах математического образа мира. Та структура, которая описывает поведение единиц измерения, поле аффинной связности и становится единым полем физики при таком описании мира. А то, что принято называть “законами природы”, оказывается при этом либо очевидными соотношениями, следующими из базовых определений, что есть что (тождествами), либо записью ограничений на те процедуры измерений, которые нам реально доступны.

Вкратце:

  • Математическое понятие, поле коэффициентов аффинной связности, имеющее физический смысл скоростей относительных изменений масштабов в текущей процедуре измерений, тождественно физическому понятию потенциала единого (единственного) поля. Естественная целостность этой структуры очевидна.
  • Поле тензора кривизны соответствует полю напряжённостей единого поля. Соотношение между аффинной связностью и кривизной точно таково, как и между потенциалом и напряжённостью физических полей. Последние являются определёнными комбинациями частных производных первых.
  • Кривизна имеет две свёртки, одна известна как тензор Риччи, а другая, представляющая собой антисимметричный тензор, имеет структуру в точности соответствующую тензору напряжённостей электромагнитного поля. Поэтому вторую свёртку естественно называть тензором Максвелла. Эти-то интегральные компоненты кривизны (и независимые друг от друга, и связанные тем, что являются “дочерними” для одной и той же более сложной структуры!) и являются напряжённостями двух классических полей – гравитационного и электромагнитного.
  • Теория Максвелла воспроизводится при этом в полном объёме. Теория Эйнштейна, ОТО, тоже. Но для последней теории, при практически полном повторении математического аппарата, приводится несколько отличная от общепринятой интерпретация. Кроме того, очевидными становятся ограничения её области применения и, вместе с этим, утрачивают значение её известные трудности (нелокализуемость гравитационной энергии, сингулярность Шварцшильда).
  • Такие величины как действие, масса (энергия-импульс), заряд(ток), да и любые другие, изображаются вполне хорошо определёнными на пространстве-времени геометрическими величинами. При этом действие, отождествляемое с числом событий на линии существования выделенного объекта (масштаба, или иного) является формообразующей величиной теории, её безусловным инвариантом, что формулируется как принцип стационарности действия при вариациях потенциалов единого поля – коэффициентов связности пространства-времени. Действие для отдельной частицы и для некоторой выделенной области естественным образом оказывается интегралом Лагранжиана (для области — лагранжевой плотности). Произвола в выборе Лагранжианов  нет, это вполне определённые математические конструкции, порождаемые связностью.
  • Пространство-время является локально псевдоевклидовым (на траекториях физических объектов) потому, что таковы доступные для его описания процедуры измерений, а не по каким-то неведомым причинам.
  • Помимо хорошо известных гравитационных и электромагнитных явлений, в классическом приближении могут иметь место и явления, обусловленные отличием от нуля поля кручения. (Кручение как таковое используется нами в быту весьма широко — например, всяческие пружины, шурупы, гайки с винтами, пропеллеры, турбины и пр., т.е. все вещи, в которых оборот не замкнут, а дополнен линейным смещением. Математическое понятие “кручение” является пределом этого понятия при стремлении к нулю радиуса оборота, тогда, когда линейная часть смещения при этом в чистый нуль не обращается.) Наиболее вероятное их проявление в сегодняшних экспериментальных данных — те явления, которые инспирируют спекуляции на тему “тёмных” материи и энергии.

 

Квантовое приближение. Является ли такое описание естественным и необходимым в предлагаемой системе взглядов? Находят ли в предлагаемой теории своё место  феноменологические результаты и те направления развития существующих квантовых теорий, которые к настоящему времени выглядят наиболее продуктивными?

Детальный анализ образа мира, получающегося в результате измерений, показывает, что даже в классическом приближении, несмотря на всё наше желание, результирующее пространство-время не может быть фиксировано единственным образом. Изображение мира – не единственное математическое пространство, а некоторый класс пространств. Это можно переформулировать как утверждение, что связность как функция точки в пространстве-времени (рассматриваемом на этом уровне просто как множество точек) не является строго определённой, а принадлежит к некоторой группе функций. В классическом приближении эта группа функций определяется по принадлежности к ней непрерывных траекторий физически реализуемых масштабов. Квантовое приближение возникает тогда как расширение этой группы за счёт уменьшения ограничивающих условий — требуется только принадлежность определённых точек с траекторий масштабов, событий, а не всей непрерывной траектории.

Это происходит потому, что реализация любого масштаба времени как последовательности событий, и то, что доступные нам события при их детализации в конечном счёте всегда дискретны, приводит к большей чем в классическом случае неопределённости класса математических пространств, изображающих мир как пространство-время. Поскольку события являются синонимом действия, то квантованность (дискретность) именно действия в такой системе взглядов больше не нуждается в обосновании. Таким образом и возникает необходимость квантового описания в том случае, когда предметом исследования становятся явления, содержащие не слишком большое число событий. Когда эти события нельзя рассматривать как непрерывную последовательность, даже приближённо. Между классическим и квантовым описаниями нет никакой пропасти, это совершенно очевидный вопрос выбора правильного приближения.

Систематическое развитие методов работы с группой пространств-времён, необходимых для изображения мира в квантовом приближении проведено во второй части книги “Измерение и Свойства Пространства-Времени”. В ней обсуждается происхождение из геометрии (фактически из потенциальной зависимости от точки пространства-времени используемых в процедурах измерений масштабов), структура и необходимость в этих условиях такого квантовомеханического понятия как вектор состояния. Показано, как естественным образом возникает формулировка Фейнмана квантовой механики (интегралы по траекториям). Выясняется, почему элементарные частицы описываются как представления различных групп пространственно-временных преобразований в пространстве состояний. И как по необходимости появляются в теории расслоенные пространства и калибровочные поля. Точно также рассмотрено, как среди всех представлений в пространстве состояний оказываются выделенными и специальные унитарные группы и, таким образом, проясняются основания нынешней стандартной модели классификации фундаментальных частиц.

Важнейшим моментом и классического и квантового приближений в таком изложении представляется изначальное понимание, что речь идёт об описании мира. То есть, предметом теории является изображение мира, которое может быть отнюдь не единственным, и в чём-то всегда является ограниченным. В каких-то ситуациях можно делать точные утверждения, в каких-то – только вероятностные и пропасти между этими ситуациями нет. “Амплитуда вероятности”, а лучше, “вектор состояния”, который позволяет вычислять вероятности, естественным образом подчиняется некоторым уравнениям. И, поскольку является атрибутом информации, а не базовой физической величиной, не создаёт никаких проблем при интерпретации. Например, при интерпретации такого известного парадокса как “коллапс волновой функции”.

Между квантовым и классическим приближениями нет никакой принципиальной разницы, оба являются описаниями пространства-времени. Те поля, о которых в теории идёт речь, в обоих приближениях являются естественными для пространства-времени структурами.

Вопрос о квантовой гравитации вообще при этом не возникает, поскольку становится совершенно понятным классический и только классический характер этого поля.

Перечислим кратко базовые черты квантового описания:

  • Математическое понятие, вектор состояния, определяется как комплекснозначная 4×4 матрица,  преобразование, связывающее значение касательного к траектории вектора (изначально существующего на этой траектории масштаба времени) в данной точке мира (пространства-времени) со значением в произвольной удалённой точке, где оно было известно по определению. Это понятие отождествляется с физическим понятием “вектор состоянияфизического объекта, рассматриваемого как не имеющая пространственного размера точка, в самом фундаментальном случае речь идёт о состоянии элементарной частицы.
  • Вектор состояния вычисляется (в согласии с определением) как экспонента от интеграла связности вдоль траектории частицы между рассматриваемыми точками. Разные траектории — разные векторы состояния. Разные связности — разные векторы состояния. В итоге, в точке вектор состояния имеет не вполне определённое значение, а принадлежит к некоторой группе значений, к области в пространстве комплекснозначных 4×4 матриц. Здесь лежит мостик к формулировке квантовой механики данной Р.Фейнманом.
  • Области, которым принадлежат векторы состояния физических объектов (в пределе, когда точка пространства-времени является образом элементарного события, это элементарные частицы) возникают как представления группы Пуанкаре. Просто потому, что преобразование классической системы координат не изменяет сущность объекта. Однако векторы состояния при этом преобразуются по некоторому представлению этой группы, оставаясь в определённой области матричного пространства состояний. Именно эта область как целое, а не какое-то конкретное значение из неё, и является представлением объекта (элементарной частицы).
  • Области в пространстве состояний отвечают матрицам вполне определённой структуры. В частности, столбцы в матрицах векторов состояния частиц и строки для античастиц преобразуются как 4х спиноры и независимо друг от друга.
  • Представление чисто пространственных преобразований пространственно-временных систем координат придаёт в матрице вектора состояний отдельный смысл столбцу (строке для античастиц), связанному с временной координатой, и группе столбцов (строк). связанным с пространственными координатами. По сути дела, векторы состояния распадаются на матрицы, в которых 3 “пространственных” столбца нулевые, а четвёртый, “временной” — нет. Это векторы состояния лептонов. И вторая группа, в которой наоборот, 3 “пространственных” столбца присутствуют. Это адроны.
  • Легко видеть, что в любом адроне всегда присутствуют именно 3 “пространственных” столбца. Просто потому, что все три вместе, а не каждый отдельно, являются представлением подгруппы чисто пространственных вращений классических систем координат.Только одного быть просто не может. Эти столбцы и есть то, что в стандартной модели называют кварками. Которые, естественно, поодиночке никуда не вылетают.
  • Те же самые соображения приводят к похожей классификации и взаимодействий между частицами, которые описываются связностью расслоенного пространства, обеспечивающей связь между матричными пространствами состояний, ассоциированными с соседними точками пространства-времени.

Можно было бы ещё много чего сюда добавить, но тем, кому это интересно, лучше обратиться к книге.

Как видите, претензии на соответствие предлагаемой теории заявленной цели вполне основательные, чтобы на ознакомление со всем этим потратить хотя бы немного своего времени.

Таким образом, название данного сайта представляется соответствующим представленному  материалу.

© Гаврюсев В.Г.
Опубликованные на сайте материалы можно использовать при соблюдении правил цитирования.